Flashcards : Raisonnement par récurrence (26 cartes)

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1Question

Quelle condition initiale permet d’appliquer le principe de récurrence à partir de $n_0$ ?

Réponse

La propriété doit être vraie au rang $n_0$ .

2Question

Quelle implication doit être vérifiée pour appliquer le principe de récurrence ?

Réponse

Pour tout $n \ge n_0$ , la vérité au rang $n$ entraîne celle au rang $n+1$ .

3Question

Quelle est la première étape d’une démonstration par récurrence à partir de $n_0$ ?

Réponse

Vérifier $P(n_0)$ .

4Question

Que suppose-t-on à l’étape d’hérédité d’une récurrence ?

Réponse

On suppose $P(n)$ vraie pour un $n \ge n_0$ .

5Question

Que faut-il démontrer à l’étape d’hérédité d’une récurrence ?

Réponse

Démontrer $P(n+1)$ .

6Question

Quelle conclusion tire-t-on après les étapes d’une récurrence ?

Réponse

$P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ .

7Question

Quel encadrement vérifie la suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ ?

Réponse

Pour tout entier naturel $n$ , $0<U_n<2$ .

8Question

Quelle formule donne la somme des n premiers entiers impairs ?

Réponse

$S_n=n^2$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

9Question

À quelle condition une suite est-elle croissante ?

Réponse

Pour tout indice $n$ , son terme suivant est supérieur ou égal à son terme courant.

10Question

Quelle formule explicite vérifie la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$ ?

Réponse

$u_n=2^n+n$ .

11Question

Quelle relation vérifie $v_{n+1}$ si $v_n=u_n-4n+10$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ ?

Réponse

$v_{n+1}=\frac12v_n+4$ .

12Question

Quel type de relation vérifie la suite $v_n=u_n-4n+10$ ?

Réponse

Une relation affine.

13Question

Quel type de suite la relation de $v_n=u_n-4n+10$ ne définit-elle pas ?

Réponse

Une suite géométrique.

14Question

Quelle première transformation applique-t-on pour prouver l’hérédité de $0<U_n<2$ ?

Réponse

On ajoute 2 aux trois membres.

15Question

Quelle opération suit l’ajout de 2 dans la preuve de l’hérédité ?

Réponse

On prend les racines carrées.

16Question

Quelle relation permet d’obtenir l’encadrement de $U_{n+1}$ ?

Réponse

$U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$ .

17Question

Quel terme impair ajoute-t-on dans l’hérédité de $S_n=n^2$ ?

Réponse

$2n+1$ .

18Question

Quelle identité établit l’hérédité de $S_n=n^2$ ?

Réponse

$n^2+2n+1=(n+1)^2$ .

19Question

Quelle égalité obtient-on pour $S_{n+1}$ dans l’hérédité ?

Réponse

$S_{n+1}=(n+1)^2$ .

20Question

Quelles valeurs de départ vérifient l’inégalité initiale de la récurrence de la suite définie par $U_0=5$ et $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

$U_1=6>U_0=5$ .

21Question

Quelle inégalité initialise la récurrence pour la suite définie par $U_0=5$ et $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

$U_1>U_0$ .

22Question

Si $U_{n+1}>U_n$ , quelle inégalité obtient-on pour la suite définie par $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

$U_{n+2}>U_{n+1}$ .

23Question

Quelle opération appliquée à $U_{n+1}>U_n$ préserve l’inégalité dans la récurrence $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

Multiplier par 2 puis soustraire 4.

24Question

Quelle est la valeur de $u_1$ pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ ?

Réponse

$\frac32$ .

25Question

Quelle est la valeur de $u_2$ pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ ?

Réponse

$\frac{11}{4}$ .

26Question

Quelle est la valeur de $u_3$ pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+2n-1$ ?

Réponse

$\frac{47}{8}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 10 questions sur Raisonnement par récurrence.

1. Quelle condition permet de conclure qu’une propriété est vraie pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence ?

2. Pour prouver par récurrence une propriété à partir du rang n₀, quelle démarche faut-il suivre ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Raisonnement par récurrence.

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