QCM : Limites de suites (11 questions)

Question 1

1. Quelle condition caractérise une suite qui tend vers $+\infty$ ?

Pour tout réel

A

, ses termes restent dans un intervalle borné autour de

A

à partir d’un certain rang.

Pour tout réel

A

, ses termes sont supérieurs ou égaux à

A

à partir d’un certain rang.

Ses termes dépassent un réel fixe, mais peuvent rester sous certains seuils plus grands.

Ses termes se rapprochent d’un réel fixe lorsque le rang augmente.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que tout seuil réel finit par être dépassé ou atteint par tous les termes suivants. Une suite qui se rapproche d’un réel fixe correspond plutôt à une limite finie.

Answer

Pour tout réel $$A$$, ses termes sont supérieurs ou égaux à $$A$$ à partir d’un certain rang.

Question 2

2. Une suite tend vers $-\infty$ ; comment la qualifie-t-on du point de vue de la convergence ?

Elle est convergente, car ses termes se rapprochent d’une valeur négative.

Elle est convergente si ses termes décroissent à partir d’un certain rang.

Elle est bornée, car sa limite est déterminée par le signe négatif.

Elle est divergente, car elle n’a pas de limite réelle finie.

Explication

Une suite dont la limite est $-\infty$ est divergente, puisque sa limite n’est pas un réel fini. Le fait que ses termes soient négatifs ne suffit pas à établir une convergence vers un réel.

Answer

Elle est divergente, car elle n’a pas de limite réelle finie.

Question 3

3. Quelle propriété décrit une suite qui tend vers un réel $L$ ?

Tous les termes de la suite sont égaux à

L

à partir d’un certain rang.

Tout intervalle ouvert contenant un terme de la suite contient aussi tous les termes suivants.

Tout intervalle ouvert contenant

L

contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Les termes de la suite finissent par sortir de tout intervalle ouvert contenant

L

.

Explication

Une limite finie $L$ signifie que, pour chaque intervalle ouvert autour de $L$ , tous les termes sont dans cet intervalle à partir d’un certain rang. La suite n’a pas besoin d’être égale à $L$ à partir d’un rang donné.

Answer

Tout intervalle ouvert contenant $$L$$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Question 4

4. Comment appelle-t-on une suite qui a pour limite un réel $L$ ?

Une suite bornée, dont la limite est nécessairement nulle.

Une suite oscillante, qui ne peut se rapprocher de

L

.

Une suite divergente, qui s’éloigne nécessairement de

L

.

Une suite convergente, qui converge vers

L

.

Explication

Une suite ayant une limite réelle $L$ est dite convergente et converge vers $L$ . Une suite bornée n’a pas nécessairement une limite nulle, même si la bornitude peut accompagner la convergence.

Answer

Une suite convergente, qui converge vers $$L$$.

Question 5

5. Que signifie la limite de la suite $\sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

La suite tend vers

1

.

La suite n’a pas de limite.

La suite tend vers

+\infty

.

La suite tend vers

0

.

Explication

La racine carrée de $n$ croît sans borne lorsque $n$ augmente, comme les suites $n$ , $n^2$ et $n^3$ . La limite $0$ caractérise plutôt les inverses de ces suites, et non $\sqrt{n}$ .

Answer

La suite tend vers $$+\infty$$.

Question 6

6. Si deux suites tendent respectivement vers les réels $L$ et $L'$ , vers quelle limite tend leur produit ?

Vers

\frac{L}{L'}

Vers

LL'

Vers

L+L'

Vers

L-L'

Explication

Le produit de deux suites ayant des limites finies $L$ et $L'$ tend vers $LL'$ . La somme tend vers $L+L'$ , ce qui correspond à une autre opération.

Answer

Vers $$LL'$$

Question 7

7. Quel est le rôle d’une transformation algébrique lorsqu’une expression de limite présente une forme indéterminée ?

Remplacer la suite par une suite de référence ayant la même limite.

Réécrire l’expression pour lever l’indétermination et rendre la limite calculable.

Vérifier que les termes de la suite restent dans un intervalle borné.

Déterminer le signe de chaque terme sans modifier l’expression.

Explication

Une transformation, comme une factorisation ou une division par une puissance dominante, permet de lever l’indétermination afin de pouvoir conclure sur la limite. Déterminer le signe sans transformer l’écriture ne suffit pas en général à établir cette limite.

Answer

Réécrire l’expression pour lever l’indétermination et rendre la limite calculable.

Question 8

8. Quelle différence distingue le théorème d’encadrement d’une comparaison avec une suite tendant vers $+\infty$ ?

L’encadrement établit une divergence vers

+\infty

, tandis que la comparaison conclut à une limite finie commune.

L’encadrement exige que les bornes aient des limites différentes, tandis que la comparaison exige des limites égales.

L’encadrement conclut à une limite finie commune, tandis que la comparaison peut établir une divergence vers

+\infty

.

L’encadrement compare des suites à partir d’un rang, tandis que la comparaison ne s’applique qu’à leurs limites.

Explication

Lorsque les deux suites qui encadrent une suite tendent vers le même réel, la suite encadrée tend vers ce réel. En revanche, la comparaison de $U_n$ avec $n-1$ dans l’exemple permet d’établir que $U_n$ tend vers $+\infty$ , et non vers une limite finie commune.

Answer

L’encadrement conclut à une limite finie commune, tandis que la comparaison peut établir une divergence vers $$+\infty$$.

Question 9

9. Pourquoi la suite géométrique $q^n$ tend-elle vers $+\infty$ lorsque $q>1$ ?

Parce que toute suite géométrique de raison positive alterne entre des termes positifs et négatifs.

Parce qu’on peut écrire

q=1+\alpha

avec

\alpha>0

et obtenir

q^n\geq 1+n\alpha

.

Parce que toute raison supérieure à

1

rend les termes de la suite égaux à

1

à partir d’un certain rang.

Parce que

q^n

est alors encadrée par deux suites qui tendent vers

0

.

Explication

En posant $q=1+\alpha$ avec $\alpha>0$ , on obtient $q^n\geq 1+n\alpha$ , et cette borne tend vers $+\infty$ . La positivité de la raison ne provoque pas d’alternance des signes, contrairement à ce que suggère un distracteur.

Answer

Parce qu’on peut écrire $$q=1+\alpha$$ avec $$\alpha>0$$ et obtenir $$q^n\geq 1+n\alpha$$.

Question 10

10. Pour établir que la suite définie par $U_n=n^2$ tend vers $+\infty$ , quel seuil faut-il choisir pour garantir que $U_n\geq A$ lorsque $A>0$ ?

Il suffit de prendre un rang

n\geq 1/A

.

Il suffit de prendre un rang

n\geq A^2

.

Il suffit de prendre un rang

n\geq\sqrt{1/A}

.

Il suffit de prendre un rang

n\geq\sqrt{A}

.

Explication

Si $n\geq\sqrt{A}$ , alors $n^2\geq A$ , ce qui montre que tout seuil positif est dépassé à partir d’un certain rang. Choisir $n\geq 1/A$ ne garantit pas cette inégalité pour toutes les valeurs de $A$ .

Answer

Il suffit de prendre un rang $$n\geq\sqrt{A}$$.

Question 11

11. Quelle propriété caractérise la convergence d’une suite vers un réel $L$ ?

Les termes de la suite deviennent supérieurs à tout réel à partir d’un certain rang.

Tout intervalle fermé contenant

L

contient une infinité de termes de la suite.

Les termes de la suite alternent de part et d’autre de

L

sans s’en rapprocher.

Tout intervalle ouvert contenant

L

contient les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Explication

La convergence vers $L$ signifie que, pour tout intervalle ouvert contenant $L$ , tous les termes de la suite y appartiennent à partir d’un certain rang. La propriété portant sur les termes supérieurs à tout réel caractérise une limite égale à $+\infty$ , et non une limite finie.

Answer

Tout intervalle ouvert contenant $$L$$ contient les termes de la suite à partir d’un certain rang.

QCM : Limites de suites (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une suite qui tend vers $+\infty$ ?

2. Une suite tend vers $-\infty$ ; comment la qualifie-t-on du point de vue de la convergence ?

3. Quelle propriété décrit une suite qui tend vers un réel $L$ ?

4. Comment appelle-t-on une suite qui a pour limite un réel $L$ ?

5. Que signifie la limite de la suite $\sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

6. Si deux suites tendent respectivement vers les réels $L$ et $L'$ , vers quelle limite tend leur produit ?

7. Quel est le rôle d’une transformation algébrique lorsqu’une expression de limite présente une forme indéterminée ?

8. Quelle différence distingue le théorème d’encadrement d’une comparaison avec une suite tendant vers $+\infty$ ?

9. Pourquoi la suite géométrique $q^n$ tend-elle vers $+\infty$ lorsque $q>1$ ?

10. Pour établir que la suite définie par $U_n=n^2$ tend vers $+\infty$ , quel seuil faut-il choisir pour garantir que $U_n\geq A$ lorsque $A>0$ ?

11. Quelle propriété caractérise la convergence d’une suite vers un réel $L$ ?

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QCM : Limites de suites (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une suite qui tend vers +∞+\infty+∞ ?

2. Une suite tend vers −∞-\infty−∞ ; comment la qualifie-t-on du point de vue de la convergence ?

3. Quelle propriété décrit une suite qui tend vers un réel LLL ?

4. Comment appelle-t-on une suite qui a pour limite un réel LLL ?

5. Que signifie la limite de la suite n\sqrt{n}n​ lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

6. Si deux suites tendent respectivement vers les réels LLL et L′L'L′, vers quelle limite tend leur produit ?

7. Quel est le rôle d’une transformation algébrique lorsqu’une expression de limite présente une forme indéterminée ?

8. Quelle différence distingue le théorème d’encadrement d’une comparaison avec une suite tendant vers +∞+\infty+∞ ?

9. Pourquoi la suite géométrique qnq^nqn tend-elle vers +∞+\infty+∞ lorsque q>1q>1q>1 ?

10. Pour établir que la suite définie par Un=n2U_n=n^2Un​=n2 tend vers +∞+\infty+∞, quel seuil faut-il choisir pour garantir que Un≥AU_n\geq AUn​≥A lorsque A>0A>0A>0 ?

11. Quelle propriété caractérise la convergence d’une suite vers un réel LLL ?

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1. Quelle condition caractérise une suite qui tend vers $+\infty$ ?

2. Une suite tend vers $-\infty$ ; comment la qualifie-t-on du point de vue de la convergence ?

3. Quelle propriété décrit une suite qui tend vers un réel $L$ ?

4. Comment appelle-t-on une suite qui a pour limite un réel $L$ ?

5. Que signifie la limite de la suite $\sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

6. Si deux suites tendent respectivement vers les réels $L$ et $L'$ , vers quelle limite tend leur produit ?

8. Quelle différence distingue le théorème d’encadrement d’une comparaison avec une suite tendant vers $+\infty$ ?

9. Pourquoi la suite géométrique $q^n$ tend-elle vers $+\infty$ lorsque $q>1$ ?

10. Pour établir que la suite définie par $U_n=n^2$ tend vers $+\infty$ , quel seuil faut-il choisir pour garantir que $U_n\geq A$ lorsque $A>0$ ?

11. Quelle propriété caractérise la convergence d’une suite vers un réel $L$ ?