Les suites en mathématiques

📌 L'essentiel

• Une suite réelle est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Les suites arithmétiques et géométriques ont des formes explicites simples : $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 q^n$.
• La résolution des suites récurrentes linéaires d’ordre deux passe par l’équation caractéristique.
• La monotonicité est déterminée par le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou via l’étude de la fonction associée.
• La notion de majorant, minorant, et de suite bornée est essentielle pour l’analyse.
• La somme de termes consécutifs dépend du type de suite : arithmétique ou géométrique.

📖 Concepts clés

Suite réelle : Fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, associant un réel à chaque entier naturel.
Monotonie : suite en progression constante, croissante ($u_n \le u_{n+1}$) ou décroissante ($u_n \ge u_{n+1}$).
Majorant / Minorant : bornes supérieure ou inférieure d’une suite.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ avec raison $r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q u_n$ avec raison $q$.
Suite arithmético-géométrique : $u_{n+1} = qu_n + r$.
Suite récurrente linéaire d’ordre deux : $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$.