Fiche de révision : Lignes de transmission hyperfréquences

📋 Plan du Cours

1. Propagation et domaine des hyperfréquences
2. Structure et paramètres des lignes
3. Équations de propagation sur ligne
4. Ondes sinusoïdales et impédance caractéristique
5. Réflexion et impédance de ligne
6. Ligne sans perte et transformateur quart d’onde
7. Ondes stationnaires et mesures
8. TOS et puissance transportée
9. Impédances extrêmes sur la ligne
10. Abaque de Smith et impédances
11. Adaptation des lignes de transmission
12. Ondes transitoires sur ligne sans perte
13. Diodes pour les applications micro-ondes
14. Transistors et amplificateurs haute fréquence

📖 1. Propagation et domaine des hyperfréquences

★ À maîtriser

• Les hyperfréquences ou micro-ondes couvrent le domaine de 300 MHz à 300 GHz.

📌 Les lois classiques des circuits sont utilisables lorsque leurs dimensions sont très petites devant la longueur d’onde ; les effets de propagation sont généralement pris en compte si la taille dépasse environ λ/10 à λ/20.

Compléments

📐 Formule - Le retard de propagation sur une ligne de longueur L est $T=\frac{L}{v}$, où v est la vitesse de l’onde.

• Dans un câble coaxial usuel, la vitesse de propagation est d’environ $2\times10^8\ \mathrm{m/s}$, soit 5 ns pour parcourir 1 m.

• À 12 GHz, avec une vitesse de propagation de $1.5\times10^8\ \mathrm{m/s}$ sur un circuit imprimé, la longueur d’onde est de 12,5 mm et λ/20 vaut 0,625 mm.

💡 Astuce mémo

Circuit petit devant λ : modèle classique ; circuit comparable à λ : propagation à considérer.

📖 2. Structure et paramètres des lignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de transmission : Formée d’au moins deux conducteurs électriques séparés par un isolant, ce qui permet de définir une différence de potentiel et un courant.

★ À maîtriser

• Les trois types de lignes classiques sont :

  • la ligne bifilaire
  • la ligne coaxiale cylindrique
  • la ligne microstrip ou micro-ruban

• Les paramètres linéiques du modèle sont :

  • la résistance R en Ω/m
  • l’inductance L en H/m
  • la conductance G en S/m
  • la capacité C en F/m

Compléments

• Les lignes étudiées sont formées de deux conducteurs parallèles, et les résultats restent applicables aux câbles dont le rayon de courbure dépasse 4 à 5 fois la distance entre conducteurs.

• Dans une ligne coaxiale, le courant du conducteur externe se répartit sur toute sa surface, tandis que dans les lignes microstrip les courants se répartissent sur les surfaces des conducteurs.

📐 Formule - L’épaisseur de peau dans un conducteur est $\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$.

• Pour le cuivre, l’épaisseur de peau vaut 67,25 μm à 1 MHz et 6,7 μm à 100 MHz.

📐 Formule - Pour les isolants usuels en basse fréquence, G=0 ; en haute fréquence, la perte diélectrique conduit à $G=C\omega\tan\varphi$.

📖 3. Équations de propagation sur ligne

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations des télégraphistes : Décrivent la propagation de la tension et du courant sur une ligne et s’obtiennent en dérivant les équations fondamentales par rapport à x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les équations fondamentales d’une ligne sont $-\frac{\partial v}{\partial x}=Ri+L\frac{\partial i}{\partial t}$ et $-\frac{\partial i}{\partial x}=Gv+C\frac{\partial v}{\partial t}$.

📐 Formule - Les équations de propagation sont $\frac{\partial^2v}{\partial x^2}=RGv+(RC+LG)\frac{\partial v}{\partial t}+LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$ et $\frac{\partial^2i}{\partial x^2}=RGi+(RC+LG)\frac{\partial i}{\partial t}+LC\frac{\partial^2i}{\partial t^2}$.

Compléments

• Tout signal peut être décomposé en composantes sinusoïdales par série ou transformée de Fourier, traitées séparément avant sommation des résultats.

📖 4. Ondes sinusoïdales et impédance caractéristique

★ À maîtriser

📐 Formule - En régime sinusoïdal, la constante de propagation vérifie $\gamma^2=(R+jL\omega)(G+jC\omega)$ et s’écrit $\gamma=\alpha+j\beta$.

📐 Formule - L’impédance caractéristique d’une ligne est $Z_c=\sqrt{\frac{R+jL\omega}{G+jC\omega}}$.

Compléments

📐 Formule - La constante de propagation réelle et imaginaire est donnée par $\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt{(R^2+L^2\omega^2)(G^2+C^2\omega^2)}+RG-LC\omega^2}{2}}$ et $\beta=\sqrt{\frac{\sqrt{(R^2+L^2\omega^2)(G^2+C^2\omega^2)}-RG+LC\omega^2}{2}}$.

📐 Formule - La vitesse de propagation d’une onde est $v=\frac{\omega}{\beta}$.

📌 La condition d’Heaviside $LG=RC$ supprime la distorsion due à la dispersion et donne une vitesse indépendante de la fréquence, $v=1/\sqrt{LC}$.

📐 Formule - Pour une ligne à faibles pertes, $\alpha=\frac{1}{2}\left(R\sqrt{\frac{C}{L}}+G\sqrt{\frac{L}{C}}\right)$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$ et $v=1/\sqrt{LC}$.

📐 Formule - La vitesse de propagation sur une ligne est $v=1/\sqrt{\mu\varepsilon}=c/\sqrt{\varepsilon_r}$ pour un isolant amagnétique.

📖 5. Réflexion et impédance de ligne

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de réflexion en tension est $\rho(x)=\frac{V_{\mathrm{réfléchie}}(x)}{V_{\mathrm{incidente}}(x)}=\rho_r e^{-2\gamma x}$, avec $\rho_r=\frac{Z_r-Z_c}{Z_r+Z_c}$.

• Un court-circuit donne $\rho_r=-1$, un circuit ouvert donne $\rho_r=1$ et une charge adaptée $Z_r=Z_c$ donne $\rho_r=0$.

📐 Formule - L’impédance de ligne est liée au coefficient de réflexion par $Z(x)=Z_c\frac{1+\rho(x)}{1-\rho(x)}$ et $\rho(x)=\frac{Z(x)-Z_c}{Z(x)+Z_c}$.

Compléments

📌 À toute abscisse, le coefficient de réflexion en courant est l’opposé de celui en tension, soit $\rho_I(x)=-\rho(x)$.

📐 Formule - L’impédance à une distance x de la charge est $Z(x)=Z_c\frac{Z_r+Z_c\tanh(\gamma x)}{Z_c+Z_r\tanh(\gamma x)}$.

📌 Lorsque la charge est adaptée, $Z_r=Z_c$, l’impédance est égale à Zc partout sur la ligne.

📖 6. Ligne sans perte et transformateur quart d’onde

★ À maîtriser

📌 Une ligne sans perte est modélisée par $R=G=0$, d’où une impédance caractéristique réelle $Z_c=\sqrt{L/C}$ et une constante de propagation $\gamma=j\beta$.

📐 Formule - Sur une ligne sans perte, l’impédance à l’abscisse x est $Z(x)=Z_c\frac{Z_r+jZ_c\tan(\beta x)}{Z_c+jZ_r\tan(\beta x)}$.

📐 Formule - Une ligne quart d’onde transforme l’impédance selon $Z_L=Z_c^2/Z_r$ lorsque $L=\lambda/4$.

Compléments

• Sur une ligne sans perte, les modules de l’onde incidente et du coefficient de réflexion sont constants le long de la ligne.

📌 L’impédance d’une ligne sans perte se répète tous les λ/2 ; une ligne de longueur kλ/2 présente donc à son entrée l’impédance de charge Zr.

📐 Formule - Une ligne sans perte en court-circuit présente à son entrée $Z_L=jZ_c\tan(\beta L)$, tandis qu’une ligne ouverte présente $Z_L=-jZ_c\cot(\beta L)$.

• La fréquence de transformation quart d’onde est $f=v/(4L)$.

📖 7. Ondes stationnaires et mesures

★ À maîtriser

• Sur une ligne sans perte, les maxima de tension et de courant s’alternent : un maximum de tension coïncide avec un minimum de courant, et inversement.

Compléments

📐 Formule - L’amplitude de tension le long d’une ligne sans perte est $|V(x)|=|V_{inc}|\sqrt{1+\rho_0^2+2\rho_0\cos\theta}$, où $\theta=\varphi-2\beta x$.

📐 Formule - L’amplitude du courant le long d’une ligne sans perte est $|I(x)|=|V_{inc}/Z_c|\sqrt{1+\rho_0^2-2\rho_0\cos\theta}$.

• Deux maxima successifs de tension ou de courant sont séparés de λ/2, et un maximum de tension est séparé du minimum voisin de λ/4.

• Pour une ligne en court-circuit, les minima de tension sont nuls et espacés de λ/2, ce qui permet de mesurer la longueur d’onde par λ=2(x''−x').

📖 8. TOS et puissance transportée

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’ondes stationnaires : Aussi appelé ROS ou SWR, est le rapport entre la tension maximale et la tension minimale mesurées en des points voisins d’une ligne.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le TOS est lié au coefficient de réflexion par $S=\frac{1+|\rho|}{1-|\rho|}$ et $|\rho|=\frac{S-1}{S+1}$.

📐 Formule - La puissance active transportée sur une ligne sans perte est $P_a=P_{inc}-P_{ref}=\frac{|V_{inc}|^2}{2Z_c}(1-|\rho|^2)$ et ne dépend pas de l’abscisse.

Compléments

• Le TOS vaut 1 pour une ligne adaptée et tend vers l’infini pour un court-circuit, un circuit ouvert ou une charge imaginaire pure.

📐 Formule - Le coefficient de réflexion en puissance est $\rho_p=|\rho|^2=\left(\frac{S-1}{S+1}\right)^2$.

📖 9. Impédances extrêmes sur la ligne

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une ligne sans perte, l’impédance maximale est $Z_{max}=SZ_c$ et l’impédance minimale est $Z_{min}=Z_c/S$ ; elles sont réelles.

📐 Formule - Sur une ligne sans perte, l’impédance maximale vaut $Z_{\max}=SZ_c$ et l’impédance minimale vaut $Z_{\min}=Z_c/S$.

• Le rapport d’ondes stationnaires vérifie $S=\frac{V_{\max}}{V_{\min}}=\frac{I_{\max}}{I_{\min}}$.

Compléments

• Les impédances maximales coïncident avec les maxima de tension et les minima de courant, tandis que les impédances minimales coïncident avec les minima de tension et les maxima de courant.

• Pour une charge résistive réelle R supérieure à Zc, R = Zmax = SZc et cette valeur se retrouve tous les λ/2 ; Vr = Vmax et Ir = Imin.

• Pour une charge résistive réelle R inférieure à Zc, R = Zmin = Zc/S et cette valeur se retrouve tous les λ/2 ; Vr = Vmin et Ir = Imax.

💡 Astuce mémo

À Vmax, Imin et Zmax ; à Vmin, Imax et Zmin.

📖 10. Abaque de Smith et impédances

🔑 Notions clés & Définitions

• Abaque de Smith : Représentation du coefficient de réflexion dans le plan complexe, avec une graduation en impédance et en déplacement sur la ligne.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de réflexion et l’impédance normalisée sont reliés par $z(x)=\frac{1+\rho(x)}{1-\rho(x)}$ et $\rho(x)=\frac{z(x)-1}{z(x)+1}$.

📐 Formule - Entre deux positions séparées de Δx, la rotation du coefficient de réflexion vaut $\Delta\theta=-\frac{4\pi\Delta x}{\lambda}$, soit un demi-tour pour un déplacement de λ/4.

Compléments

• Les coefficients de réflexion représentés sur l’abaque de Smith occupent le disque unité, car leur module vérifie ρ0 ≤ 1.

📌 Sur l’abaque, un déplacement vers le générateur correspond à une rotation dans le sens horaire, tandis qu’un déplacement vers la charge correspond à une rotation dans le sens trigonométrique.

• Pour représenter l’admittance, on utilise l’image du coefficient de réflexion en courant ρI = −ρ ; elle est symétrique de l’image de ρ par rapport au centre de l’abaque.

💡 Astuce mémo

Un vecteur de réflexion tourne sur un cercle de module constant dans le disque unité.

📖 11. Adaptation des lignes de transmission

🔑 Notions clés & Définitions

• Stub : Élément de ligne en court-circuit ou en circuit ouvert, placé en parallèle sur la ligne principale ; son impédance ou son admittance au point de connexion est imaginaire pure.

★ À maîtriser

📌 Une ligne est adaptée à sa charge lorsque le coefficient de réflexion est nul, ce qui impose Zr = Zc et permet au récepteur d’absorber toute la puissance incidente.

📐 Formule - Pour adapter une résistance R à une ligne par un tronçon quart d’onde sans perte, l’impédance caractéristique du tronçon doit être $Z'_c=\sqrt{Z_cR}$.

Compléments

• Un générateur fournit sa puissance maximale lorsque l’impédance vue à sa sortie vérifie Ze = Zg*.

• Pour adapter une impédance quelconque avec un tronçon de longueur L suivi d’un quart d’onde, on choisit L pour rendre réelle l’impédance ZBB′, puis on fixe $Z'_c=\sqrt{Z_cR_{BB'}}$.

• Pour combiner des éléments en série, les impédances s’additionnent ; pour des éléments en parallèle, ce sont les admittances qui s’additionnent.

💡 Astuce mémo

Annuler la réflexion à la charge → transmettre toute la puissance incidente.

📖 12. Ondes transitoires sur ligne sans perte

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une ligne sans perte, la vitesse de propagation vaut $v=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et l’impédance caractéristique vaut $Z_c=\sqrt{\frac{L}{C}}$.

📌 Dans les expressions temporelles d’une ligne sans perte, le terme retardé en x représente l’onde incidente se propageant vers les x positifs, tandis que le terme retardé en 2L−x représente l’onde réfléchie se propageant vers les x négatifs.

• Les réflexions successives d’une onde sur une ligne finie sont pondérées par les coefficients de réflexion à la charge ΓL et à l’entrée Γ0.

Compléments

📐 Formule - Le retard de propagation sur une ligne de longueur L est $t_L=\frac{L}{v}$ ; un aller-retour correspond à 2tL.

📐 Formule - Les coefficients de réflexion aux extrémités sont $\Gamma_0=\frac{Z_g-Z_c}{Z_g+Z_c}$ à l’entrée et $\Gamma_L=\frac{Z_r-Z_c}{Z_r+Z_c}$ à la charge.

💡 Astuce mémo

Onde incidente → réflexion sur la charge → réflexion à l’entrée.

📖 13. Diodes pour les applications micro-ondes

★ À maîtriser

• La diode Schottky associe un semi-conducteur Si ou AsGa à un métal Al ou Au et peut fonctionner jusqu’à environ 100 GHz ; elle est plus rapide qu’une jonction PN car il n’y a pas d’accumulation de porteurs minoritaires dans le métal.

📐 Formule - Pour une diode varicap, la capacité dépend de la polarisation inverse selon $C(V_0)=\frac{C_0}{(1-V_0/\Phi_d)^\gamma}$ ; pour une jonction abrupte, γ est voisin de 1/2.

📌 En polarisation inverse, la zone intrinsèque d’une diode PIN est déplétée et isolante ; en polarisation directe, l’injection de porteurs la rend conductrice et sa résistance HF dépend du courant de polarisation.

• Dans une diode IMPATT, le délai de développement de l’avalanche et le temps de transit des électrons ajoutent chacun un déphasage de π/2, donnant un déphasage total de π entre tension et courant et une résistance négative aux petits signaux.

Compléments

• Dans un détecteur Schottky, la diode redresse le signal HF et le circuit RC de grande constante de temps maintient une tension de sortie continue ou lentement variable, qui indique l’état du signal.

• Une diode varicap associée en parallèle à une inductance forme un circuit résonnant dont la fréquence varie avec la tension de polarisation, ce qui permet de réaliser un oscillateur commandé en tension (VCO).

• La diode Gunn est un barreau d’AsGa sans jonction qui présente une conductance négative lorsque le champ fort fait passer les électrons d’une mobilité μ1 à une mobilité μ2 très inférieure à μ1.

💡 Astuce mémo

Schottky détecte, varicap règle, PIN commute, Gunn et IMPATT oscillent.

📖 14. Transistors et amplificateurs haute fréquence

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un quadripôle de matrice d’admittance [Y], le gain composite est $G_T=\frac{P_{out}}{P_{max}}=G_p\frac{P_{in}}{P_{max}}$.

📌 Le gain composite est maximal lorsque le générateur voit l’impédance d’entrée conjuguée, Zg = Ze*, et que la charge vérifie Zr = Zs*.

📌 Le critère de stabilité de Linvill garantit un amplificateur stable quels que soient le générateur et la charge lorsque $C=\frac{|y_{12}y_{21}|}{|2a_{11}a_{22}-\Re(y_{12}y_{21})|}<1$.

Compléments

• Le modèle HF de Giacoletto représente le transistor bipolaire au moyen notamment des inductances de connexion, des résistances du matériau et des capacités des jonctions base-émetteur et base-collecteur.

• Les transistors à effet de champ utilisés en HF comprennent les JFET et MOSFET en Si jusqu’à quelques centaines de MHz et les MESFET en AsGa jusqu’à quelques dizaines de GHz.

• Dans l’exemple du transistor 2N4957 à 300 MHz, l’ajout d’une résistance de 560 Ω en parallèle sur la sortie donne C = 0,98, tandis que 588 Ω correspond à la limite C = 1.

• Les réseaux adaptateurs des amplificateurs HF sont réalisés avec des éléments sans pertes, notamment des inductances et condensateurs en radiofréquence et des lignes en très hautes fréquences.