Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies à l’infini
2. Limites finies et asymptotes horizontales
3. Limites en un réel et asymptotes verticales
4. Opérations sur les limites
5. Composition et formes indéterminées
6. Lever une indétermination

📖 1. Limites infinies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en +∞ : La fonction f a pour limite +∞ en +∞ si, pour tout réel A, f(x) est supérieur à A lorsque x est suffisamment grand.
• Limite infinie en −∞ : La fonction f a pour limite −∞ en +∞ si, pour tout réel A, f(x) est inférieur à A lorsque x est suffisamment grand.

📝 Points essentiels

• Lorsque n est un entier supérieur ou égal à 1, $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

• Lorsque n est un entier supérieur ou égal à 1, $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$ si n est impair et $\lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si n est pair.

📖 2. Limites finies et asymptotes horizontales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie à l’infini : La fonction f a pour limite réelle ℓ en +∞ si, pour tout ε > 0, f(x) appartient à l’intervalle ]ℓ − ε ; ℓ + ε[ lorsque x est suffisamment grand.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation y = ℓ est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de +∞ si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ ; la définition est analogue au voisinage de −∞.

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$, l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe de f au voisinage de ±∞.

Compléments

• Pour f définie par $f(x)=2-\frac{1}{x}$ sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, la limite de f(x) est 2 en +∞ comme en −∞.

• Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$.

• $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📖 3. Limites en un réel et asymptotes verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un réel : La fonction f a pour limite ℓ en a si, lorsque x est suffisamment proche de a, f(x) appartient à tout intervalle ouvert contenant ℓ ; la limite peut aussi être +∞ ou −∞.
• Asymptote verticale : Si f a pour limite +∞ ou −∞ en a, à gauche ou à droite, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à sa courbe.

★ À maîtriser

📌 Les limites à gauche et à droite en un réel peuvent être différentes : $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ tandis que $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty$.

Compléments

• Pour $f(x)=\frac{1}{x^2}$, $\lim_{x\to0}f(x)=+\infty$, aussi bien à gauche qu’à droite de 0.

• Pour $f(x)=\frac{2}{x-1}$, la limite à gauche de 1 est −∞ et la limite à droite de 1 est +∞ ; la droite x = 1 est une asymptote verticale.

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’asymptote horizontale est y = ℓ ; en a, l’asymptote verticale est x = a.

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La limite de la somme de deux fonctions est la somme de leurs limites lorsque celles-ci sont finies, ou lorsque les deux limites infinies ont le même signe.

• La limite de kf est kℓ si f tend vers ℓ ; si f tend vers +∞ ou −∞, le signe de k conserve ou inverse le signe de la limite, et si f tend vers 0, kf tend vers 0.

• Le produit de deux fonctions tend vers le produit de leurs limites lorsque celles-ci sont finies ; un facteur de limite finie non nulle multiplié par une fonction de limite infinie donne une limite infinie, selon la règle des signes.

• Si f tend vers une limite finie non nulle ℓ, alors 1/f tend vers 1/ℓ ; si f tend vers 0⁺ ou 0⁻, 1/f tend respectivement vers +∞ ou −∞.

Compléments

📌 Si f tend vers une limite finie et g vers une limite finie non nulle, alors f/g tend vers le quotient de ces limites ; si f tend vers une limite finie et g vers ±∞, alors f/g tend vers 0.

📌 Dans les règles du quotient où g tend vers 0, le signe de g doit être constant.

📖 5. Composition et formes indéterminées

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\lim_{x\to b}v(x)=\lambda$, alors, pour f = v ∘ u, $\lim_{x\to a}f(x)=\lambda$.

• Les quatre formes indéterminées sont :
  • (+∞) + (−∞)
  • 0 × (±∞)
  • 0/0
  • (±∞)/(±∞)

Compléments

• Lorsque les opérations sur les limites donnent une forme indéterminée, elles ne permettent pas de conclure directement.

📖 6. Lever une indétermination

★ À maîtriser

• Pour lever une indétermination, on peut : mettre le terme dominant en facteur, simplifier, multiplier par la quantité conjuguée dans le cas d’une fonction irrationnelle, utiliser un théorème de comparaison

Compléments

• Pour calculer la limite de $x^2-3x+1$ en +∞, on écrit $x^2-3x+1=x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$ ; le facteur entre parenthèses tend vers 1 et le produit tend vers +∞.