QCM : Limites de fonctions (17 questions)

Explication

Avoir une limite égale à +∞ en +∞ signifie que, quel que soit le seuil réel A, les valeurs de la fonction finissent par le dépasser. Une limite en −∞ change le comportement des valeurs de x, une limite égale à −∞ inverse le sens de l’inégalité et une limite finie ne dépasse pas tous les seuils.

Explication

La racine carrée de x tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$. L’inverse de la racine tend vers zéro, tandis qu’une limite finie ne décrit pas cette croissance illimitée.

Explication

Lorsque n est impair, une puissance conserve le signe négatif des grandes valeurs négatives de x et tend donc vers $-\infty$. Pour un exposant pair, la limite serait $+\infty$; ni zéro ni une valeur finie ne décrivent cette divergence.

Explication

Une limite réelle ℓ en +∞ signifie que les valeurs de f(x) peuvent être enfermées dans tout intervalle ouvert centré sur ℓ dès que x est suffisamment grand. Une divergence vers +∞ ou −∞ n’est pas une limite finie, et le voisinage d’un réel a concerne une autre situation.

Explication

Une limite finie ℓ en +∞ correspond à l’asymptote horizontale d’équation $y=\ell$; ici, c’est donc $y=4$. L’équation $x=4$ désigne une droite verticale, l’axe des abscisses correspond à une limite nulle, et une droite de pente non nulle n’est pas l’asymptote horizontale définie par cette limite.

Explication

Lorsque la limite de g est nulle à l’infini considéré, l’axe des abscisses, d’équation $y=0$, est une asymptote horizontale. L’axe des ordonnées et une droite $x=0$ sont verticaux, tandis qu’une hauteur non nulle ne correspond pas à cette limite.

Explication

Pour la fonction inverse, les valeurs sont positives à droite de 0 et négatives à gauche, d’où les limites +∞ puis −∞. L’inversion des signes échange les côtés, la fonction carré inverse diverge vers +∞ des deux côtés, et l’égalité des limites latérales n’est pas requise.

Explication

Une limite infinie en a, même à gauche ou à droite, donne la droite x = a comme asymptote verticale. Une droite y = 4 ou y = 0 est horizontale, et une divergence d’un seul côté suffit.

Explication

La limite ℓ signifie que les valeurs de f(x) entrent dans tout intervalle ouvert contenant ℓ dès que x est suffisamment proche de a. La proximité des valeurs de f concerne ℓ, pas a; la définition n’impose pas f(a)=ℓ ni un intervalle fermé.

Explication

La somme de deux fonctions qui tendent vers +∞ tend vers +∞, car les deux termes croissent dans le même sens. Une forme indéterminée concerne notamment des limites infinies de signes opposés; ici aucune limite finie n’est à additionner et il s’agit d’une somme, non d’une différence.

Explication

Multiplier une fonction qui tend vers +∞ par un réel négatif inverse le signe de la limite : −3f tend donc vers −∞. Un coefficient négatif ne conserve pas le signe, et la multiplication par une constante non nulle ne transforme pas cette limite en 0 ni en −3.

Explication

Le produit d’une fonction tendant vers une limite finie non nulle et d’une fonction tendant vers l’infini diverge selon la règle des signes; ici −2 fois +∞ donne −∞. Le calcul de deux limites infinies ne s’applique pas, le signe négatif doit être conservé et −2 n’est pas une limite nulle.

Explication

Lorsque f tend vers 0⁻, son inverse tend vers −∞. Une approche par valeurs positives donnerait +∞, tandis que l’inverse d’une limite finie non nulle s’applique à une situation différente; une fonction tendant vers 0 n’a pas un inverse qui tend vers 0.

Explication

La limite de la composée s’obtient en reportant dans v la limite de u : la limite cherchée est donc 4. Répondre $-1$ revient à retenir la limite de u, tandis que 2 est le point d’approche initial et que les limites données suffisent à conclure.

Explication

Le quotient $\frac{0}{0}$ fait partie des quatre formes indéterminées. $\frac{5}{0}$ relève d’un dénominateur tendant vers zéro avec un numérateur non nul, la somme de deux infinis de même signe n’est pas indéterminée, et le produit de deux limites nulles n’est pas la forme $0\times(\pm\infty)$.

Explication

Pour une fonction irrationnelle, multiplier par la quantité conjuguée est une méthode adaptée pour lever l’indétermination. Mettre le terme dominant en facteur ou simplifier peut convenir dans d’autres formes d’expression, tandis qu’un théorème de comparaison est une autre stratégie.

Explication

On écrit $x^2-3x+1=x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$. Le facteur entre parenthèses tend vers 1 tandis que $x^2$ tend vers $+\infty$, donc le produit tend vers $+\infty$ ; 1 oublie le facteur dominant et $-\infty$ suit à tort le signe du terme linéaire.