Fiche de révision : Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Calcul des limites
2. Limites latérales et asymptotes
3. Continuité en un point
4. Prolongement par continuité
5. Continuité des fonctions usuelles
6. Images et fonctions bornées
7. Théorème des valeurs intermédiaires
8. Fonctions réciproques et bijections
9. Équations avec puissances
10. Calculs sur les radicaux

📖 1. Calcul des limites

★ À maîtriser

• Pour une limite de quotient de polynômes à l’infini, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x présente au dénominateur ou au numérateur afin de comparer les termes dominants.

📌 Une forme indéterminée comme $+\infty-\infty$ ne permet pas de conclure sans transformer l’expression, par exemple en factorisant ou en rationalisant.

Compléments

• Pour lever une indétermination avec une différence de racines carrées, on peut multiplier par l’expression conjuguée.

📐 Formule - La différence de cubes se factorise selon $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

📐 Formule - La différence de puissances quatrièmes se factorise selon $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

📖 2. Limites latérales et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite latérale : Limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un point en restant d’un seul côté de ce point.

★ À maîtriser

📌 Une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent et sont égales.

Compléments

• Pour $k(x)=\frac{x^3-3x+1}{x^2-2x}$, les limites en 0 sont $\lim_{x\to0^+}k(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to0^-}k(x)=+\infty$.

• Pour la fonction définie par $f(x)=x^2$ si $x\leq0$ et $f(x)=x+2$ si $x>0$, la limite à gauche en 0 vaut 0 et la limite à droite vaut 2.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite : deux limites à comparer.

📖 3. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si sa limite en a existe et est égale à sa valeur f(a).

★ À maîtriser

📌 Pour étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux en a, on compare les limites à gauche et à droite avec la valeur de la fonction en a.

Compléments

• La fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\ne1$ et $f(1)=2$ est continue en 1, car son expression se simplifie en $x+1$ et sa limite vaut 2.

• La fonction $f(x)=\frac{x^2+12x-45}{x-3}$ pour $x\ne3$ et $f(3)=7$ n’est pas continue en 3, car le quotient se simplifie en $x+15$ et sa limite en 3 vaut 18, différente de $f(3)=7$.

📖 4. Prolongement par continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : Un prolongement par continuité en a consiste à attribuer à la fonction, jusque-là non définie en a, la valeur de sa limite en a lorsque cette limite est finie.

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a}f(x)=L$ avec L fini, la fonction définie par f hors de a et par $f(a)=L$ en a est continue en a.

Compléments

• La fonction $f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$ pour $x\ne0$ admet en 0 la limite $\frac12$ et se prolonge continûment en posant $f(0)=\frac12$.

📌 La fonction $f(x)=\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^2+3x+2}$ ne peut pas être prolongée par continuité en $x=-2$, car sa limite à droite en ce point est $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Limite finie au point exclu → valeur à attribuer pour prolonger.

📖 5. Continuité des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.

📌 Un quotient de fonctions continues est continu sur tout intervalle où son dénominateur ne s’annule pas.

📌 La somme, la différence, le produit et la composée de fonctions continues sont continus sur les domaines où ces opérations sont définies.

Compléments

• La fonction tangente est continue sur chaque intervalle $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[$, où $k\in\mathbb{Z}$.

• La fonction $h(x)=\sqrt{x^2+x+3}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, car le trinôme sous la racine est toujours positif.

📖 6. Images et fonctions bornées

★ À maîtriser

• Une fonction continue sur un segment atteint un minimum et un maximum sur ce segment.

Compléments

📌 Si f est bornée sur un ensemble et g est continue sur un intervalle fermé et borné contenant les valeurs de f, alors la composée $g\circ f$ est bornée.

📌 Si g est continue sur son domaine et f est bornée sur un intervalle contenant les valeurs de g, alors la composée $f\circ g$ est bornée sur le domaine de g.

📖 7. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur $[a,b]$, alors toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte par f en au moins un point de $[a,b]$.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle, et si ses valeurs aux bornes encadrent 0, l’équation $f(x)=0$ y admet une unique solution.

Compléments

• L’équation $x^3+x+1=0$ admet une unique solution dans $]-1{,}0[$, car la fonction correspondante est continue, strictement croissante et change de signe aux bornes.

• Pour démontrer l’existence d’une racine dans un intervalle, on vérifie la continuité de la fonction, on calcule ses valeurs aux bornes, puis on applique le théorème des valeurs intermédiaires si ces valeurs encadrent zéro.

📖 8. Fonctions réciproques et bijections

★ À maîtriser

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective de cet intervalle vers son image et admet une fonction réciproque.

• Les courbes représentatives d’une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Compléments

📐 Formule - Si $y=\frac{3-x}{x+2}$, alors la fonction réciproque est $g^{-1}(y)=\frac{3-2y}{y+1}$.

📐 Formule - La réciproque de $f(x)=\sqrt{2x-1}$ définie sur $[\frac12,+\infty[$ est $f^{-1}(x)=\frac{x^2+1}{2}$ pour $x\in[0,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Les courbes d’une fonction et de sa réciproque se reflètent autour de y = x.

📖 9. Équations avec puissances

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation de la forme $x^n=a$ avec n impair, on peut prendre la racine n-ième réelle des deux côtés.

📌 Pour n pair, $x^n\geq0$ pour tout réel x ; si a est négatif, l’équation $x^n=a$ n’a aucune solution réelle.

Compléments

• Pour résoudre une équation polynomiale en $a^x$, on peut poser $X=a^x$, résoudre l’équation obtenue en X, puis ne conserver que les valeurs compatibles avec $X>0$ si $a>0$ et $a\ne1$.

📖 10. Calculs sur les radicaux

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout entier m strictement positif et tout réel positif x, $x^{1/m}=\sqrt[m]{x}$.

📐 Formule - Pour des entiers m et n, $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$ lorsque l’expression est définie dans les réels.

📌 Pour comparer deux puissances positives de même exposant, on peut élever les deux nombres à cet exposant et comparer les résultats.

• Dans la rationalisation d’un dénominateur contenant une différence de racines cubiques, on utilise l’identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.