QCM : Limites et continuité (23 questions)

Question 1

1. Pour calculer la limite à l’infini de $\frac{5x^2-3x+1}{2x^3+x-4}$ , quelle puissance de $x$ faut-il utiliser pour comparer les termes dominants en divisant le numérateur et le dénominateur ?

x^1

x^2

x^0

x^3

Explication

On divise par la plus grande puissance présente dans le numérateur ou le dénominateur, ici $x^3$ . Choisir $x^2$ ignore le degré supérieur du dénominateur, tandis que $x^0$ ou $x^1$ ne correspond pas à la puissance dominante.

Answer

Il faut transformer l’expression avant de conclure.

Answer

La limite lorsque la variable tend vers $$a$$ en restant d’un seul côté.

Answer

La fonction admet une limite en $$a$$, égale à $$3$$.

Answer

Elle n’est pas continue, car la limite diffère de sa valeur en $$a$$.

Answer

Comparer les limites à gauche et à droite à la valeur de la fonction en $$2$$.

Answer

Définir sa valeur en $$a$$ comme étant $$L$$.

Answer

Elle est continue sur $$\mathbb{R}$$.

Answer

Sur $$\mathbb{R}\setminus\{3\}$$.

Answer

$$H$$ est continue sur $$\mathbb{R}$$.

Answer

$$f$$ atteint un minimum et un maximum sur $$[-2,4]$$.

Answer

La fonction atteint la valeur $$3$$ en au moins un point de $$[a,b]$$.

Answer

Elle admet au moins une solution dans $$]2,6[$$.

Answer

L’équation admet une unique solution dans $$]1,4[$$.

Answer

Elle est bijective de $$I$$ vers son image et possède une fonction réciproque.

Answer

Elles sont symétriques par rapport à la droite $$y=x$$.

Answer

Aucune solution réelle

Answer

$$3^{1/2}<5^{1/2}$$

Answer

Elle n’est pas continue, car la limite vaut $$18$$ tandis que $$f(3)=7$$.

Answer

La composée est bornée, puisque les valeurs de $$f$$ restent dans un intervalle compact où $$g$$ est continue.

Answer

$$\sqrt[5]{a}$$

Question 2

2. Lorsqu’une transformation d’une limite conduit à la forme $+\infty-\infty$ , que peut-on conclure à ce stade ?

La limite vaut nécessairement

0

.

La limite n’existe pas nécessairement.

La limite vaut nécessairement

+\infty

.

Il faut transformer l’expression avant de conclure.

Explication

La forme $+\infty-\infty$ est indéterminée : elle ne donne pas directement la valeur de la limite, et l’expression doit être transformée, par exemple par factorisation ou rationalisation. L’assimiler à $+\infty$ , à $0$ ou à une absence de limite revient à tirer une conclusion que la forme seule ne permet pas.

Question 3

3. Comment caractérise-t-on une limite latérale en un point $a$ ?

La limite lorsque la variable tend vers

a

en restant d’un seul côté.

La limite de la fonction lorsque la variable tend vers l’infini.

La valeur de la fonction lorsque la variable est égale à

a

.

La limite lorsque la variable tend vers

a

en venant des deux côtés.

Explication

Une limite latérale décrit le comportement de la fonction lorsque la variable approche $a$ en restant d’un seul côté. L’approche des deux côtés concerne la limite en $a$ , la valeur au point est une autre notion, et une limite à l’infini porte sur un autre type de comportement.

Question 4

4. En un point $a$ , une fonction a une limite à gauche égale à $3$ et une limite à droite égale à $3$ . Quelle conclusion s’applique ?

La fonction n’admet pas de limite en

a

, car les limites latérales existent.

La fonction admet une limite en

a

, égale à la valeur en

a

.

La fonction admet une limite en

a

, égale à

3

.

La fonction n’admet pas de limite en

a

, car les côtés sont distincts.

Explication

Une limite en $a$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales ; ici, leur valeur commune est $3$ . La valeur de la fonction au point n’est pas déterminante, et le fait d’examiner les deux côtés ne suffit pas à conclure à une absence de limite.

Question 5

5. Une fonction vérifie $\lim_{x\to a}f(x)=4$ et $f(a)=6$ . Quelle conclusion s’applique en $a$ ?

Elle est continue, car sa valeur en

a

est définie.

Elle n’est pas continue, car la limite diffère de sa valeur en

a

.

Elle n’est pas continue, car la limite doit être nulle.

Elle est continue, car sa limite en

a

existe.

Explication

La continuité en $a$ exige que la limite existe et soit égale à $f(a)$ . L’existence seule de la limite, une valeur définie ou une limite nulle ne suffit pas si cette égalité manque.

Question 6

6. Une fonction est définie par une expression pour $x<2$ , une autre pour $x>2$ , et une valeur particulière en $x=2$ . Quelle démarche permet de tester sa continuité en $2$ ?

Comparer les limites à gauche et à droite à la valeur de la fonction en

2

.

Comparer la valeur en

2

à la limite de la fonction en un autre point.

Comparer les limites à gauche et à droite entre elles, sans utiliser la valeur en

2

.

Comparer la limite à gauche à la valeur de la fonction en

2

.

Explication

Pour une fonction définie par morceaux, la continuité en $2$ se vérifie en comparant les limites latérales à la valeur de la fonction en ce point. Examiner une seule limite ou omettre la valeur en $2$ ne permet pas de conclure.

Question 7

7. Une fonction n’est pas définie en $a$ , mais sa limite en $a$ existe et vaut $L$ , avec $L$ fini. Que signifie la prolonger par continuité en $a$ ?

Définir sa valeur en

a

comme étant

L

.

Définir sa valeur en

a

comme étant l’inverse de

L

.

Définir sa valeur en

a

comme étant un nombre choisi librement.

Remplacer par

L

les valeurs de la fonction au voisinage de

a

.

Explication

Le prolongement par continuité consiste à définir la fonction au point manquant en lui attribuant sa limite finie en ce point. Une valeur arbitraire ou la modification des valeurs voisines ne correspond pas à cette définition.

Question 8

8. Pour une fonction définie hors de $a$ , on établit que $\lim_{x\to a}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $f(a)$ pour obtenir une fonction continue en $a$ ?

0

-2

3

-3

Explication

Si la limite en $a$ est finie et vaut $L$ , poser $f(a)=L$ rend la fonction continue en ce point. Ici, la valeur nécessaire est donc $-3$ ; $3$ en inverse le signe, tandis que $0$ et $-2$ ne correspondent pas à la limite.

Question 9

9. Quelle propriété de continuité s’applique à la fonction polynomiale $P(x)=2x^4-3x+1$ sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est continue seulement là où elle ne s’annule pas.

Elle est continue seulement sur les intervalles bornés.

Elle est continue seulement si son degré est inférieur ou égal à un.

Elle est continue sur

\mathbb{R}

.

Explication

Toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$ , quel que soit son degré ou ses zéros. La condition de non-annulation concerne les dénominateurs d’un quotient, et non les polynômes.

Question 10

10. Sur quel ensemble peut-on conclure que $F(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$ est continue ?

Sur

\mathbb{R}\setminus\{0,3\}

.

Sur

\mathbb{R}

tout entier.

Sur

\mathbb{R}\setminus\{3\}

.

Sur

\mathbb{R}\setminus\{-1,1,3\}

.

Explication

Le numérateur et le dénominateur sont continus, donc leur quotient est continu là où le dénominateur ne s’annule pas; ici, cela exclut $x=3$ . Les zéros éventuels du numérateur ne limitent pas la continuité du quotient.

Question 11

11. Si $u$ et $v$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , quelle conclusion s’applique à $H(x)=\cos(u(x))+v(x)^2$ ?

H

est continue seulement si

u=v

.

H

est continue là où

v(x)\ne 0

.

H

est continue là où

u(x)\ne 0

.

H

est continue sur

\mathbb{R}

.

Explication

La composée de fonctions continues, le carré et la somme préservent la continuité sur leur domaine de définition; ces opérations sont définies ici sur $\mathbb{R}$ . La non-annulation est une condition liée au quotient, pas à une somme ou à une composée.

Question 12

12. Une fonction $f$ est continue sur le segment $[-2,4]$ . Quelle propriété garantit que ses valeurs extrêmes sont atteintes sur ce segment ?

f

est nécessairement bornée sur tout

\mathbb{R}

.

f

atteint un minimum et un maximum sur

[-2,4]

.

f

atteint ses bornes seulement aux extrémités du segment.

f

est nécessairement strictement monotone sur

[-2,4]

.

Explication

Une fonction continue sur un segment atteint sur ce segment un minimum et un maximum. Cela n’impose ni monotonie ni atteinte des extrema aux extrémités, et ne renseigne pas sur les valeurs hors du segment.

Question 13

13. Une fonction continue sur $[a,b]$ prend aux extrémités les valeurs $-2$ et $5$ . Quelle conclusion le théorème des valeurs intermédiaires permet-il d’établir pour la valeur $3$ ?

La fonction atteint la valeur

3

en un unique point de

[a,b]

.

La fonction atteint la valeur

3

en au moins un point de

[a,b]

.

La fonction atteint la valeur

3

seulement si ses bornes sont de signes opposés.

La fonction atteint la valeur

3

à une extrémité de

[a,b]

.

Explication

Par continuité, toute valeur comprise entre les valeurs aux extrémités est atteinte en au moins un point de l’intervalle. Une valeur extrémale confond les valeurs intermédiaires avec les bornes, le changement de signe n’est pas requis pour cette conclusion, et l’unicité ne découle pas du théorème seul.

Question 14

14. Une fonction $h$ est continue sur $[2,6]$ et vérifie $h(2)=4$ et $h(6)=-1$ . Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $h(x)=0$ ?

Elle admet au moins une solution dans

]2,6[

.

Elle admet au moins une solution dans

[2,6]

, qui peut être une extrémité.

Elle admet une unique solution dans

]2,6[

.

Elle n’est pas garantie d’avoir une solution dans

[2,6]

.

Explication

La continuité et le produit $h(2)h(6)<0$ garantissent au moins une racine strictement entre les deux extrémités. Une racine à une extrémité ne correspond pas aux valeurs non nulles données, et l’unicité exige une hypothèse supplémentaire comme la stricte monotonie.

Question 15

15. Une fonction $p$ est continue et strictement décroissante sur $[1,4]$ , avec $p(1)=6$ et $p(4)=-2$ . Que peut-on conclure au sujet de $p(x)=0$ sur cet intervalle ?

L’équation n’admet aucune solution dans

[1,4]

.

L’équation admet une unique solution dans

]1,4[

.

L’équation admet au moins une solution, sans garantie d’unicité.

L’équation admet deux solutions, une près de chaque borne.

Explication

Les valeurs aux bornes encadrent zéro, donc la continuité assure l’existence d’une racine, et la stricte monotonie en assure l’unicité. La décroissance n’empêche pas l’existence, tandis que l’existence seule ou deux racines ne respectent pas la conclusion combinant ces hypothèses.

Question 16

16. Une fonction $q$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ . Quelle conséquence en découle pour $q$ et son image ?

Elle est bijective de son image vers

I

et possède une fonction réciproque.

Elle est bijective de

I

vers

\mathbb{R}

et possède une fonction réciproque.

Elle est injective sur

I

, mais ne possède pas de fonction réciproque.

Elle est bijective de

I

vers son image et possède une fonction réciproque.

Explication

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective vers son image, ce qui permet de définir sa réciproque. La conclusion ne garantit pas une image égale à $\mathbb{R}$ , n’inverse pas les ensembles de départ et d’arrivée, et ne requiert pas l’étude d’une dérivée.

Question 17

17. Sur un même repère, on trace la courbe d’une fonction bijective $r$ et celle de sa réciproque. Quelle relation géométrique lie ces courbes ?

Elles sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Elles sont symétriques par rapport à la droite

y=x

.

Elles sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Elles sont symétriques par rapport à la droite

y=-x

.

Explication

La réciproque échange les coordonnées $x$ et $y$ de chaque point, ce qui donne une symétrie par rapport à la droite $y=x$ . La fonction opposée et l’inverse multiplicative sont d’autres transformations, tandis que les axes de coordonnées et la droite $y=-x$ correspondent à d’autres symétries.

Question 18

18. Pour résoudre dans les réels l’équation $x^3=-125$ , quelle valeur obtient-on en prenant la racine cubique des deux côtés ?

x=5

x=-5

x=25

x=-25

Explication

Comme l’exposant est impair, la racine cubique réelle de $-125$ est $-5$ . La réponse $5$ ignore le signe négatif, tandis que $-25$ et $25$ résultent d’une mauvaise extraction de la racine.

Question 19

19. Une équation $x^4=a$ doit être résolue dans les réels, mais on sait que $a=-16$ ; quel est l’ensemble de ses solutions réelles ?

Deux solutions réelles opposées

Aucune solution réelle

Une solution réelle nulle

Une solution réelle négative

Explication

Une puissance d’exposant pair est non négative pour tout réel, donc elle ne peut pas valoir $-16$ . Deux solutions opposées correspondent à une valeur positive de $a$ , une solution négative traite l’exposant pair comme impair, et zéro ne vérifie pas l’équation.

Question 20

20. Pour comparer $3^{1/2}$ et $5^{1/2}$ , quelle conclusion obtient-on en élevant les deux nombres positifs au même exposant, ici $2$ ?

3^{1/2}=5^{1/2}

3^{1/2}<5^{1/2}

La comparaison ne peut pas être déterminée

3^{1/2}>5^{1/2}

Explication

Les deux puissances sont positives et ont le même exposant ; leurs carrés sont respectivement $3$ et $5$ , donc la première puissance est plus petite. L’inégalité inversée renverse l’ordre, l’égalité assimile deux bases différentes et l’indétermination néglige la comparaison directe des carrés.

Question 21

21. On définit $f(x)=\frac{x^2+12x-45}{x-3}$ pour $x\ne 3$ et $f(3)=7$ . Quelle conclusion s’impose quant à la continuité de $f$ en $3$ ?

Elle est continue, car le quotient se simplifie en

x+15

.

Elle n’est pas continue, car la limite vaut

18

tandis que

f(3)=7

.

Elle est continue, car la limite vaut

7

comme $$f(3)$.

Elle n’est pas continue, car la limite vaut

7

tandis que

f(3)=18

.

Explication

Pour $x\ne3$ , le quotient se simplifie en $x+15$ , dont la limite en $3$ vaut $18$ ; la continuité exige que cette limite soit égale à $f(3)=7$ . Confondre la limite et la valeur au point donne $7$ , tandis que l’inversion de ces valeurs donne l’autre conclusion erronée.

Question 22

22. Une fonction $f$ prend toutes ses valeurs dans l’intervalle $[-2,4]$ , et une fonction $g$ est continue sur cet intervalle fermé et borné. Que peut-on conclure pour $g\circ f$ sur le domaine de $f$ ?

La composée est continue, puisque

f

est bornée et

g

est continue sur l’intervalle considéré.

La composée est bornée, puisque

g

est continue sur l’image de

f

, même si cette image est non bornée.

La composée est bornée, puisque les valeurs de

f

restent dans un intervalle compact où

g

est continue.

La composée est bornée, puisque

f

est continue sur son domaine et

g

est bornée sur son domaine.

Explication

Les valeurs de $f$ appartiennent à $[-2,4]$ , et la continuité de $g$ sur cet intervalle fermé et borné implique que ses valeurs y sont bornées; ainsi $g\circ f$ est bornée. L’option sur la continuité de $f$ ajoute une condition non requise, celle portant sur une image non bornée néglige l’hypothèse d’intervalle compact, et la continuité de la composée n’est pas la conclusion établie.

Question 23

23. Pour un réel positif $a$ , quelle expression est équivalente à $a^{1/5}$ ?

\sqrt{a}

\sqrt[5]{a}

\sqrt[1/5]{a}

\sqrt[a]{5}

Explication

Pour un entier positif $m$ , l’exposant $1/m$ correspond à la racine $m$ -ième : ainsi $a^{1/5}=\sqrt[5]{a}$ . $\sqrt[a]{5}$ inverse le nombre et l’indice, $\sqrt[1/5]{a}$ confond exposant et indice, et $\sqrt{a}$ est une racine carrée.

QCM : Limites et continuité (23 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer la limite à l’infini de $\frac{5x^2-3x+1}{2x^3+x-4}$ , quelle puissance de $x$ faut-il utiliser pour comparer les termes dominants en divisant le numérateur et le dénominateur ?

2. Lorsqu’une transformation d’une limite conduit à la forme $+\infty-\infty$ , que peut-on conclure à ce stade ?

3. Comment caractérise-t-on une limite latérale en un point $a$ ?

4. En un point $a$ , une fonction a une limite à gauche égale à $3$ et une limite à droite égale à $3$ . Quelle conclusion s’applique ?

5. Une fonction vérifie $\lim_{x\to a}f(x)=4$ et $f(a)=6$ . Quelle conclusion s’applique en $a$ ?

6. Une fonction est définie par une expression pour $x<2$ , une autre pour $x>2$ , et une valeur particulière en $x=2$ . Quelle démarche permet de tester sa continuité en $2$ ?

7. Une fonction n’est pas définie en $a$ , mais sa limite en $a$ existe et vaut $L$ , avec $L$ fini. Que signifie la prolonger par continuité en $a$ ?

8. Pour une fonction définie hors de $a$ , on établit que $\lim_{x\to a}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $f(a)$ pour obtenir une fonction continue en $a$ ?

9. Quelle propriété de continuité s’applique à la fonction polynomiale $P(x)=2x^4-3x+1$ sur $\mathbb{R}$ ?

10. Sur quel ensemble peut-on conclure que $F(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$ est continue ?

11. Si $u$ et $v$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , quelle conclusion s’applique à $H(x)=\cos(u(x))+v(x)^2$ ?

12. Une fonction $f$ est continue sur le segment $[-2,4]$ . Quelle propriété garantit que ses valeurs extrêmes sont atteintes sur ce segment ?

13. Une fonction continue sur $[a,b]$ prend aux extrémités les valeurs $-2$ et $5$ . Quelle conclusion le théorème des valeurs intermédiaires permet-il d’établir pour la valeur $3$ ?

14. Une fonction $h$ est continue sur $[2,6]$ et vérifie $h(2)=4$ et $h(6)=-1$ . Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $h(x)=0$ ?

15. Une fonction $p$ est continue et strictement décroissante sur $[1,4]$ , avec $p(1)=6$ et $p(4)=-2$ . Que peut-on conclure au sujet de $p(x)=0$ sur cet intervalle ?

16. Une fonction $q$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ . Quelle conséquence en découle pour $q$ et son image ?

17. Sur un même repère, on trace la courbe d’une fonction bijective $r$ et celle de sa réciproque. Quelle relation géométrique lie ces courbes ?

18. Pour résoudre dans les réels l’équation $x^3=-125$ , quelle valeur obtient-on en prenant la racine cubique des deux côtés ?

19. Une équation $x^4=a$ doit être résolue dans les réels, mais on sait que $a=-16$ ; quel est l’ensemble de ses solutions réelles ?

20. Pour comparer $3^{1/2}$ et $5^{1/2}$ , quelle conclusion obtient-on en élevant les deux nombres positifs au même exposant, ici $2$ ?

21. On définit $f(x)=\frac{x^2+12x-45}{x-3}$ pour $x\ne 3$ et $f(3)=7$ . Quelle conclusion s’impose quant à la continuité de $f$ en $3$ ?

22. Une fonction $f$ prend toutes ses valeurs dans l’intervalle $[-2,4]$ , et une fonction $g$ est continue sur cet intervalle fermé et borné. Que peut-on conclure pour $g\circ f$ sur le domaine de $f$ ?

23. Pour un réel positif $a$ , quelle expression est équivalente à $a^{1/5}$ ?

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QCM : Limites et continuité (23 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer la limite à l’infini de 5x2−3x+12x3+x−4\frac{5x^2-3x+1}{2x^3+x-4}2x3+x−45x2−3x+1​, quelle puissance de xxx faut-il utiliser pour comparer les termes dominants en divisant le numérateur et le dénominateur ?

2. Lorsqu’une transformation d’une limite conduit à la forme +∞−∞+\infty-\infty+∞−∞, que peut-on conclure à ce stade ?

3. Comment caractérise-t-on une limite latérale en un point aaa ?

4. En un point aaa, une fonction a une limite à gauche égale à 333 et une limite à droite égale à 333. Quelle conclusion s’applique ?

5. Une fonction vérifie lim⁡x→af(x)=4\lim_{x\to a}f(x)=4limx→a​f(x)=4 et f(a)=6f(a)=6f(a)=6. Quelle conclusion s’applique en aaa ?

6. Une fonction est définie par une expression pour x<2x<2x<2, une autre pour x>2x>2x>2, et une valeur particulière en x=2x=2x=2. Quelle démarche permet de tester sa continuité en 222 ?

7. Une fonction n’est pas définie en aaa, mais sa limite en aaa existe et vaut LLL, avec LLL fini. Que signifie la prolonger par continuité en aaa ?

8. Pour une fonction définie hors de aaa, on établit que lim⁡x→af(x)=−3\lim_{x\to a}f(x)=-3limx→a​f(x)=−3. Quelle valeur faut-il attribuer à f(a)f(a)f(a) pour obtenir une fonction continue en aaa ?

9. Quelle propriété de continuité s’applique à la fonction polynomiale P(x)=2x4−3x+1P(x)=2x^4-3x+1P(x)=2x4−3x+1 sur R\mathbb{R}R ?

10. Sur quel ensemble peut-on conclure que F(x)=x2+1x−3F(x)=\frac{x^2+1}{x-3}F(x)=x−3x2+1​ est continue ?

11. Si uuu et vvv sont continues sur R\mathbb{R}R, quelle conclusion s’applique à H(x)=cos⁡(u(x))+v(x)2H(x)=\cos(u(x))+v(x)^2H(x)=cos(u(x))+v(x)2 ?

12. Une fonction fff est continue sur le segment [−2,4][-2,4][−2,4]. Quelle propriété garantit que ses valeurs extrêmes sont atteintes sur ce segment ?

13. Une fonction continue sur [a,b][a,b][a,b] prend aux extrémités les valeurs −2-2−2 et 555. Quelle conclusion le théorème des valeurs intermédiaires permet-il d’établir pour la valeur 333 ?

14. Une fonction hhh est continue sur [2,6][2,6][2,6] et vérifie h(2)=4h(2)=4h(2)=4 et h(6)=−1h(6)=-1h(6)=−1. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation h(x)=0h(x)=0h(x)=0 ?

15. Une fonction ppp est continue et strictement décroissante sur [1,4][1,4][1,4], avec p(1)=6p(1)=6p(1)=6 et p(4)=−2p(4)=-2p(4)=−2. Que peut-on conclure au sujet de p(x)=0p(x)=0p(x)=0 sur cet intervalle ?

16. Une fonction qqq est continue et strictement monotone sur l’intervalle III. Quelle conséquence en découle pour qqq et son image ?

17. Sur un même repère, on trace la courbe d’une fonction bijective rrr et celle de sa réciproque. Quelle relation géométrique lie ces courbes ?

18. Pour résoudre dans les réels l’équation x3=−125x^3=-125x3=−125, quelle valeur obtient-on en prenant la racine cubique des deux côtés ?

19. Une équation x4=ax^4=ax4=a doit être résolue dans les réels, mais on sait que a=−16a=-16a=−16 ; quel est l’ensemble de ses solutions réelles ?

20. Pour comparer 31/23^{1/2}31/2 et 51/25^{1/2}51/2, quelle conclusion obtient-on en élevant les deux nombres positifs au même exposant, ici 222 ?

21. On définit f(x)=x2+12x−45x−3f(x)=\frac{x^2+12x-45}{x-3}f(x)=x−3x2+12x−45​ pour x≠3x\ne 3x=3 et f(3)=7f(3)=7f(3)=7. Quelle conclusion s’impose quant à la continuité de fff en 333 ?

22. Une fonction fff prend toutes ses valeurs dans l’intervalle [−2,4][-2,4][−2,4], et une fonction ggg est continue sur cet intervalle fermé et borné. Que peut-on conclure pour g∘fg\circ fg∘f sur le domaine de fff ?

23. Pour un réel positif aaa, quelle expression est équivalente à a1/5a^{1/5}a1/5 ?

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1. Pour calculer la limite à l’infini de $\frac{5x^2-3x+1}{2x^3+x-4}$ , quelle puissance de $x$ faut-il utiliser pour comparer les termes dominants en divisant le numérateur et le dénominateur ?

2. Lorsqu’une transformation d’une limite conduit à la forme $+\infty-\infty$ , que peut-on conclure à ce stade ?

3. Comment caractérise-t-on une limite latérale en un point $a$ ?

4. En un point $a$ , une fonction a une limite à gauche égale à $3$ et une limite à droite égale à $3$ . Quelle conclusion s’applique ?

5. Une fonction vérifie $\lim_{x\to a}f(x)=4$ et $f(a)=6$ . Quelle conclusion s’applique en $a$ ?

6. Une fonction est définie par une expression pour $x<2$ , une autre pour $x>2$ , et une valeur particulière en $x=2$ . Quelle démarche permet de tester sa continuité en $2$ ?

7. Une fonction n’est pas définie en $a$ , mais sa limite en $a$ existe et vaut $L$ , avec $L$ fini. Que signifie la prolonger par continuité en $a$ ?

8. Pour une fonction définie hors de $a$ , on établit que $\lim_{x\to a}f(x)=-3$ . Quelle valeur faut-il attribuer à $f(a)$ pour obtenir une fonction continue en $a$ ?

9. Quelle propriété de continuité s’applique à la fonction polynomiale $P(x)=2x^4-3x+1$ sur $\mathbb{R}$ ?

10. Sur quel ensemble peut-on conclure que $F(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$ est continue ?

11. Si $u$ et $v$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , quelle conclusion s’applique à $H(x)=\cos(u(x))+v(x)^2$ ?

12. Une fonction $f$ est continue sur le segment $[-2,4]$ . Quelle propriété garantit que ses valeurs extrêmes sont atteintes sur ce segment ?

13. Une fonction continue sur $[a,b]$ prend aux extrémités les valeurs $-2$ et $5$ . Quelle conclusion le théorème des valeurs intermédiaires permet-il d’établir pour la valeur $3$ ?

14. Une fonction $h$ est continue sur $[2,6]$ et vérifie $h(2)=4$ et $h(6)=-1$ . Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $h(x)=0$ ?

15. Une fonction $p$ est continue et strictement décroissante sur $[1,4]$ , avec $p(1)=6$ et $p(4)=-2$ . Que peut-on conclure au sujet de $p(x)=0$ sur cet intervalle ?

16. Une fonction $q$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ . Quelle conséquence en découle pour $q$ et son image ?

17. Sur un même repère, on trace la courbe d’une fonction bijective $r$ et celle de sa réciproque. Quelle relation géométrique lie ces courbes ?

18. Pour résoudre dans les réels l’équation $x^3=-125$ , quelle valeur obtient-on en prenant la racine cubique des deux côtés ?

19. Une équation $x^4=a$ doit être résolue dans les réels, mais on sait que $a=-16$ ; quel est l’ensemble de ses solutions réelles ?

20. Pour comparer $3^{1/2}$ et $5^{1/2}$ , quelle conclusion obtient-on en élevant les deux nombres positifs au même exposant, ici $2$ ?

21. On définit $f(x)=\frac{x^2+12x-45}{x-3}$ pour $x\ne 3$ et $f(3)=7$ . Quelle conclusion s’impose quant à la continuité de $f$ en $3$ ?

22. Une fonction $f$ prend toutes ses valeurs dans l’intervalle $[-2,4]$ , et une fonction $g$ est continue sur cet intervalle fermé et borné. Que peut-on conclure pour $g\circ f$ sur le domaine de $f$ ?

23. Pour un réel positif $a$ , quelle expression est équivalente à $a^{1/5}$ ?