Fiche de révision : Limites et continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Fonctions numériques et vocabulaire
2. Limites des fonctions réelles
3. Continuité et opérations
4. Théorèmes de continuité
5. Fonctions à valeurs complexes
6. Dérivabilité et tangente
7. Dérivabilité et règles de calcul
8. Théorèmes liés à la dérivée
9. Convexité et courbure des fonctions

📖 1. Fonctions numériques et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ.
• Voisinage : Propriété vraie sur l’intersection du domaine de la fonction avec un intervalle ouvert centré en a lorsque a est réel, ou avec une demi-droite adéquate lorsque a vaut +∞ ou −∞.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des fonctions numériques définies sur un intervalle I est noté F(I, ℝ).

📌 Deux fonctions numériques sont égales si et seulement si elles ont le même domaine, le même ensemble d’arrivée et la même valeur en tout point de leur domaine.

📖 2. Limites des fonctions réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Pour tout ε>0, il existe η>0 tel que, pour tout x du domaine, |x−a|≤η implique |f(x)−ℓ|≤ε.
• Limite unilatérale : Limite de la restriction de la fonction au domaine situé respectivement à gauche ou à droite de a.
• Limite infinie : Quand x tend vers +∞ ou −∞, la limite de f vaut +∞ si f dépasse tout réel A dans la direction considérée, et vaut −∞ si f devient inférieure à tout réel A dans cette direction.

★ À maîtriser

• Si une fonction possède une limite en un point adhérent à son domaine, cette limite est unique.

• Si f est définie en a et possède une limite en a, alors cette limite vaut f(a).

• Si f est définie en a, elle admet une limite en a égale à ℓ si et seulement si ses limites à gauche et à droite valent ℓ et f(a)=ℓ.

• On ne peut pas calculer une limite en remplaçant seulement une partie d’une expression par sa limite et en laissant le reste inchangé.

• La limite de f en a vaut ℓ si et seulement si, pour toute suite (uₙ) à valeurs dans son domaine et de limite a, la suite (f(uₙ)) converge vers ℓ.

• Si m(x)≤f(x)≤M(x) au voisinage de a et si m et M tendent toutes deux vers ℓ, alors f tend vers ℓ.

• Toute fonction monotone possède une limite à gauche et une limite à droite en tout point où ces limites ont un sens.

Compléments

• Une limite finie en un point réel s’exprime par une condition ε-η, une limite finie à l’infini par une condition ε-B, une limite infinie en un point réel par une condition A-η et une limite infinie à l’infini par une condition A-B.

• Si une fonction possède une limite finie en a, elle est bornée au voisinage de a.

• Les opérations usuelles sur les limites de fonctions suivent les mêmes règles que pour les suites, notamment pour la somme, le produit, la multiplication par un scalaire et l’inverse, avec les mêmes formes indéterminées.

• Si limₓ→ₐ f(x)=b et limᵧ→ᵦ g(y)=c, alors limₓ→ₐ g(f(x))=c.

• Si f possède une limite ℓ en a et si ℓ<M, alors f(x)<M au voisinage de a ; si ℓ>m, alors f(x)>m au voisinage de a.

• Si f et g ont des limites finies en a et si f(x)≤g(x) au voisinage de a, alors limₐ f≤limₐ g.

💡 Astuce mémo

Limite bilatérale : les deux côtés concordent ; limite unilatérale : un seul côté est considéré.

📖 3. Continuité et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Fonction admettant en a une limite finie égale à g(a).
• Continuité unilatérale : Fonction dont la limite à droite ou à gauche en a vaut sa valeur en a.
• Classe C0 : L’ensemble des fonctions définies et continues sur D à valeurs réelles est noté C⁰(D,ℝ), et une telle fonction est dite de classe C⁰ sur D.
• Prolongement : Fonction définie sur E qui coïncide avec f sur D, lorsque E⊃D.

★ À maîtriser

• Toute fonction continue en a est bornée au voisinage de a, mais une fonction continue sur son domaine n’est pas nécessairement bornée sur tout ce domaine.

📌 Si f est continue en a, g est continue en f(a) et f(D)⊂E, alors g∘f est continue en a ; les mêmes hypothèses de continuité sur D et E assurent la continuité de g∘f sur D.

📌 Si a∉D est adhérent à D et si f possède en a une limite finie, f se prolonge continûment à D∪{a} en posant f(a)=limₐf.

Compléments

• Si g est continue en a et g(a)>0, alors g est strictement positive au voisinage de a ; si g(a)<0, elle y est strictement négative.

• Les valeurs absolues, sommes, produits et multiples scalaires de fonctions continues en a sont continus en a ; un quotient l’est aussi si le dénominateur ne s’annule pas en a.

• f est continue en a si et seulement si, pour toute suite (xₙ) du domaine qui converge vers a, f(xₙ) converge vers f(a).

• Si une suite définie par uₙ₊₁=f(uₙ) converge vers un réel ℓ et si f est définie et continue en ℓ, alors f(ℓ)=ℓ.

• La fonction x↦sin(x)/x, non définie en 0, se prolonge continûment en 0 en lui attribuant la valeur 1.

💡 Astuce mémo

Continuité en un point → bornitude au voisinage de ce point.

📖 4. Théorèmes de continuité

★ À maîtriser

• Si f est continue sur [a,b], tout réel compris entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent par f dans [a,b].

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, sans que l’image soit nécessairement de même nature que l’intervalle de départ.

• Toute fonction continue sur un segment y est bornée et y atteint ses bornes ; son image est donc un segment.

• Pour une fonction continue sur un intervalle, la stricte monotonie équivaut à l’injectivité.

Compléments

• La dichotomie construit des intervalles emboîtés de longueurs divisées par deux, en conservant la valeur cible entre les images des bornes, jusqu’à obtenir une solution par continuité.

• Une fonction continue sur un intervalle qui ne s’annule pas y garde un signe constant strict.

• Une fonction continue et strictement croissante sur [a,b] est bijective de [a,b] sur [f(a),f(b)].

• Une fonction continue et strictement décroissante sur [a,b[ est bijective de [a,b[ sur ]lim₍b₋₎f,f(a)].

• Une fonction continue sur un intervalle borné qui n’est pas un segment n’est pas nécessairement bornée.

📌 Dans les conditions de continuité et de stricte monotonie sur un intervalle, la fonction réciproque est continue et strictement monotone dans le même sens que la fonction initiale.

💡 Astuce mémo

Une courbe continue sur un segment atteint ses deux bords et toutes les valeurs intermédiaires.

📖 5. Fonctions à valeurs complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite complexe : Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que |x−a|<α implique |f(x)−ℓ|<ε pour tout x∈D.
• Fonction bornée : Fonction pour laquelle il existe K≥0 tel que |f(x)|≤K pour tout x∈D.
• Continuité complexe : Une fonction f:I→ℂ est continue en a si limₓ→ₐf(x)=f(a).

★ À maîtriser

📌 f:D→ℂ tend vers ℓ en a si et seulement si Re(f) tend vers Re(ℓ) et Im(f) tend vers Im(ℓ) en a.

📌 Une fonction complexe est continue en a si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont en a.

Compléments

• Une limite complexe, si elle existe, est unique et la fonction est bornée au voisinage du point considéré.

• L’addition, la multiplication, la conjugaison, le module et l’inverse passent aux limites des fonctions complexes lorsque les opérations sont définies.

• Les théorèmes d’encadrement, de minoration, de majoration et de limite monotone ne s’appliquent pas aux fonctions complexes, car ils reposent sur l’ordre de ℝ.

• Si f est continue en a à valeurs complexes, alors |f| et le conjugué de f sont continus en a.

💡 Astuce mémo

Parties réelle et imaginaire : deux coordonnées réelles qui déterminent la limite complexe.

📖 6. Dérivabilité et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité : Fonction pour laquelle la limite finie de (f(x)−f(a))/(x−a) lorsque x tend vers a existe ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).
• Tangente : Si f est dérivable en a, sa tangente en a a pour équation y=f(a)+f′(a)(x−a).
• Fonction dérivée : Fonction x↦f′(x) définie sur D pour une fonction dérivable sur D.

📝 Points essentiels

📌 Si le quotient différentiel de f en a tend vers +∞ ou −∞, la droite d’équation x=a est appelée tangente à la courbe en a.

💡 Astuce mémo

La tangente est la droite de pente f′(a) qui touche le graphe au point d’abscisse a.

📖 7. Dérivabilité et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite finie $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ et représente la pente limite des cordes du graphe en a.
• Classe C k : Une fonction est de classe C^k sur D si elle est k fois dérivable sur D et si sa dérivée k-ième est continue sur D.

★ À maîtriser

• Une fonction est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en a et si ses deux nombres dérivés latéraux sont égaux.

• Pour des fonctions dérivables f et g, les règles de calcul sont $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$, $(fg)'=f'g+fg'$ et, si g(a)\ne0, $\left(\frac fg\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$.

• Si f est dérivable en a et g en f(a), alors la composée est dérivable en a et $(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a))$.

Compléments

📌 Une fonction complexe est dérivable en a si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont, et alors $f'(a)=\operatorname{Re}(f)'(a)+i\operatorname{Im}(f)'(a)$.

📌 Si f est bijective et dérivable sur un intervalle I et si f' ne s’annule pas sur I, alors f^{-1} est dérivable sur f(I) et $(f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}$.

📐 Formule - Pour deux fonctions de classe C^k, la formule de Leibniz est $(fg)^{(k)}=\sum_{p=0}^{k}\binom{k}{p}f^{(p)}g^{(k-p)}$.

📖 8. Théorèmes liés à la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction lipschitzienne : Une fonction f est K-lipschitzienne sur D si, pour tous x,y dans D, $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$.
• Point critique : Un point a est un point critique de f si f est dérivable en a et si f'(a)=0.

★ À maîtriser

• Si une fonction dérivable possède un extremum local en un point intérieur de son domaine, sa dérivée y est nulle.

• Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0.

• Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

• Sur un intervalle, une fonction dérivable est constante si et seulement si sa dérivée est nulle, et elle est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle.

• Toute fonction lipschitzienne est continue, et toute fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée est bornée par K en valeur absolue est K-lipschitzienne, y compris pour les fonctions à valeurs complexes.

Compléments

• Si f s’annule en au moins k+1 points distincts d’un intervalle, alors sa dérivée k-ième s’annule en au moins un point.

📌 Sur un intervalle, une fonction dérivable est strictement croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle et n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle non réduit à un point.

📌 Si f est continue sur I, dérivable sur I{a} et si f'(x) tend vers un réel b en a, alors f est dérivable en a, f'(a)=b et f' est continue en a.

📖 9. Convexité et courbure des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction f sur un intervalle I est convexe si, pour tous x,y dans I et λ dans [0,1], $f((1-\lambda)x+\lambda y)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$.
• Point d’inflexion : Un point intérieur a est un point d’inflexion si la fonction change de convexité en a, d’un côté convexe et de l’autre concave, ou inversement.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction dérivable sur un intervalle, la convexité équivaut à la croissance de sa dérivée et au fait que son graphe soit au-dessus de toutes ses tangentes; si elle est deux fois dérivable, elle équivaut aussi à f''≥0.

Compléments

📌 Pour une fonction convexe, le graphe est sous chaque sécante entre ses deux points d’intersection et au-dessus de cette sécante à l’extérieur de l’intervalle correspondant.

📌 Une fonction est convexe si et seulement si, pour tout a de son intervalle, la fonction $x\mapsto\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante sur I{a}; en particulier, pour a<b<c, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$.

• Les inégalités de convexité à connaître sont $e^x\ge1+x$ pour tout réel x, $\ln(1+x)\le x$ pour x>-1, $\ln x\le x-1$ pour x>0, et $\frac{2x}{\pi}\le\sin x\le x$ pour x dans [0,π/2].

• Une fonction dérivable est strictement convexe si et seulement si sa dérivée est strictement croissante ; son graphe est alors strictement au-dessous de ses cordes entre leurs extrémités et strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact avec chaque tangente.

• Si f est deux fois dérivable, a est un point d’inflexion si et seulement si f'' s’annule en a et change de signe en a.

• Toute fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue sur cet intervalle, mais une fonction convexe n’est pas nécessairement dérivable.

💡 Astuce mémo

Convexe : graphe sous les cordes ; concave : graphe au-dessus.