QCM : Limites et continuité des fonctions (29 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une fonction numérique ?

Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℂ
Une fonction définie sur un intervalle de ℝ et à valeurs dans ℝ
Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ
Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans son domaine

Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ

Explication

Une fonction numérique a pour domaine une partie de ℝ et pour ensemble d’arrivée ℝ. L’ensemble d’arrivée complexe, le domaine nécessairement intervalle et les valeurs prises dans le domaine modifient cette définition.

2. Deux fonctions ont les mêmes domaine et ensemble d’arrivée, mais prennent des valeurs différentes en un point de leur domaine. Sont-elles égales ?

Non, car leurs valeurs ne coïncident pas en tout point du domaine
Oui, car elles prennent les mêmes valeurs en au moins un point
Oui, car elles ont le même ensemble d’arrivée
Oui, car elles ont le même domaine de définition

Non, car leurs valeurs ne coïncident pas en tout point du domaine

Explication

L’égalité de fonctions exige les mêmes domaine et ensemble d’arrivée, ainsi que les mêmes valeurs en chaque point du domaine. Le domaine ou l’ensemble d’arrivée commun ne suffit pas, et une coïncidence ponctuelle ne garantit pas l’égalité.

3. Pour une fonction définie sur un domaine contenant des points arbitrairement proches de aa, quelle condition exprime que sa limite en aa est le réel ℓ\ell ?

Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout η>0\eta>0, ∣x−a∣≤η|x-a|\leq\eta implique ∣f(x)−ℓ∣≤ε|f(x)-\ell|\leq\varepsilon
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que x=ax=a implique ∣f(x)−ℓ∣≤ε|f(x)-\ell|\leq\varepsilon
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que ∣x−a∣≤η|x-a|\leq\eta implique f(x)≥ℓ−εf(x)\geq\ell-\varepsilon
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que ∣x−a∣≤η|x-a|\leq\eta implique ∣f(x)−ℓ∣≤ε|f(x)-\ell|\leq\varepsilon

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\eta>0$$ tel que $$|x-a|\leq\eta$$ implique $$|f(x)-\ell|\leq\varepsilon$$

Explication

La définition exige que, pour toute précision ε sur les images, on puisse choisir une proximité η autour de a qui garantit l’écart demandé. Inverser les quantificateurs, examiner uniquement x=a ou contrôler un seul côté de l’écart ne traduit pas cette condition.

4. Une fonction possède une limite finie en un point adhérent à son domaine. Combien de limites différentes peut-elle avoir en ce point ?

Aucune si la fonction n’est pas définie au point
Une seule
Deux, une à gauche et une à droite
Autant que de voisinages considérés

Une seule

Explication

Lorsqu’une limite existe en un point adhérent au domaine, elle est unique. Les limites latérales ne constituent pas plusieurs limites globales, et l’absence de définition au point n’empêche pas l’existence d’une limite.

5. Une fonction ff est définie en aa et admet une limite en ce point. Quelle égalité doit alors être vérifiée ?

lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a) même si f(a)f(a) n’est pas défini
lim⁡x→af(x)=−f(a)\lim_{x\to a}f(x)=-f(a)
lim⁡x→af(x)=f(a+1)\lim_{x\to a}f(x)=f(a+1)

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Explication

Si la fonction est définie en a et possède une limite en a, cette limite est égale à f(a). La valeur en un point voisin n’intervient pas, et une valeur non définie ne peut pas servir de f(a).

6. Une fonction est définie en aa, et ses limites à gauche et à droite en aa valent toutes deux ℓ\ell. Quelle condition supplémentaire assure que sa limite en aa vaut ℓ\ell ?

f(a)≠ℓf(a)\ne\ell
La fonction est définie en un point voisin de aa
f(a)=ℓf(a)=\ell
f(a)=lim⁡x→a−f(x)f(a)=\lim_{x\to a^-}f(x), sans imposer l’accord avec ℓ\ell

$$f(a)=\ell$$

Explication

Pour une fonction définie en a, l’existence d’une limite égale à ℓ équivaut à l’accord des deux limites latérales avec ℓ et à l’égalité f(a)=ℓ. Une valeur au voisinage ne remplace pas cette condition, et une valeur différente de ℓ contredit le critère.

7. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction gg en un point aa ?

La limite de g(x)g(x) quand xx tend vers aa existe, est finie et vaut g(a)g(a).
La limite de g(x)g(x) quand xx tend vers aa peut être infinie et vaut g(a)g(a).
La limite à droite de g(x)g(x) en aa existe et vaut g(a)g(a).
La limite de g(x)g(x) quand xx tend vers aa existe et vaut une valeur voisine de g(a)g(a).

La limite de $$g(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$a$$ existe, est finie et vaut $$g(a)$$.

Explication

La continuité en aa signifie que la limite en ce point est finie et égale à la valeur de la fonction. Une valeur voisine ne garantit pas l’égalité, une limite infinie n’est pas finie, et une limite à droite seule ne caractérise pas la continuité en un point intérieur.

8. Une fonction est continue en aa, mais son domaine est non borné et la fonction y prend des valeurs de plus en plus grandes loin de aa. Quelle conclusion est correcte ?

Elle est bornée près de aa et sur tout son domaine.
Elle est non bornée près de aa, mais bornée sur tout son domaine.
Elle est non bornée près de aa et sur tout son domaine.
Elle est bornée près de aa, mais peut être non bornée sur tout son domaine.

Elle est bornée près de $$a$$, mais peut être non bornée sur tout son domaine.

Explication

La continuité en aa assure que la fonction est bornée dans un voisinage de ce point, sans garantir une borne sur un domaine entier non borné. La bornitude globale étend à tort une propriété locale, tandis que les réponses affirmant une non-bornitude locale contredisent la conséquence de la continuité.

9. La fonction ff est continue en aa, son image est incluse dans le domaine de gg, et gg est continue en f(a)f(a). Quelle propriété possède g∘fg\circ f en aa ?

Elle est continue en f(a)f(a).
Elle est continue dès que ff est continue en f(a)f(a).
Elle est continue en aa.
Elle est continue sur tout le domaine de ff.

Elle est continue en $$a$$.

Explication

La continuité de ff en aa et celle de gg en f(a)f(a) impliquent la continuité de la composée en aa, lorsque les valeurs de ff appartiennent au domaine de gg. La continuité en f(a)f(a) confond le point considéré pour la composée, et les hypothèses ponctuelles ne suffisent pas à conclure à une continuité globale.

10. La fonction ff est définie sur DD, le point aa n’appartient pas à DD mais est adhérent à DD, et lim⁡x→af(x)=5\lim_{x\to a}f(x)=5. Quelle valeur faut-il attribuer à f(a)f(a) pour prolonger ff continûment en aa ?

La valeur de ff en un point voisin de aa.
−5-5
55
00

$$5$$

Explication

Le prolongement continu s’obtient en posant en aa la valeur de la limite, ici 55. Une valeur arbitraire, la valeur opposée ou une valeur prise en un point voisin ne garantit pas la continuité.

11. Une fonction continue sur [1,4][1,4] prend les valeurs −3-3 en 11 et 77 en 44. Que peut-on conclure au sujet du réel 22 ?

Il possède au moins un antécédent dans [−3,7][-3,7].
Il possède au moins un antécédent dans [1,4][1,4].
Il possède un unique antécédent dans [1,4][1,4].
Il ne possède un antécédent que si la fonction est strictement monotone.

Il possède au moins un antécédent dans $$[1,4]$$.

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’un réel compris entre les valeurs aux extrémités est atteint au moins une fois sur le segment. L’intervalle [−3,7][-3,7] contient des valeurs de la fonction, pas les antécédents recherchés, et le théorème ne garantit ni l’unicité ni la stricte monotonie.

12. Une fonction continue est définie sur un intervalle ouvert. Quelle propriété est nécessairement vérifiée par son image ?

Son image est un intervalle ouvert de même nature que l’intervalle de départ.
Son image est un intervalle seulement si la fonction est strictement monotone.
Son image est nécessairement un segment fermé et borné.
Son image est un intervalle, qui peut être d’une nature différente de l’intervalle de départ.

Son image est un intervalle, qui peut être d’une nature différente de l’intervalle de départ.

Explication

Une fonction continue transforme tout intervalle en un intervalle, sans préserver nécessairement son caractère ouvert, fermé ou semi-ouvert. L’image n’est un segment fermé et borné que sous des conditions supplémentaires, et la stricte monotonie n’est pas requise pour cette propriété.

13. Une fonction continue est définie sur le segment [−2,3][-2,3]. Quelle propriété de son image est garantie ?

C’est un segment dont les deux bornes sont atteintes.
C’est un ensemble borné dont aucune borne n’est atteinte.
C’est un intervalle nécessairement ouvert et non borné.
C’est un intervalle dont une seule des deux bornes est atteinte.

C’est un segment dont les deux bornes sont atteintes.

Explication

Sur un segment, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes : son image est donc un segment. Un simple intervalle ne garantit pas l’atteinte des bornes, mais la compacité du segment assure ici les deux propriétés.

14. Sur un intervalle, une fonction continue est injective. Quelle conclusion peut-on tirer de ces hypothèses ?

Elle est constante sur cet intervalle.
Elle est strictement monotone sur cet intervalle.
Elle est strictement croissante sur cet intervalle.
Elle est monotone au sens large, mais pas nécessairement strictement.

Elle est strictement monotone sur cet intervalle.

Explication

Pour une fonction continue sur un intervalle, l’injectivité équivaut à la stricte monotonie, qui peut être croissante ou décroissante. La monotonie large ne rend pas compte de l’injectivité si des valeurs se répètent, et la stricte croissance n’est pas la seule possibilité.

15. Pour une fonction complexe dont la partie réelle tend vers 2 et la partie imaginaire vers −3 lorsque x tend vers a, vers quel nombre complexe la fonction tend-elle ?

2+3i
2−3i
2
−3+2i

2−3i

Explication

Une limite complexe est obtenue en réunissant les limites de ses parties réelle et imaginaire : la limite vaut donc 2−3i. −3+2i inverse les composantes, 2 omet la partie imaginaire et 2+3i change son signe.

16. Au point a, la partie réelle d’une fonction complexe est continue, mais sa partie imaginaire ne l’est pas. Que peut-on conclure sur la continuité de la fonction complexe en a ?

La continuité dépend seulement de la partie réelle.
La fonction complexe est continue si elle est bornée près de a.
La fonction complexe n’est pas continue en a.
La fonction complexe est continue en a.

La fonction complexe n’est pas continue en a.

Explication

Une fonction complexe est continue en a si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont toutes deux. La continuité de la seule partie réelle ne suffit pas, et le fait d’être bornée près de a ne garantit pas la continuité.

17. Quelle condition exprime la définition de la limite ℓ d’une fonction complexe f en a ?

Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que, pour x∈D avec |x−a|<α, on ait |f(x)−ℓ|<ε.
Il existe K≥0 tel que |f(x)−ℓ|≤K pour tout x∈D.
Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que f(a)=ℓ dès que |x−a|<α.
Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que |f(x)−a|<ε dès que |x−ℓ|<α.

Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que, pour x∈D avec |x−a|<α, on ait |f(x)−ℓ|<ε.

Explication

La limite signifie que tout voisinage de ℓ contient les valeurs f(x) dès que x est suffisamment proche de a dans D. L’égalité f(a)=ℓ confond limite et valeur au point, la borne K ne décrit pas une limite, et la dernière condition échange les rôles de x et de f(x).

18. Pour f(x)=x² et a=3, quelle est la valeur de la limite du quotient différentiel, donc le nombre dérivé f′(3) ?

−6
6
3
9

6

Explication

Le quotient différentiel vaut ((x²−9)/(x−3))=x+3 pour x≠3; sa limite lorsque x tend vers 3 est donc 6. La valeur 9 est f(3), 3 omet un facteur dans la différence de carrés et −6 inverse le signe.

19. Une fonction dérivable vérifie f(2)=5 et f′(2)=−3. Quelle équation est celle de sa tangente au point d’abscisse 2 ?

y=5−3(x−5)
y=5−3(x−2)
y=−3+5(x−2)
y=5+3(x−2)

y=5−3(x−2)

Explication

La tangente en a a pour équation y=f(a)+f′(a)(x−a); ici, cela donne y=5−3(x−2). L’expression −3+5(x−2) échange valeur et pente, la pente positive inverse son signe, et x−5 utilise la mauvaise abscisse.

20. Que représente géométriquement le nombre dérivé de ff en aa lorsqu’il existe ?

La pente limite des cordes du graphe au point d’abscisse aa
L’aire comprise entre le graphe et l’axe des abscisses
L’ordonnée du graphe au point d’abscisse aa
La pente d’une corde reliant deux points fixes du graphe

La pente limite des cordes du graphe au point d’abscisse $$a$$

Explication

Le nombre dérivé est la limite finie des taux d’accroissement lorsque le second point de la corde se rapproche de aa; il donne donc la pente limite. L’ordonnée désigne f(a)f(a), tandis qu’une corde fixe n’est pas une limite.

21. Une fonction est dérivable à gauche et à droite en aa, avec des nombres dérivés latéraux égaux à −2-2 et 33. Peut-on conclure qu’elle est dérivable en aa ?

Oui, car l’une des dérivées latérales est finie
Non, car la dérivée à droite doit être positive
Non, car les deux nombres dérivés latéraux sont différents
Oui, car les deux dérivées latérales existent

Non, car les deux nombres dérivés latéraux sont différents

Explication

La dérivabilité en aa exige l’existence des dérivées à gauche et à droite et l’égalité de leurs valeurs. Leur existence seule ne suffit pas; le signe positif d’une dérivée latérale n’est pas une condition de dérivabilité.

22. Pour deux fonctions dérivables ff et gg, quelle expression donne la dérivée de leur produit en aa ?

f(a)+g(a)f(a)+g(a)
f′(a)g(a)+f(a)g′(a)f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
f′(a)g(a)−f(a)g′(a)f'(a)g(a)-f(a)g'(a)
f′(a)g′(a)f'(a)g'(a)

$$f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$$

Explication

La règle du produit additionne les deux termes obtenus en dérivant chacun des facteurs à tour de rôle. Le produit des dérivées omet les facteurs non dérivés, et la différence correspond au numérateur de la règle du quotient.

23. On pose h=g∘fh=g\circ f, avec f′(a)=4f'(a)=4 et g′(f(a))=−2g'(f(a))=-2. Quelle est la valeur de h′(a)h'(a) ?

88
22
−8-8
4g′(a)4g'(a)

$$-8$$

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne h′(a)=f′(a)g′(f(a))=4×(−2)=−8h'(a)=f'(a)g'(f(a))=4\times(-2)=-8. L’addition ne convient pas, et la dérivée extérieure doit être évaluée en f(a)f(a), non en aa.

24. Une fonction dérivable possède un maximum local en un point intérieur cc de son domaine. Que vaut nécessairement f′(c)f'(c) ?

00
Une valeur strictement négative
Une valeur strictement positive
Une valeur égale à f(c)f(c)

$$0$$

Explication

En un extremum local situé à l’intérieur du domaine, une fonction dérivable a une dérivée nulle. Une dérivée positive ou négative n’est pas la condition nécessaire, et le résultat ne s’applique pas de la même façon à un point frontière.

25. Une fonction est continue sur [a,b][a,b], dérivable sur ]a,b[]a,b[ et vérifie f(a)=f(b)f(a)=f(b). Quelle conclusion garantit le théorème de Rolle ?

La fonction est constante sur [a,b][a,b]
Il existe un c∈]a,b[c\in]a,b[ tel que f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
La dérivée est nulle en tout point de ]a,b[]a,b[
Il existe un c∈]a,b[c\in]a,b[ tel que f′(c)=0f'(c)=0

Il existe un $$c\in]a,b[$$ tel que $$f'(c)=0$$

Explication

Avec la continuité sur l’intervalle fermé, la dérivabilité à l’intérieur et l’égalité des valeurs aux bornes, le théorème de Rolle garantit au moins un point intérieur où la dérivée s’annule. La pente moyenne est la conclusion des accroissements finis, et la conclusion ne rend pas forcément la fonction constante.

26. Sur un intervalle, une fonction dérivable vérifie f′(x)≥0f'(x)\geq 0 en tout point. Que peut-on conclure ?

La fonction est décroissante
La fonction est constante
La fonction est croissante
La fonction est strictement croissante

La fonction est croissante

Explication

Sur un intervalle, une fonction dérivable dont la dérivée est positive ou nulle est croissante. La stricte croissance requiert une condition supplémentaire, et la constance correspond à une dérivée nulle sur tout l’intervalle.

27. Une fonction réelle est dérivable sur un intervalle et vérifie ∣f′(x)∣≤5|f'(x)|\leq 5 partout. Quelle propriété en découle ?

Elle est strictement croissante et donc continue
Elle est 55-lipschitzienne et donc continue
Elle est bornée en valeur absolue par 55
Elle est constante et donc continue

Elle est $$5$$-lipschitzienne et donc continue

Explication

Une dérivée bornée en valeur absolue par 55 sur un intervalle implique que la fonction est 55-lipschitzienne; toute fonction lipschitzienne est continue. La borne concerne le taux de variation, pas les valeurs de la fonction, et elle n’implique pas la stricte croissance.

28. Pour une fonction convexe sur un intervalle, quelle relation doit être satisfaite entre l’image d’une combinaison convexe de deux points et la combinaison correspondante de leurs images ?

Elle est supérieure ou égale à la combinaison convexe des images.
Elle est inférieure ou égale à la combinaison convexe des images.
Elle est égale au produit des images pondérées.
Elle est inférieure ou égale au maximum des deux images.

Elle est inférieure ou égale à la combinaison convexe des images.

Explication

La convexité signifie que, pour tout poids entre 0 et 1, l’image du point intermédiaire ne dépasse pas la combinaison pondérée des images des extrémités. L’inégalité inversée correspond à la concavité, tandis que le produit pondéré et le maximum ne définissent pas cette propriété.

29. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle vérifie f′′(x)≥0f''(x)\geq 0 en tout point. Quelle conclusion peut-on en tirer sur sa convexité et ses tangentes ?

Elle est croissante et son graphe est au-dessus de ses tangentes.
Elle est convexe et son graphe est au-dessus de ses tangentes.
Elle est convexe et son graphe est sous ses sécantes entre leurs points d’intersection.
Elle est concave et son graphe est au-dessous de ses tangentes.

Elle est convexe et son graphe est au-dessus de ses tangentes.

Explication

Pour une fonction deux fois dérivable, la condition f′′≥0f''\geq 0 équivaut à la convexité, laquelle équivaut aussi au fait que le graphe soit au-dessus de ses tangentes. La croissance de la fonction concerne le signe de f′f', la concavité correspond au signe opposé de la dérivée seconde, et la position sous une sécante décrit une autre caractérisation géométrique.

Révisez avec les flashcards

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Qu’est-ce qu’une fonction numérique ?

Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ.

Quelle condition caractérise la limite finie de f(x)f(x) en aa ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que ∣x−a∣≤η|x-a|\leq\eta implique ∣f(x)−ℓ∣≤ε|f(x)-\ell|\leq\varepsilon.

Quelle propriété vérifie la limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine ?

Elle est unique.

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