Qu’est-ce qu’une fonction numérique ?
Une fonction définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ.
Quelle condition caractérise la limite finie de en ?
Pour tout , il existe tel que implique .
Quelle propriété vérifie la limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine ?
Elle est unique.
À quoi est égale la limite de en si y est définie ?
À .
À quoi correspond la limite à gauche de en ?
À la limite de la restriction de au domaine situé à gauche de .
Quelles conditions équivalent à l’existence de la limite en , si y est définie ?
Les limites à gauche et à droite valent , et .
Quand une fonction g est-elle continue en a ?
Lorsque sa limite en a existe et vaut g(a).
Une fonction continue en a est bornée dans quel voisinage ?
Dans un voisinage de a.
Quelles hypothèses assurent la continuité de g∘f en a ?
f est continue en a, g est continue en f(a) et f(D)⊂E.
Quel résultat garantit un antécédent pour une valeur entre et si est continue sur ?
Tout réel compris entre et possède au moins un antécédent dans .
Que peut-on affirmer de l’image d’un intervalle par une fonction continue ?
C’est un intervalle, pas nécessairement de même nature que l’intervalle de départ.
Que garantit la continuité sur un segment concernant les bornes de la fonction ?
La fonction est bornée et atteint ses bornes.
À quelles limites réelles équivaut la limite complexe de vers en ?
À celles de vers et de vers .
À quelles continuités équivaut la continuité d’une fonction complexe en ?
À la continuité en de ses parties réelle et imaginaire.
Quand une fonction complexe est-elle dérivable en un point de son domaine ?
Lorsque le quotient différentiel y admet une limite finie.
Que désigne la limite finie du quotient différentiel de f en a ?
Le nombre dérivé .
Quelle est l’équation de la tangente à f en a si f y est dérivable ?
Comment définit-on le nombre dérivé de en par une limite ?
À quelle condition les dérivées latérales assurent-elles la dérivabilité en ?
Elles existent et sont égales.
Quelle est la règle de dérivation d’un produit ?
Quelle est la dérivée de la composée en ?
Que vaut la dérivée en un extremum local intérieur d’une fonction dérivable ?
Elle est nulle.
Quelle conclusion donne le théorème de Rolle si f(a)=f(b) ?
Il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0.
Quelle pente la dérivée atteint-elle selon le théorème des accroissements finis ?
Il existe c dans ]a,b[ tel que .
Quelle condition sur f' équivaut à la constance de f sur un intervalle ?
La dérivée de f est nulle sur l’intervalle.
Quelle inégalité définit la convexité de sur ?
Pour tous et , .
Quelle propriété de la dérivée équivaut à la convexité d’une fonction dérivable ?
Sa dérivée est croissante.
Comment note-t-on l’ensemble des fonctions numériques définies sur un intervalle I ?
F(I, ℝ).
À quelles conditions deux fonctions numériques sont-elles égales ?
Elles ont le même domaine, le même ensemble d’arrivée et la même valeur en chaque point de leur domaine.
Quand une propriété portant sur une fonction est-elle vraie au voisinage d’un réel a ?
Lorsqu’elle est vraie sur l’intersection de son domaine avec un intervalle ouvert centré en a.
Quelle demi-droite détermine le voisinage de pour une propriété portant sur une fonction ?
Une demi-droite adéquate dirigée vers .
Quelle demi-droite détermine le voisinage de pour une propriété portant sur une fonction ?
Une demi-droite adéquate dirigée vers .
Quand tend vers ou , que signifie une limite égale à ?
La fonction dépasse tout réel dans la direction considérée.
Quelle condition caractérise une limite finie en un point réel ?
Une condition .
Que peut-on conclure si possède une limite finie en ?
Elle est bornée au voisinage de .
Quand une fonction est-elle continue à droite ou à gauche en a ?
Lorsque la limite unilatérale correspondante vaut sa valeur en a.
Comment note-t-on l’ensemble des fonctions réelles continues sur D ?
Que peut-on conclure si g est continue en a et g(a)>0 ?
g est strictement positive au voisinage de a.
Quelle condition permet d’assurer la continuité d’un quotient en a ?
Le dénominateur ne s’annule pas en a.
Comment caractériser la continuité de f en a par les suites ?
Pour toute suite xₙ→a du domaine, f(xₙ)→f(a).
Comment évoluent les intervalles construits par dichotomie ?
Ils sont emboîtés et leurs longueurs sont divisées par deux.
Quel signe garde une fonction continue qui ne s’annule pas sur un intervalle ?
Un signe constant strict.
Sur quel ensemble une fonction continue strictement croissante sur est-elle bijective ?
De sur .
Quelle est l’image de par une fonction continue strictement décroissante ?
.
Une fonction continue sur quel type d’intervalle borné peut-elle ne pas être bornée ?
Un intervalle borné qui n’est pas un segment.
Quelle condition définit une fonction bornée ?
Il existe tel que pour tout .
Que peut-on affirmer d’une limite complexe existante et de la fonction près du point considéré ?
La limite est unique et la fonction est bornée au voisinage de ce point.
Quelles opérations passent aux limites des fonctions complexes lorsqu’elles sont définies ?
L’addition, la multiplication, la conjugaison, le module et l’inverse.
Pourquoi les théorèmes d’encadrement et de limite monotone ne s’appliquent-ils pas aux fonctions complexes ?
Ils reposent sur l’ordre de , qui ne s’applique pas aux valeurs complexes.
Comment appelle-t-on la fonction définie par sur D ?
La fonction dérivée de f.
Quelle droite est tangente à la courbe si le quotient différentiel tend vers l’infini ?
La droite d’équation .
Quelle est la dérivée de la fonction réciproque de ?
Quelle est la condition pour qu’une fonction soit de classe sur ?
Elle est fois dérivable sur et sa dérivée -ième y est continue.
Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée d’ordre d’un produit ?
Quand un point intérieur est-il un point critique de f ?
Lorsque f est dérivable en ce point et que sa dérivée y est nulle.
Que garantit l’annulation de f en au moins k+1 points distincts d’un intervalle ?
La dérivée k-ième s’annule en au moins un point.
Quelle condition supplémentaire distingue la stricte croissance de la croissance pour f dérivable ?
Sa dérivée n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle non réduit à un point.
Quelles conditions sur f′ garantissent sa continuité en a selon le théorème de prolongement de la dérivée ?
Si f est continue sur I, dérivable sur I\{a} et si f′(x) tend vers un réel b en a.
Où se situe le graphe d’une fonction convexe par rapport à une sécante ?
Sous la sécante entre ses deux points d’intersection et au-dessus à l’extérieur de l’intervalle correspondant.
Quelle croissance caractérise la convexité via les taux d’accroissement depuis ?
Pour tout , la fonction est croissante sur .
Quelle inégalité de convexité relie à ?
Pour tout réel , .
Qu’est-ce qu’un point d’inflexion de la fonction ?
Un point intérieur où change de convexité.
Quelle condition caractérise un point d’inflexion de f en a lorsque f est deux fois dérivable ?
f'' s’annule en a et change de signe en a.
Pour une fonction dérivable, quelle propriété de sa dérivée caractérise la stricte convexité ?
Sa dérivée est strictement croissante.
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1. Quelle caractéristique définit une fonction numérique ?
2. Deux fonctions ont les mêmes domaine et ensemble d’arrivée, mais prennent des valeurs différentes en un point de leur domaine. Sont-elles égales ?
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