QCM : Limites et continuité des fonctions (13 questions)

Question 1

1. Une fonction vérifie que, pour tout réel $A$ , il existe un réel $m$ tel que $x>m$ entraîne $f(x)>A$ . Quelle limite cette condition définit-elle ?

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty

\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell

pour un réel

\ell

Explication

La limite vaut $+\infty$ en $+\infty$ lorsque toute borne réelle $A$ est dépassée par $f(x)$ pour les $x$ suffisamment grands. La condition $f(x)<A$ caractérise $-\infty$ , une limite finie correspond à des valeurs proches de $\ell$ , et le dernier choix concerne l’autre direction de variation de $x$ .

Answer

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$

Question 2

2. Une fonction tend vers $-3$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe en $+\infty$ ?

La droite d’équation

y=-3

La droite d’équation

y=3

La droite d’équation

y=-3

en

-\infty

La droite d’équation

x=-3

Explication

Une limite finie $\ell$ en $+\infty$ donne l’asymptote horizontale d’équation $y=\ell$ en $+\infty$ . Une droite de la forme $x=-3$ est verticale, $y=3$ utilise la limite opposée, et l’asymptote indiquée en $-\infty$ ne correspond pas à la direction donnée.

Answer

La droite d’équation $$y=-3$$

Question 3

3. Lorsque $x$ se rapproche de $a$ , les valeurs de $f(x)$ finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant $2$ . Quelle limite cette situation exprime-t-elle ?

\lim_{x\to a^+}f(x)=2

\lim_{x\to 2}f(x)=a

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty

\lim_{x\to a}f(x)=2

Explication

La définition d’une limite finie en $a$ exige que les valeurs de la fonction appartiennent à tout intervalle ouvert contenant la limite lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ . Une limite infinie signifie une croissance sans borne, le troisième choix échange les rôles de $a$ et de la limite, et le dernier restreint l’approche au côté droit.

Answer

$$\lim_{x\to a}f(x)=2$$

Question 4

4. Une courbe représente une fonction dont la limite en $a=4$ est $-\infty$ . Quelle droite est une asymptote verticale à cette courbe ?

La droite d’équation

x=4

La droite d’équation

y=4

La droite d’équation

x=-4

La droite d’équation

x=-\infty

Explication

Si la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ en $a$ , la droite verticale d’équation $x=a$ est une asymptote. Une droite $y=4$ est horizontale, tandis que $-\infty$ et $-4$ ne sont pas l’abscisse du point considéré.

Answer

La droite d’équation $$x=4$$

Question 5

5. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que $g(x)$ tend vers $-\infty$ . Que peut-on conclure pour la limite de $f(x)+g(x)$ ?

La somme tend vers

0

.

La somme tend vers

-\infty

.

C’est une forme indéterminée.

La somme tend vers

+\infty

.

Explication

Une somme de limites $+\infty$ et $-\infty$ est indéterminée, car les deux termes peuvent se compenser de façons différentes. Conclure à $+\infty$ ou à $-\infty$ revient à négliger l’un des termes, tandis que $0$ n’est pas garanti.

Answer

C’est une forme indéterminée.

Question 6

6. Quand $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $0$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion s’applique au produit $f(x)g(x)$ ?

Le produit tend vers

+\infty

.

Le produit présente la forme indéterminée

0/0

.

Le produit tend vers

0

.

Le produit présente une forme indéterminée.

Explication

Le produit de limites $0$ et $+\infty$ est une forme indéterminée : les seules limites des facteurs ne suffisent pas à fixer celle du produit. Conclure à zéro ou à $+\infty$ applique à tort une règle de produit déterminée, et $0/0$ concerne un quotient.

Answer

Le produit présente une forme indéterminée.

Question 7

7. Dans un quotient $f(x)/g(x)$ , les deux fonctions tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion peut-on tirer de ces seules informations ?

Le quotient tend vers

+\infty

.

Le quotient présente une forme indéterminée.

Le quotient tend vers

1

.

Le quotient tend vers

0

.

Explication

Le quotient $\infty/\infty$ est une forme indéterminée : le résultat dépend des vitesses de croissance du numérateur et du dénominateur. Les conclusions $0$ , $1$ ou $+\infty$ ne découlent donc pas des seules limites indiquées.

Answer

Le quotient présente une forme indéterminée.

Question 8

8. À partir d’un certain rang, $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ , et les fonctions $f$ et $h$ tendent toutes deux vers $3$ . Vers quoi tend $g(x)$ ?

g(x)

tend vers

+\infty

.

g(x)

tend vers

3

.

g(x)

tend vers la limite de

h(x)

sans égard à celle de

f(x)

.

g(x)

tend vers la limite de

f(x)

sans égard à celle de

h(x)

.

Explication

Le théorème d’encadrement assure que la fonction intermédiaire tend vers la limite commune finie des deux bornes, ici $3$ . Une limite infinie est incompatible avec cet encadrement, et négliger l’une des bornes revient à oublier que la conclusion exige leur convergence vers la même limite.

Answer

$$g(x)$$ tend vers $$3$$.

Question 9

9. Pour qu’une fonction soit continue en un réel a, quelle condition doit-elle satisfaire ?

Elle est définie en a et sa limite en a vaut f(a).

Elle est dérivable en a et sa limite en a vaut f(a).

Elle est définie près de a et sa limite en a vaut 0.

Elle est définie en a, sans condition sur sa limite.

Explication

La continuité en a exige que f(a) soit défini et que la limite de f(x) lorsque x tend vers a soit égale à f(a). La limite nulle ne convient pas en général, la définition seule ne suffit pas, et la dérivabilité est une condition plus forte.

Answer

Elle est définie en a et sa limite en a vaut f(a).

Question 10

10. Une fonction g est dérivable en 3. Que peut-on en déduire à propos de g en 3 ?

g a une dérivée nulle en 3.

g est continue en 3.

g est strictement monotone autour de 3.

g est continue sur tout son domaine.

Explication

Toute fonction dérivable en un point y est continue. La continuité ne garantit pas la dérivabilité, la dérivabilité en un point n’établit pas la continuité sur tout le domaine, et elle n’impose pas une dérivée nulle.

Answer

g est continue en 3.

Question 11

11. La fonction h est continue sur [1; 6], avec h(1) = 2 et h(6) = 9. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour la valeur 5 ?

Au moins un c de [1; 6] vérifie h(c) = 5.

Aucun c de [1; 6] ne peut vérifier h(c) = 5.

Au moins un c de [1; 6] vérifie h(c) = 2.

Un unique c de [1; 6] vérifie h(c) = 5.

Explication

Comme 5 est compris entre h(1) et h(6), la continuité garantit au moins un antécédent dans [1; 6]. L’unicité exige en plus la stricte monotonie; la valeur 2 n’est pas celle visée, et le théorème garantit l’existence.

Answer

Au moins un c de [1; 6] vérifie h(c) = 5.

Question 12

12. Une fonction p est continue et strictement décroissante sur [0; 4], avec p(0) = 10 et p(4) = 2. Combien de solutions l’équation p(x) = 7 possède-t-elle dans [0; 4] ?

Une infinité de solutions.

Une seule solution.

Aucune solution.

Au moins deux solutions.

Explication

La valeur 7 est comprise entre 10 et 2; la continuité garantit une solution et la stricte décroissance en garantit l’unicité. Plusieurs solutions confondent ce cas avec l’absence de monotonie, et la décroissance n’empêche pas d’atteindre les valeurs intermédiaires.

Answer

Une seule solution.

Question 13

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que, pour tout $x$ assez proche de $a$ , $f(x)\leq g(x)$ . Quelle conclusion s’impose pour $g(x)$ ?

g(x)

tend vers

+\infty

g(x)

tend vers

-\infty

g(x)

tend vers une limite finie

Aucune conclusion sur la limite de

g(x)

Explication

Une fonction minorée à partir d’un certain rang par une fonction qui tend vers $+\infty$ tend elle aussi vers $+\infty$ . La limite vers $-\infty$ inverse le sens requis de l’inégalité, tandis qu’une limite finie ou l’absence de conclusion ne tient pas compte de cette comparaison.

Answer

$$g(x)$$ tend vers $$+\infty$$

QCM : Limites et continuité des fonctions (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction vérifie que, pour tout réel $A$ , il existe un réel $m$ tel que $x>m$ entraîne $f(x)>A$ . Quelle limite cette condition définit-elle ?

2. Une fonction tend vers $-3$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe en $+\infty$ ?

3. Lorsque $x$ se rapproche de $a$ , les valeurs de $f(x)$ finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant $2$ . Quelle limite cette situation exprime-t-elle ?

4. Une courbe représente une fonction dont la limite en $a=4$ est $-\infty$ . Quelle droite est une asymptote verticale à cette courbe ?

5. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que $g(x)$ tend vers $-\infty$ . Que peut-on conclure pour la limite de $f(x)+g(x)$ ?

6. Quand $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $0$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion s’applique au produit $f(x)g(x)$ ?

7. Dans un quotient $f(x)/g(x)$ , les deux fonctions tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion peut-on tirer de ces seules informations ?

8. À partir d’un certain rang, $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ , et les fonctions $f$ et $h$ tendent toutes deux vers $3$ . Vers quoi tend $g(x)$ ?

9. Pour qu’une fonction soit continue en un réel a, quelle condition doit-elle satisfaire ?

10. Une fonction g est dérivable en 3. Que peut-on en déduire à propos de g en 3 ?

11. La fonction h est continue sur [1; 6], avec h(1) = 2 et h(6) = 9. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour la valeur 5 ?

12. Une fonction p est continue et strictement décroissante sur [0; 4], avec p(0) = 10 et p(4) = 2. Combien de solutions l’équation p(x) = 7 possède-t-elle dans [0; 4] ?

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que, pour tout $x$ assez proche de $a$ , $f(x)\leq g(x)$ . Quelle conclusion s’impose pour $g(x)$ ?

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QCM : Limites et continuité des fonctions (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction vérifie que, pour tout réel AAA, il existe un réel mmm tel que x>mx>mx>m entraîne f(x)>Af(x)>Af(x)>A. Quelle limite cette condition définit-elle ?

2. Une fonction tend vers −3-3−3 lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞. Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe en +∞+\infty+∞ ?

3. Lorsque xxx se rapproche de aaa, les valeurs de f(x)f(x)f(x) finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant 222. Quelle limite cette situation exprime-t-elle ?

4. Une courbe représente une fonction dont la limite en a=4a=4a=4 est −∞-\infty−∞. Quelle droite est une asymptote verticale à cette courbe ?

5. Lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞, on sait que f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ et que g(x)g(x)g(x) tend vers −∞-\infty−∞. Que peut-on conclure pour la limite de f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) ?

6. Quand xxx tend vers aaa, f(x)f(x)f(x) tend vers 000 et g(x)g(x)g(x) tend vers +∞+\infty+∞. Quelle conclusion s’applique au produit f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) ?

7. Dans un quotient f(x)/g(x)f(x)/g(x)f(x)/g(x), les deux fonctions tendent vers +∞+\infty+∞ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞. Quelle conclusion peut-on tirer de ces seules informations ?

8. À partir d’un certain rang, f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x)\leq h(x)f(x)≤g(x)≤h(x), et les fonctions fff et hhh tendent toutes deux vers 333. Vers quoi tend g(x)g(x)g(x) ?

9. Pour qu’une fonction soit continue en un réel a, quelle condition doit-elle satisfaire ?

10. Une fonction g est dérivable en 3. Que peut-on en déduire à propos de g en 3 ?

11. La fonction h est continue sur [1; 6], avec h(1) = 2 et h(6) = 9. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour la valeur 5 ?

12. Une fonction p est continue et strictement décroissante sur [0; 4], avec p(0) = 10 et p(4) = 2. Combien de solutions l’équation p(x) = 7 possède-t-elle dans [0; 4] ?

13. Lorsque xxx tend vers aaa, on sait que f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ et que, pour tout xxx assez proche de aaa, f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)f(x)≤g(x). Quelle conclusion s’impose pour g(x)g(x)g(x) ?

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1. Une fonction vérifie que, pour tout réel $A$ , il existe un réel $m$ tel que $x>m$ entraîne $f(x)>A$ . Quelle limite cette condition définit-elle ?

2. Une fonction tend vers $-3$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à sa courbe en $+\infty$ ?

3. Lorsque $x$ se rapproche de $a$ , les valeurs de $f(x)$ finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant $2$ . Quelle limite cette situation exprime-t-elle ?

4. Une courbe représente une fonction dont la limite en $a=4$ est $-\infty$ . Quelle droite est une asymptote verticale à cette courbe ?

5. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que $g(x)$ tend vers $-\infty$ . Que peut-on conclure pour la limite de $f(x)+g(x)$ ?

6. Quand $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $0$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion s’applique au produit $f(x)g(x)$ ?

7. Dans un quotient $f(x)/g(x)$ , les deux fonctions tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Quelle conclusion peut-on tirer de ces seules informations ?

8. À partir d’un certain rang, $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ , et les fonctions $f$ et $h$ tendent toutes deux vers $3$ . Vers quoi tend $g(x)$ ?

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $+\infty$ et que, pour tout $x$ assez proche de $a$ , $f(x)\leq g(x)$ . Quelle conclusion s’impose pour $g(x)$ ?