Limites et continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites à l’infini
2. Limites en un réel
3. Opérations sur les limites
4. Comparaison et encadrement
5. Continuité et dérivabilité
6. Valeurs intermédiaires

📖 1. Limites à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie à l’infini : La fonction f a pour limite +∞ en +∞ si, pour tout réel A, il existe m tel que x > m entraîne f(x) > A ; la définition de −∞ remplace cette dernière inégalité par f(x) < A.

📝 Points essentiels

• Si f tend vers l en +∞ (respectivement en −∞), la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à sa courbe en +∞ (respectivement en −∞).

• Pour tout entier n ≥ 1, $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}=0$.

• Quand x tend vers +∞, $\frac{1}{\sqrt{x}}\to0$ et, quand x tend vers −∞, $e^x\to0$.

• Pour a > 0, $e^{ax}\to0$ quand x tend vers −∞ et $e^{ax}\to+\infty$ quand x tend vers +∞ ; pour a < 0, ces comportements sont inversés.

• Quand x tend vers +∞, $x^n\to+\infty$ pour tout entier n ≥ 1 ; quand x tend vers −∞, cette limite vaut +∞ si n est pair et −∞ si n est impair.

• La fonction racine carrée vérifie $\sqrt{x}\to+\infty$ quand x tend vers +∞.

📖 2. Limites en un réel

🔑 Notions clés & Définitions