Fiche de révision : Limites et continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites à l’infini
2. Limites en un réel
3. Opérations sur les limites
4. Comparaison et encadrement
5. Continuité et dérivabilité
6. Valeurs intermédiaires

📖 1. Limites à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie à l’infini : La fonction f a pour limite +∞ en +∞ si, pour tout réel A, il existe m tel que x > m entraîne f(x) > A ; la définition de −∞ remplace cette dernière inégalité par f(x) < A.

📝 Points essentiels

• Si f tend vers l en +∞ (respectivement en −∞), la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à sa courbe en +∞ (respectivement en −∞).

• Pour tout entier n ≥ 1, $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}=0$.

• Quand x tend vers +∞, $\frac{1}{\sqrt{x}}\to0$ et, quand x tend vers −∞, $e^x\to0$.

• Pour a > 0, $e^{ax}\to0$ quand x tend vers −∞ et $e^{ax}\to+\infty$ quand x tend vers +∞ ; pour a < 0, ces comportements sont inversés.

• Quand x tend vers +∞, $x^n\to+\infty$ pour tout entier n ≥ 1 ; quand x tend vers −∞, cette limite vaut +∞ si n est pair et −∞ si n est impair.

• La fonction racine carrée vérifie $\sqrt{x}\to+\infty$ quand x tend vers +∞.

📖 2. Limites en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un réel : La fonction f a pour limite l en a si, pour tout intervalle ouvert contenant l, toutes les valeurs de f(x) appartiennent à cet intervalle lorsque x est suffisamment proche de a.

★ À maîtriser

• Si f tend vers +∞ ou −∞ en a, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à sa courbe.

Compléments

📌 La limite à gauche en a est calculée lorsque x tend vers a avec x < a, tandis que la limite à droite est calculée lorsque x tend vers a avec x > a.

• Pour f(x)=1/x, la limite à gauche en 0 est −∞ et la limite à droite en 0 est +∞.

• Pour une fonction de référence, un polynôme, une fonction rationnelle, sinus ou cosinus définis en a, la limite en a est égale à f(a).

💡 Astuce mémo

À l’infini, x s’éloigne ; près de a, |x−a| se resserre.

📖 3. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque cette opération est déterminée ; une somme de limites +∞ et −∞ est une forme indéterminée.

• Le produit de deux limites finies vaut leur produit ; les produits de limites infinies ou nulles suivent les règles de signes, tandis que 0 × ∞ est une forme indéterminée.

• Le quotient des limites est déterminé lorsque la limite du dénominateur est non nulle ou infinie ; les formes 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées.

Compléments

• Comme x² tend vers +∞ et 1/x tend vers 0 quand x tend vers −∞, la somme x² + 1/x tend vers +∞.

• Comme x² tend vers +∞ et √x tend vers +∞ quand x tend vers +∞, leur produit tend vers +∞.

• Comme x² tend vers 4 et (x−2)² tend vers 0 en restant positif quand x tend vers 2, leur quotient tend vers +∞.

📖 4. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si f(x) tend vers +∞ et si f(x) ≤ g(x) à partir d’un certain rang, alors g(x) tend vers +∞ ; si f(x) tend vers −∞ et g(x) ≤ f(x) à partir d’un certain rang, alors g(x) tend vers −∞.

📌 Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h tendent vers la même limite finie l, alors g tend vers l.

Compléments

• Comme x + sin(x) < x + 1 et que x + 1 tend vers −∞ quand x tend vers −∞, x + sin(x) tend aussi vers −∞.

• Pour x > 0, −1/x ≤ cos(x)/x ≤ 1/x et les deux bornes tendent vers 0 quand x tend vers +∞ ; ainsi cos(x)/x tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Une fonction coincée entre deux courbes qui convergent vers la même valeur finit au même endroit.

📖 5. Continuité et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si elle est définie en a et si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun des points de cet intervalle.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction dérivable en a est continue en a, et toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.

Compléments

• La fonction valeur absolue est continue sur ℝ mais n’est pas dérivable en 0 ; la continuité n’implique donc pas la dérivabilité.

📖 6. Valeurs intermédiaires

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a;b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte par f en au moins un point c de [a;b].

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte en un unique point c de [a;b].

Compléments

• Sans l’hypothèse de stricte monotonie, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins un antécédent de k, mais pas son unicité.