Fiche de révision : Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Rapports trigonométriques des angles aigus
2. Calculer un angle avec ses côtés
3. Relations entre angles et rapports
4. Calculer les longueurs d’un triangle
5. Applications et calcul d’aire

📖 1. Rapports trigonométriques des angles aigus

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport du côté adjacent à cet angle sur l’hypoténuse : $\cos \widehat{A}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport du côté opposé à cet angle sur l’hypoténuse : $\sin \widehat{A}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport du côté opposé à cet angle sur le côté adjacent : $\tan \widehat{A}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

Compléments

• Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont chacun compris entre 0 et 1.

📖 2. Calculer un angle avec ses côtés

★ À maîtriser

• Pour calculer un angle aigu à partir de deux côtés connus, on choisit le rapport cosinus, sinus ou tangente correspondant aux côtés, puis on utilise la fonction réciproque correspondante de la calculatrice.

Compléments

• Dans un triangle rectangle en A où AC=10 mm et BC=20 mm, $\sin \widehat{B}=\frac{10}{20}=0{,}5$, donc la calculatrice donne $\widehat{B}=30^\circ$.

📖 3. Relations entre angles et rapports

★ À maîtriser

📌 Pour deux angles aigus complémentaires, le cosinus de l’un est égal au sinus de l’autre.

📌 Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires et leur somme vaut $90^\circ$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout angle aigu A, la tangente est le quotient du sinus par le cosinus : $\tan \widehat{A}=\frac{\sin \widehat{A}}{\cos \widehat{A}}$.

📐 Formule - Pour tout angle aigu A, la somme des carrés de son sinus et de son cosinus vaut 1 : $(\sin \widehat{A})^2+(\cos \widehat{A})^2=1$.

• Dans un triangle rectangle MNP en N avec MP=3 cm, PN=1,8 cm et MN=2,4 cm, l’égalité $MP^2=PN^2+MN^2$ montre que le triangle est rectangle en N.

• Dans le triangle MNP rectangle en N avec MP=3 cm, PN=1,8 cm et MN=2,4 cm, $\sin \widehat{M}=1{,}8/3=0{,}6$ donne $\widehat{M}\approx37^\circ$ et, par complémentarité, $\widehat{P}\approx53^\circ$.

📖 4. Calculer les longueurs d’un triangle

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un triangle rectangle en A, relativement à l’angle C, le côté adjacent et l’hypoténuse vérifient $\cos \widehat{C}=\frac{CA}{CB},\quad CA=CB\cos \widehat{C},\quad CB=\frac{CA}{\cos \widehat{C}}$.

• Pour calculer un côté à partir d’un angle aigu et de côtés connus, on exprime d’abord le rapport trigonométrique adapté, puis on isole la longueur recherchée par multiplication ou division.

Compléments

📌 Si $a=\frac{b}{c}$, alors $b=a\times c$ et $c=\frac{b}{a}$.

📖 5. Applications et calcul d’aire

★ À maîtriser

📐 Formule - L’aire d’un triangle de base BA et de hauteur CH vaut $\mathcal{A}=\frac{BA\times CH}{2}$.

Compléments

• Dans un triangle ABC rectangle en A avec BC=35 m et $\widehat{C}=50^\circ$, les côtés valent $CA=35\cos50^\circ\approx22{,}50\text{ m}$ et $BA=35\sin50^\circ\approx26{,}81\text{ m}$.

• La réduction d’une figure modifie ses longueurs, mais ne modifie pas ses angles.

• Dans le triangle ACH rectangle en H avec CA=4 cm et $\widehat{A}=30^\circ$, $AH=4\cos30^\circ\approx3{,}46\text{ cm}$ et $CH=4\sin30^\circ=2\text{ cm}$.

• Si $BA\approx5{,}85\text{ cm}$ et $CH=2\text{ cm}$, l’aire du triangle ACB est $\mathcal{A}\approx5{,}85\text{ cm}^2$.