Fiche de révision : Limites et suites discrètes

📋 Plan du Cours

1. Notion de limite d’une suite
2. Opérations sur les limites
3. Comparaison et encadrement
4. Suites arithmético-géométriques
5. Limites des suites arithmétiques
6. Limites des suites géométriques
7. Somme géométrique et convergence
8. Convergence des suites arithmético-géométriques

📖 1. Notion de limite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : Décrit le comportement de ses termes lorsque n prend des valeurs aussi grandes que l’on veut, c’est-à-dire lorsque n tend vers +∞.

📝 Points essentiels

📌 Une suite peut converger vers une limite finie, tendre vers +∞ ou −∞, ou ne pas avoir de limite, comme la suite définie par u_n = (-1)^n.

• Les suites suivantes tendent vers 0:
  • 1/n
  • 1/n²
  • 1/n^k pour k entier naturel
  • 1/√n

💡 Astuce mémo

Les termes avancent vers une valeur, ou montent et descendent sans borne.

📖 2. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• La limite d’une somme de suites s’obtient par addition des limites lorsqu’elles donnent un résultat défini ; certaines combinaisons de +∞ et −∞ sont des formes indéterminées.

• Le produit de deux suites se traite en multipliant leurs limites lorsque le résultat est défini, en tenant compte des signes pour les limites infinies ; 0 × (+∞) et 0 × (−∞) sont des formes indéterminées.

• Le quotient de deux suites se traite en divisant leurs limites lorsque le résultat est défini ; un dénominateur tendant vers 0 donne un résultat infini selon les signes ou une forme indéterminée.

💡 Astuce mémo

Somme, produit et quotient : les formes indéterminées se distinguent des résultats directs.

📖 3. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

• Si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang et si u_n tend vers +∞, alors v_n tend vers +∞ ; si v_n tend vers −∞, alors u_n tend vers −∞.

• Si u_n et v_n convergent respectivement vers ℓ et ℓ′ et si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang, alors ℓ ≤ ℓ′.

• Si u_n ≤ v_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et si u_n et w_n convergent vers la même limite ℓ, alors v_n converge vers ℓ.

Compléments

• La suite v_n = (-1)^n/(n+4) converge vers 0 par encadrement entre deux suites qui convergent toutes deux vers 0.

💡 Astuce mémo

Une suite est prise en étau entre deux suites qui la conduisent vers la même limite.

📖 4. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Définie par une relation de récurrence de la forme u_{n+1} = au_n + b, où a et b sont deux nombres réels.

★ À maîtriser

• Pour représenter graphiquement une suite arithmético-géométrique, on utilise la droite y = ax + b et la droite y = x, puis on place u_0 sur l’axe des abscisses et on construit successivement u_1=f(u_0), u_2=f(u_1), et ainsi de suite.

Compléments

• Les cas particuliers sont:
  • a = 0 : suite constante égale à b
  • a = 1 : suite arithmétique de raison b
  • a ≠ 0 et b = 0 : suite géométrique de raison a

💡 Astuce mémo

De uₙ à f(uₙ), puis retour sur y = x : la construction se répète.

📖 5. Limites des suites arithmétiques

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, r > 0 entraîne une limite égale à +∞, r < 0 une limite égale à −∞, et r = 0 une limite égale à u_0.

💡 Astuce mémo

Raison positive : +∞ ; raison négative : −∞ ; raison nulle : constante.

📖 6. Limites des suites géométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour q ≥ 0, la suite q^n tend vers 0 si 0 ≤ q < 1, vers 1 si q = 1 et vers +∞ si q > 1.

📌 Pour une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q ≥ 0, la limite vaut 0 si 0 ≤ q < 1, u_0 si q = 1, et vaut +∞ si q > 1 et u_0 > 0 ou −∞ si q > 1 et u_0 < 0.

💡 Astuce mémo

Pour q, le seuil décisif est 1 : décroissance vers 0, stabilité à 1 ou divergence.

📖 7. Somme géométrique et convergence

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison 0 < q < 1, la somme des n+1 premiers termes vérifie $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = \frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$.

📌 Si 0 < q < 1, la somme S_n des n+1 premiers termes d’une suite géométrique converge vers $\frac{u_0}{1-q}$ lorsque n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Si 0 < q < 1, alors qⁿ → 0, donc la somme converge vers u₀/(1−q).

📖 8. Convergence des suites arithmético-géométriques

📝 Points essentiels

• Une suite arithmético-géométrique peut converger vers un nombre réel ℓ ou tendre vers l’infini.

• Lorsque la suite arithmético-géométrique converge vers ℓ, ℓ est l’abscisse du point d’intersection entre la droite y = ax + b et la droite y = x.

💡 Astuce mémo

La suite suit les marches entre la droite affine y = ax + b et la diagonale y = x.

📊 Tableaux de synthèse

Limites des suites usuelles