QCM : Limites et suites discrètes — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit la limite d’une suite lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

Le comportement de ses termes pour des valeurs de nn aussi grandes que l’on veut
La différence entre deux termes consécutifs pour un rang donné
La somme de tous ses termes jusqu’à un rang fixé
La valeur du premier terme lorsque nn vaut zéro

Le comportement de ses termes pour des valeurs de $$n$$ aussi grandes que l’on veut

Explication

La limite décrit le comportement des termes lorsque l’indice devient arbitrairement grand. Elle ne correspond donc ni à un terme particulier ni à une opération effectuée à un rang fixé.

2. Quelle affirmation caractérise correctement la suite définie par un=(−1)nu_n = (-1)^n ?

Elle converge vers une limite finie égale à 00
Elle tend vers −∞-\infty car ses termes deviennent négatifs
Elle tend vers +∞+\infty car ses termes deviennent positifs
Elle n’a pas de limite car ses termes oscillent entre deux valeurs

Elle n’a pas de limite car ses termes oscillent entre deux valeurs

Explication

Les termes de cette suite alternent entre 11 et −1-1, sans se rapprocher d’une valeur unique ni diverger vers l’infini. Une oscillation persistante empêche donc l’existence d’une limite.

3. Parmi les suites suivantes, laquelle converge vers 00 lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

1n3\frac{1}{n^3}
n3n^3
(−1)n(-1)^n
n\sqrt{n}

$$\frac{1}{n^3}$$

Explication

Toute suite de la forme 1nk\frac{1}{n^k} avec kk entier naturel strictement positif tend vers 00. En revanche, n3n^3 et n\sqrt n deviennent arbitrairement grands, tandis que (−1)n(-1)^n oscille.

4. Quelle est la limite de un+vnu_n+v_n si un→+∞u_n\to +\infty et vn→5v_n\to 5 ?

00
−∞-\infty
+∞+\infty
Une forme indéterminée

$$+\infty$$

Explication

L’addition d’une suite tendant vers +∞+\infty et d’une suite tendant vers un réel donne +∞+\infty. La forme indéterminée concerne notamment l’association de +∞+\infty et −∞-\infty.

5. Quelle expression correspond à une forme indéterminée pour le produit des limites de deux suites ?

(+∞)×(+∞)(+\infty)\times(+\infty)
(−2)×(−∞)(-2)\times(-\infty)
3×(+∞)3\times(+\infty)
0×(+∞)0\times(+\infty)

$$0\times(+\infty)$$

Explication

Le produit 0×(+∞)0\times(+\infty) est indéterminé, car les vitesses de convergence vers zéro et de croissance vers l’infini doivent être comparées. Un réel non nul multiplié par une limite infinie conserve un comportement infini, avec un signe déterminé.

6. Que peut-il se produire pour le quotient unvn\frac{u_n}{v_n} lorsque vnv_n tend vers 00 ?

Le quotient devient nécessairement égal à la limite du dénominateur
Le quotient converge nécessairement vers zéro
Le quotient converge vers la limite du numérateur sans modification
Le quotient peut tendre vers l’infini selon les signes ou être indéterminé

Le quotient peut tendre vers l’infini selon les signes ou être indéterminé

Explication

Un dénominateur tendant vers zéro peut entraîner une divergence vers +∞+\infty ou −∞-\infty selon les signes, mais certaines situations forment une indétermination. Il faut donc examiner les limites et les signes avant de conclure.

7. Si un≤vnu_n\leq v_n à partir d’un certain rang et si un→+∞u_n\to +\infty, vers quelle limite tend vnv_n ?

Aucune conclusion n’est possible
+∞+\infty
−∞-\infty
Une limite finie quelconque

$$+\infty$$

Explication

Une suite située au-dessus d’une suite qui devient arbitrairement grande doit elle aussi devenir arbitrairement grande. La minoration par une suite tendant vers +∞+\infty entraîne donc vn→+∞v_n\to+\infty.

8. Si un→ℓu_n\to \ell, vn→ℓ′v_n\to \ell' et un≤vnu_n\leq v_n à partir d’un certain rang, quelle relation vérifient les limites ?

ℓ=ℓ′+1\ell=\ell'+1
ℓ≥ℓ′\ell\geq\ell'
Il n’existe aucune relation entre ℓ\ell et ℓ′\ell'
ℓ≤ℓ′\ell\leq\ell'

$$\ell\leq\ell'$$

Explication

L’ordre entre les termes à partir d’un certain rang se conserve au passage à la limite lorsque les deux suites convergent. On obtient donc ℓ≤ℓ′\ell\leq\ell'.

9. Si un≤vn≤wnu_n\leq v_n\leq w_n à partir d’un certain rang et si unu_n et wnw_n convergent vers la même limite ℓ\ell, que peut-on conclure pour vnv_n ?

vnv_n converge vers ℓ\ell
vnv_n tend vers +∞+\infty
vnv_n converge vers une limite strictement différente de ℓ\ell
vnv_n n’a pas de limite à cause de l’encadrement

$$v_n$$ converge vers $$\ell$$

Explication

Le théorème d’encadrement impose à la suite intermédiaire d’avoir la même limite que ses deux suites encadrantes. Ainsi, vn→ℓv_n\to\ell.

10. Quelle relation de récurrence définit une suite arithmético-géométrique ?

un+1=un+an+bu_{n+1}=u_n+an+b, avec aa et bb réels
un+1=anun+bu_{n+1}=a^n u_n+b, avec aa et bb réels
un+1=a(un+b)nu_{n+1}=a(u_n+b)^n, avec aa et bb réels
un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b, avec aa et bb réels

$$u_{n+1}=au_n+b$$, avec $$a$$ et $$b$$ réels

Explication

Une suite arithmético-géométrique vérifie une relation affine entre deux termes consécutifs, de la forme un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b. Les autres relations introduisent une dépendance en nn ou une transformation non conforme à cette définition.

11. Pour construire graphiquement les termes d’une suite définie par un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b, quel rôle joue la droite y=xy=x ?

Elle permet de reporter sur l’axe des abscisses l’image obtenue par y=ax+by=ax+b
Elle remplace la droite affine lorsque la suite devient constante
Elle détermine la valeur initiale avant toute construction graphique
Elle fournit directement l’image de chaque terme par la fonction affine

Elle permet de reporter sur l’axe des abscisses l’image obtenue par $$y=ax+b$$

Explication

La droite y=ax+by=ax+b donne l’image d’un terme, puis la droite y=xy=x permet de reporter cette image sur l’axe des abscisses afin de poursuivre la construction. Confondre ces deux rôles revient à attribuer à la droite y=xy=x le calcul de l’image.

12. Soit une suite arithmétique de premier terme u0=5u_0=5 et de raison r=−3r=-3. Quelle est sa limite ?

+∞+∞
Elle n’a pas de limite
−∞-∞
55

$$-∞$$

Explication

Une raison négative fait décroître les termes d’une suite arithmétique sans borne inférieure, donc sa limite est −∞-∞. La valeur u0u_0 n’est la limite que lorsque la raison est nulle.

13. Quelle limite possède une suite arithmétique dont la raison est nulle et dont le premier terme vaut −7-7 ?

+∞+∞
00
−∞-∞
−7-7

$$-7$$

Explication

Avec une raison nulle, tous les termes sont égaux au premier terme, si bien que la suite converge vers u0=−7u_0=-7. Les limites infinies correspondent aux raisons strictement positive ou strictement négative.

14. Pour quelle valeur de qq la suite définie par qnq^n converge-t-elle vers 11 ?

0eqq<10eq q<1
q=0q=0
q=1q=1
q>1q>1

$$q=1$$

Explication

Lorsque q=1q=1, on a qn=1q^n=1 pour tout entier naturel nn, donc la limite vaut 11. Pour 0eqq<10eq q<1, la limite vaut 00, tandis que pour q>1q>1 elle vaut +∞+∞.

15. Soit une suite géométrique de premier terme u0=−4u_0=-4 et de raison q=2q=2. Vers quelle limite tend-elle ?

−∞-∞
−4-4
+∞+∞
00

$$-∞$$

Explication

Comme q>1q>1 et u0<0u_0<0, les termes deviennent négatifs avec une valeur absolue de plus en plus grande, donc la limite est −∞-∞. Le signe du premier terme détermine ici le signe de la divergence, contrairement au cas 0eqq<10eq q<1 où la limite vaut 00.

16. Pour une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison 0<q<10<q<1, quelle expression représente la somme des n+1n+1 premiers termes ?

Sn=u0(1−qn)1−qS_n=\frac{u_0(1-q^n)}{1-q}
Sn=u0(1−qn+1)q−1S_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{q-1}
Sn=u0(1−qn+1)1−qS_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}
Sn=u0qn+11−qS_n=\frac{u_0q^{n+1}}{1-q}

$$S_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$$

Explication

La somme finie des termes allant de u0u_0 à unu_n contient n+1n+1 termes et vaut u0(1−qn+1)1−q\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}. L’expression avec qnq^n omet un terme, tandis que changer le signe du dénominateur modifie le signe de la somme.

17. Lorsque 0<q<10<q<1, vers quelle valeur converge la somme SnS_n des n+1n+1 premiers termes d’une suite géométrique quand nn tend vers +∞+\infty ?

u0q−1\frac{u_0}{q-1}
u01−q\frac{u_0}{1-q}
Elle diverge vers +∞+\infty
u0(1−q)u_0(1-q)

$$\frac{u_0}{1-q}$$

Explication

Comme qn+1q^{n+1} tend vers zéro lorsque 0<q<10<q<1, la formule de la somme finie donne la limite u01−q\frac{u_0}{1-q}. Le cas d’une divergence vers +∞+\infty correspond notamment à des raisons supérieures à un, pas à une raison comprise entre zéro et un.

18. Quel comportement une suite arithmético-géométrique peut-elle avoir selon ses paramètres ?

Elle oscille entre deux valeurs sans autre comportement possible.
Elle peut converger vers un réel ou tendre vers l’infini.
Elle tend vers l’infini dès que sa raison est positive.
Elle converge vers un réel dès que son premier terme est positif.

Elle peut converger vers un réel ou tendre vers l’infini.

Explication

Une suite arithmético-géométrique peut admettre une limite réelle ou tendre vers l’infini, selon les valeurs de ses paramètres. La positivité du premier terme ou de la raison ne suffit donc pas à imposer une convergence finie ou une divergence.

19. Si une suite arithmético-géométrique converge vers ℓ\ell et est associée à la fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+b, que représente ℓ\ell graphiquement ?

La pente de la droite y=ax+by=ax+b au point d’intersection
L’abscisse de l’intersection des droites y=ax+by=ax+b et y=xy=x
L’ordonnée de l’intersection des droites y=ax+by=ax+b et y=xy=x
L’abscisse du point où la droite y=ax+by=ax+b coupe l’axe des ordonnées

L’abscisse de l’intersection des droites $$y=ax+b$$ et $$y=x$$

Explication

À la limite, un point fixe vérifie ℓ=aℓ+b\ell=a\ell+b, ce qui signifie que les deux droites ont un point commun d’abscisse ℓ\ell. L’ordonnée de ce point est également ℓ\ell, mais elle n’est pas la grandeur demandée ici.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 35 flashcards sur Limites et suites discrètes.

Qu'est-ce que la limite d'une suite décrit ?

Le comportement des termes quand n tend vers +∞.

Quels types de limites une suite peut-elle avoir ?

Une limite finie, +∞, −∞, ou aucune limite.

Donnez un exemple de suite sans limite.

La suite définie par un=(−1)nu_n = (-1)^n.

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