Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et opérations complexes
2. Conjugué et module
3. Interprétation géométrique
4. Formes et propriétés trigonométriques
5. Racines et équations complexes

📖 1. Définition et opérations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : s’écrit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ et $i^2=-1$.

★ À maîtriser

📌 La partie réelle de $z=x+iy$ est $\operatorname{Re}(z)=x$ et sa partie imaginaire est $\operatorname{Im}(z)=y$; $z$ est réel si $\operatorname{Im}(z)=0$ et imaginaire pur si $\operatorname{Re}(z)=0$.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, on a $z+z'=(x+x')+i(y+y')$ et $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.

Compléments

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

💡 Astuce mémo

Partie réelle sur l’axe horizontal, partie imaginaire sur l’axe vertical

📖 2. Conjugué et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : $\overline z=x-iy$.
• Module : $|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}$.

★ À maîtriser

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si $\overline z=z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $\overline z=-z$.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$, le produit avec son conjugué vérifie $z\overline z=x^2+y^2\in\mathbb{R}^+$.

Compléments

📌 Le module vérifie $|z|=0$ si et seulement si $z=0$; si $z=x\in\mathbb{R}$, alors $|z|=|x|$, et si $z=iy$, alors $|z|=|y|$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué reflète le point complexe par rapport à l’axe réel

📖 3. Interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Dans un repère orthonormal, le point de coordonnées $(x,y)$ a pour affixe le nombre complexe $z=x+iy$ et est appelé l’image de $z$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$, l’affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$, et la distance $AB$ vaut $|z_B-z_A|$.

Compléments

📐 Formule — L’angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ est l’argument de $\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}$.

💡 Astuce mémo

Point → affixe → vecteur → distance → angle

📖 4. Formes et propriétés trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un nombre complexe non nul s’écrit sous forme trigonométrique $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, sous forme polaire $\{|z|;\theta\}$ et sous forme exponentielle $z=|z|e^{i\theta}$.

📐 Formule — Si $z=a+ib$, alors $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\theta=\frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{b}{|z|}$.

📐 Formule — La formule de Moivre donne $z^n=|z|^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$.

📐 Formule — Les propriétés des modules sont $|zz'|=|z||z'|$, $|kz|=|k||z|$ pour $k\in\mathbb{R}$, $|z^n|=|z|^n$, $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$ et $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.

📐 Formule — Les arguments vérifient $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$, $\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$ et $\arg(z^n)=n\arg(z)$.

💡 Astuce mémo

Cartésienne → trigonométrique → polaire → exponentielle

📖 5. Racines et équations complexes

★ À maîtriser

• Pour déterminer une racine carrée $z=x+iy$ de $Z=a+ib$, on résout $x^2+y^2=|Z|$, $x^2-y^2=a$ et $2xy=b$.

📐 Formule — Si $Z$ possède le module $r$ et l’argument $\theta$, ses racines n-ièmes sont $z_k=\left[\sqrt[n]{r};\frac{\theta+2k\pi}{n}\right]$ pour $k=0{,}1{,}2,\ldots,n-1$ et $n\geq2$.

📐 Formule — Pour l’équation du second degré $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$ et si $\overline d$ est une racine carrée de $\Delta$, les solutions sont $z_0=\frac{-b-\overline d}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+\overline d}{2a}$.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, l’équation possède une solution double $z_0=z_1=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta>0$, les solutions sont $z_0=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Module racine → argument partagé → solutions

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant