Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et opérations complexes
2. Conjugué et module
3. Interprétation géométrique
4. Formes et propriétés trigonométriques
5. Racines et équations complexes

📖 1. Définition et opérations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : s’écrit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ et $i^2=-1$.

★ À maîtriser

📌 La partie réelle de $z=x+iy$ est $\operatorname{Re}(z)=x$ et sa partie imaginaire est $\operatorname{Im}(z)=y$; $z$ est réel si $\operatorname{Im}(z)=0$ et imaginaire pur si $\operatorname{Re}(z)=0$.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, on a $z+z'=(x+x')+i(y+y')$ et $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.

Compléments

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

💡 Astuce mémo

Partie réelle sur l’axe horizontal, partie imaginaire sur l’axe vertical

📖 2. Conjugué et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : $\overline z=x-iy$.
• Module : $|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}$.

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si $\overline z=z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $\overline z=-z$.