Lorsque $$P$$ est vraie et $$Q$$ est fausse.
Explication
L’implication est fausse dans le seul cas où l’antécédent est vrai et le conséquent faux ; elle est équivalente à . La prendre pour une équivalence conduirait à la déclarer fausse lorsque les deux propositions sont fausses, ce qui est incorrect.
Dans $$\forall x\,\forall y\,P(x,y)$$, en échangeant les deux quantificateurs.
Explication
Deux quantificateurs de même nature, comme les deux quantificateurs universels, peuvent être permutés. En revanche, permuter des quantificateurs de nature différente ne préserve pas nécessairement le sens de l’énoncé.
Vérifier $$P(n_0)$$ et établir que, pour tout $$n \geq n_0$$, $$P(n) \Rightarrow P(n+1)$$
Explication
La vérité au rang initial, jointe au passage de chaque rang au suivant, permet de conclure pour tous les rangs à partir de . Vérifier deux rangs particuliers ne remplace pas l’établissement de l’hérédité.
Pour tout élément de $$E$$, $$P(x)$$ est vraie.
Explication
Le quantificateur universel affirme que la propriété est vérifiée pour chaque élément de l’ensemble considéré. L’interpréter comme l’existence d’au moins un élément correspondrait au quantificateur existentiel .
$$A \Leftrightarrow C$$
Explication
La transitivité des équivalences permet de relier directement à lorsque chacune est équivalente à . Une simple implication dans un seul sens ne rendrait pas compte des deux équivalences données.
Elle est vraie, car la négation inverse la valeur de vérité de $$P$$.
Explication
La négation inverse la valeur de vérité : lorsque est fausse, est vraie. La conjonction, contrairement à la négation, dépend de deux propositions et exige qu’elles soient toutes les deux vraies.
Elle est vraie ou fausse, mais pas les deux à la fois.
Explication
Une proposition possède une valeur de vérité déterminée : elle est vraie ou fausse, sans être les deux simultanément. Un énoncé dépendant de valeurs attribuées à des variables correspond plutôt à une fonction propositionnelle.
$$\frac{\sqrt{x}}{x^2-x+1} \leq \frac{4}{3}\sqrt{x}$$
Explication
L’inégalité établie porte sur le dénominateur et compare le quotient à . Remplacer le signe par inverse la conclusion visée.
Une initialisation en $$n_0$$, une hérédité de $$P(n)$$ à $$P(n+1)$$, puis une conclusion pour tout $$n \geq n_0$$
Explication
La démarche comprend l’initialisation, la preuve de l’hérédité de à , puis la conclusion portant sur tous les rangs concernés. Vérifier séparément un rang suivant ne démontre pas le passage général.
La propriété $$P$$ est vraie pour au moins un élément de $$E$$.
Explication
Le quantificateur affirme qu’il y a au moins un élément de qui vérifie . L’existence d’un unique élément est une affirmation plus forte, exprimée par .
Supposer ¬P, en tirer des conséquences jusqu’à une contradiction, puis conclure P.
Explication
Le raisonnement par l’absurde suppose que P est fausse, puis montre que cette hypothèse mène à une contradiction, ce qui permet de conclure P. Démontrer la proposition dans un seul cas ne suffit pas à établir sa vérité générale.
Elle est vraie pour toutes les valeurs de vérité des propositions élémentaires.
Explication
Une loi logique reste vraie quelles que soient les valeurs attribuées aux propositions élémentaires. Une proposition vraie lorsque toutes ses composantes sont vraies ne satisfait pas nécessairement cette exigence pour les autres configurations.
¬Q ⇒ ¬P
Explication
La contraposée de P ⇒ Q est ¬Q ⇒ ¬P, et ces deux implications sont équivalentes. La réciproque Q ⇒ P ne permet pas, en général, de démontrer l’implication initiale.
¬P ∨ ¬Q
Explication
La loi de De Morgan transforme la négation d’une conjonction en disjonction des propositions niées. La conjonction de leurs négations correspond plutôt à la négation de « P ou Q ».
Elle est fausse, car les deux propositions ne sont pas vraies ensemble.
Explication
Une conjonction est vraie seulement lorsque et sont toutes deux vraies ; ici, elle est donc fausse. Le fait qu’au moins une proposition soit vraie peut rendre vraie une disjonction, mais ne suffit pas pour une conjonction.
Q est vraie.
Explication
La déduction applique une implication à une prémisse vraie : puisque P et P ⇒ Q sont vraies, Q est vraie. Cette conclusion n’établit pas pour autant la réciproque Q ⇒ P.
Lorsque $$P$$ et $$Q$$ sont toutes deux fausses.
Explication
La disjonction est fausse lorsque ses deux propositions sont fausses ; dans les autres cas, au moins l’une est vraie. La confondre avec la conjonction ferait conclure qu’elle est fausse dès qu’une seule proposition est fausse.
¬Q ⇒ ¬P
Explication
La contraposée d’une implication inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles : ¬Q ⇒ ¬P. L’implication Q ⇒ P est sa réciproque et n’est pas équivalente en général.
Une fonction propositionnelle, car sa valeur de vérité dépend de $$x$$.
Explication
Avant que reçoive une valeur, l’énoncé dépend d’une variable et constitue une fonction propositionnelle. Contrairement à l’idée qu’il serait déjà une proposition, sa valeur de vérité se détermine lorsqu’on fixe .
Établir la conséquence dans chacun des cas qui couvrent les situations possibles.
Explication
La disjonction des cas exige d’établir la conséquence pour chacun des cas qui partitionnent la situation. Supposer la conclusion fausse et chercher une contradiction relève du raisonnement par l’absurde.
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Qu’est-ce qu’une proposition en mathématiques ?
Un énoncé mathématique vrai ou faux, mais pas les deux à la fois.
Qu’est-ce qu’une fonction propositionnelle ?
Un énoncé mathématique contenant une ou plusieurs variables d’un ensemble donné.
Que devient une fonction propositionnelle lorsque ses variables reçoivent des valeurs ?
Une proposition.
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