Fiche de révision : Logique et raisonnement

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Négation des propositions
3. Conjonction et disjonction
4. Implication et ses transformations
5. Équivalence logique
6. Quantificateurs
7. Négation et ordre des quantificateurs
8. Méthodes de démonstration
9. Raisonnement par récurrence
10. Ensembles et produits cartésiens

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : énoncé mathématique qui est vrai ou faux

📝 Points essentiels

📌 Une conjecture est une proposition dont on ne connaît pas encore la valeur de vérité.

• « 6 est un entier pair » est une proposition vraie, tandis que « 1+1=3 » est une proposition fausse.

💡 Astuce mémo

Proposition = vrai ou faux ; expression = aucune valeur de vérité

📖 2. Négation des propositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : notée ¬P, est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie

📝 Points essentiels

• Si P est « 5 divise 12 », alors P est fausse et ¬P est « 5 ne divise pas 12 », qui est vraie.

💡 Astuce mémo

P vraie → ¬P fausse ; P fausse → ¬P vraie

📖 3. Conjonction et disjonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : est vraie si P et Q sont toutes deux vraies, et fausse dans les autres cas
• Disjonction : ou « ou » inclusif, est vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie et fausse si elles sont toutes deux fausses

📝 Points essentiels

📌 Les négations vérifient ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q et ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q.

💡 Astuce mémo

ET exige les deux ; OU inclusif accepte au moins une

📖 4. Implication et ses transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse, et vraie dans les autres cas
• Contraposée : de P ⇒ Q est l’implication ¬Q ⇒ ¬P, qui lui est logiquement équivalente

📝 Points essentiels

📌 La réciproque de l’implication P ⇒ Q est l’implication Q ⇒ P.

📌 La négation de l’implication P ⇒ Q est la proposition P ∧ ¬Q.

💡 Astuce mémo

P ⇒ Q n’est pas Q ⇒ P ; la contraposée ¬Q ⇒ ¬P reste équivalente

📖 5. Équivalence logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité, et fausse dans les autres cas

📝 Points essentiels

📌 L’équivalence P ⇔ Q est logiquement identique à la conjonction (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

💡 Astuce mémo

P ⇔ Q se prouve par P ⇒ Q puis Q ⇒ P

📖 6. Quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : affirme que P(x) est vraie pour tout élément x de E
• Quantificateur existentiel : affirme que P(x) est vraie pour au moins un élément de E

📝 Points essentiels

• La notation ∀(x,y) ∈ R² est équivalente à ∀x ∈ R, ∀y ∈ R.

💡 Astuce mémo

∀ vérifie tous les éléments ; ∃ en vérifie au moins un

📖 7. Négation et ordre des quantificateurs

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∃x ∈ E, P(x) est ∀x ∈ E, ¬P(x), et la négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃x ∈ E, ¬P(x).

📌 Lorsqu’on nie une succession de quantificateurs, on inverse chaque quantificateur sans modifier leur ordre.

• Pour démontrer que ∀x ∈ E, P(x) est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple x ∈ E tel que P(x) soit fausse.

💡 Astuce mémo

∀ devient ∃ et ∃ devient ∀, mais l’ordre reste inchangé

📖 8. Méthodes de démonstration

📝 Points essentiels

• Pour démontrer P ⇒ Q, on peut supposer P vraie et déduire Q, démontrer la contraposée ¬Q ⇒ ¬P, ou démontrer que P est fausse.

• Dans un raisonnement par l’absurde, on suppose ¬P vraie, on en déduit une assertion Q, on montre que Q contredit une assertion connue vraie, puis on conclut que P est vraie.

• Pour démontrer P ⇔ Q, on peut démontrer séparément P ⇒ Q et Q ⇒ P, ou enchaîner des équivalences élémentaires de P jusqu’à Q.

💡 Astuce mémo

Implication : direct, contraposée ou contradiction

📖 9. Raisonnement par récurrence

📝 Points essentiels

• Pour établir ∀n ≥ n₀, P(n) par récurrence, il faut prouver l’initialisation P(n₀), puis l’hérédité P(n) ⇒ P(n+1) pour tout n ≥ n₀.

📌 Si l’initialisation et l’hérédité sont vraies, alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion pour tout n

📖 10. Ensembles et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : l’ensemble A × B = {(x,y) ; x ∈ A et y ∈ B}

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.

Compléments

• L’ensemble vide est noté ∅ et se définit par ∅ = {}.

• Les ensembles usuels présentés sont N, Z, Q, R et C.

💡 Astuce mémo

A = B signifie A ⊂ B et B ⊂ A

📊 Tableaux de synthèse

Opérateurs logiques