QCM : Logique et raisonnement — 25 questions

Explication

Une proposition est un énoncé mathématique qui possède une valeur de vérité, vraie ou fausse. Une expression comme $x^2+x$ ne formule pas d’affirmation et ne reçoit donc pas de valeur de vérité.

Explication

Une conjecture est bien une proposition, mais sa valeur de vérité n’est pas encore connue. Elle se distingue donc d’une proposition démontrée, dont la véracité a été établie.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : lorsque $P$ est vraie, $\neg P$ est fausse. Dire que la négation conserve la valeur de $P$ confond une proposition avec son contraire.

Explication

Comme 5 ne divise pas 12, la proposition $P$ est fausse et sa négation est vraie : « 5 ne divise pas 12 ». Les autres énoncés ne constituent pas la négation logique de cette proposition.

Explication

Une conjonction exige que ses deux composantes soient vraies pour être vraie. Si l’une des deux propositions est fausse, la conjonction devient fausse.

Explication

La disjonction inclusive est fausse lorsque ses deux propositions sont fausses, et elle est vraie dès qu’au moins l’une est vraie. Elle reste donc vraie lorsque les deux propositions sont simultanément vraies, contrairement au « ou » exclusif.

Explication

La négation d’une disjonction est la conjonction des négations : $\neg(P \lor Q)=\neg P \land \neg Q$. L’expression $\neg P \lor \neg Q$ correspond à la négation d’une conjonction, et non à celle d’une disjonction.

Explication

Une implication échoue lorsque son antécédent est vrai mais que sa conclusion est fausse. Les trois autres configurations rendent l’implication vraie selon sa définition logique.

Explication

La réciproque s’obtient en échangeant l’antécédent et la conclusion, ce qui donne $Q \Rightarrow P$. La forme $\neg Q \Rightarrow \neg P$ est la contraposée, et non la réciproque.

Explication

La contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$ possède la même valeur de vérité que $P \Rightarrow Q$. La réciproque $Q \Rightarrow P$ n’est pas nécessairement équivalente à l’implication initiale.

Explication

Nier une implication revient à affirmer que l’antécédent est vrai et que la conclusion est fausse, soit $P \land \neg Q$. La contraposée conserve la valeur logique de l’implication et ne constitue donc pas sa négation.

Explication

Une équivalence est vraie lorsque les deux propositions sont simultanément vraies ou simultanément fausses. Une implication dans un seul sens peut aussi être vraie lorsque les deux propositions sont fausses, sans constituer pour autant une équivalence.

Explication

Démontrer une équivalence revient à établir les deux implications dans les deux sens, ce qui donne $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. Une seule implication ne garantit pas que les deux propositions aient toujours la même valeur de vérité.

Explication

Le quantificateur universel affirme que la propriété est vérifiée par tous les éléments de l’ensemble. La condition « au moins un élément » correspond au quantificateur existentiel, et non à $\forall$.

Explication

Le quantificateur existentiel affirme qu’au moins un élément de $E$ satisfait la propriété $P(x)$. Exiger que chaque élément la satisfasse relève du quantificateur universel $\forall$.

Explication

La négation d’un quantificateur existentiel devient un quantificateur universel et la propriété est niée. Conserver $\exists$, comme dans une proposition voisine, ne garantit pas que tous les éléments contredisent la propriété.

Explication

La négation inverse chaque quantificateur en conservant l’ordre initial : $\forall\exists$ devient $\exists\forall$. Permuter les variables pour obtenir $\forall y\exists x$ modifie l’ordre logique et n’est généralement pas équivalent.

Explication

Un seul élément de $E$ pour lequel $P(x)$ est fausse constitue un contre-exemple à l’énoncé universel. Vérifier un cas favorable ne réfute pas une affirmation portant sur tous les éléments.

Explication

La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\neg Q \Rightarrow \neg P$, et ces deux implications sont logiquement équivalentes. Le raisonnement direct part de $P$, tandis que la contraposée part de $\neg Q$.

Explication

Le raisonnement par l’absurde commence par l’hypothèse $\neg P$ et conduit à une contradiction avec une assertion connue vraie. Cette contradiction permet ensuite de conclure que $P$ est vraie, contrairement au raisonnement direct qui suppose $P$.

Explication

Une équivalence est établie lorsque les deux implications, $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$, sont démontrées. Une seule implication ne suffit pas à garantir que les deux propositions ont la même valeur logique.

Explication

La récurrence exige une initialisation au rang $n_0$ et une hérédité montrant le passage de $P(n)$ à $P(n+1)$. Vérifier quelques rangs ou inverser le sens de l’implication ne fournit pas la preuve générale attendue.

Explication

L’initialisation fournit le premier cas et l’hérédité transmet la vérité de chaque rang au suivant, ce qui établit $P(n)$ pour tout $n \ge n_0$. L’hérédité prise isolément ne permet pas de démarrer cette chaîne de déductions.

Explication

Chaque élément de $A$ peut être associé à chacun des trois éléments de $B$, ce qui donne $2\times3=6$ couples ordonnés. Le nombre trois correspond seulement aux éléments de $B$ et ne tient pas compte des associations avec les deux éléments de $A$.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l’autre, c’est-à-dire lorsque $A\subset B$ et $B\subset A$. Une inclusion dans un seul sens peut correspondre à un ensemble strictement plus petit et ne suffit donc pas à établir l’égalité.