Fiche de révision : Logique et vocabulaire des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Assertions et équivalence logique
2. Négation et connecteurs logiques
3. Implication et raisonnements associés
4. Ensembles appartenance et inclusion
5. Opérations et produits cartésiens
6. Quantificateurs et négation

📖 1. Assertions et équivalence logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Énoncé sans ambiguïté qui ne peut être que vrai ou faux.
• Équivalence logique : Deux assertions sont équivalentes lorsqu'elles ont la même valeur logique, ce qui se note $A \Longleftrightarrow B$ et se lit « A si et seulement si B ».

📝 Points essentiels

• La valeur d'une assertion est représentée par une table de vérité : elle vaut V si l'assertion est vraie et F si elle est fausse.

💡 Astuce mémo

Une assertion est vraie ou fausse, tandis qu'une expression ambiguë n'est ni l'une ni l'autre.

📖 2. Négation et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Est vraie si A est fausse et fausse si A est vraie.
• Conjonction : La conjonction A ∧ B est vraie si A et B sont vraies, et fausse dans tous les autres cas.
• Disjonction : La disjonction A ∨ B est fausse si A et B sont fausses, et vraie dans tous les autres cas.

★ À maîtriser

📌 Les lois de Morgan donnent ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q et ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q.

Compléments

📌 Les distributivités logiques sont P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) et P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).

💡 Astuce mémo

N-C-D : négation, conjonction, disjonction.

📖 3. Implication et raisonnements associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L'implication A ⇒ B est fausse si et seulement si A est vraie et B est fausse.

★ À maîtriser

📌 La réciproque de A ⇒ B est B ⇒ A, tandis que la contraposée est ¬B ⇒ ¬A.

• La transitivité des implications affirme que si A ⇒ B et B ⇒ C, alors A ⇒ C.

Compléments

📌 La négation de l'implication A ⇒ B est équivalente à A ∧ ¬B.

📌 Deux assertions A et B sont équivalentes si et seulement si A ⇒ B et B ⇒ A sont vraies.

💡 Astuce mémo

La réciproque inverse le sens ; la contraposée nie les deux termes et inverse le sens.

📖 4. Ensembles appartenance et inclusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments.
• Inclusion : A est une partie de E, notée A ⊂ E, si tout élément de A est aussi un élément de E.

★ À maîtriser

📌 La notation a ∈ E signifie que a appartient à E, tandis que a ∉ E signifie que a n'est pas un élément de E.

📌 Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.

Compléments

📌 Un ensemble peut être décrit par extension en listant ses éléments ou par compréhension en caractérisant ses éléments par une propriété.

• L'ensemble des parties de E se note P(E) et vaut P(E) = {A | A ⊂ E}.

💡 Astuce mémo

L'appartenance porte sur un élément, l'inclusion porte sur deux ensembles.

📖 5. Opérations et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : L'union A ∪ B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B.
• Intersection : L'intersection A ∩ B est l'ensemble des éléments appartenant à A et à B.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E, noté E\A, est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E × F est l'ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.

★ À maîtriser

📌 Les lois de Morgan des ensembles sont E(A ∪ B) = (E\A) ∩ (E\B) et E(A ∩ B) = (E\A) ∪ (E\B).

Compléments

📌 Pour toute partie A de E, A ∪ (E\A) = E et A ∩ (E\A) = ∅.

💡 Astuce mémo

Visualiser deux ensembles comme des zones qui s'unissent, se recouvrent ou se complètent dans un ensemble de référence.

📖 6. Quantificateurs et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion quantifiée : Pour une assertion P(x) avec x ∈ E, ∀x ∈ E signifie que P(x) est vraie pour tous les éléments de E, ∃x ∈ E signifie qu'elle est vraie pour au moins un élément, et ∃!x ∈ E signifie qu'elle est vraie pour un unique élément.

★ À maîtriser

📌 La négation de ∀x ∈ E, P(x) est équivalente à ∃x ∈ E, ¬P(x).

• Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout », le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe » et le quantificateur existentiel unique ∃! signifie « il existe de manière unique ».

Compléments

• Dans une assertion comportant plusieurs quantificateurs, l'ordre des quantificateurs importe.

💡 Astuce mémo

Nier « pour tout » donne « il existe », tandis que nier « il existe » donne « pour tout ».

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs et conditions de vérité