Un énoncé sans ambiguïté qui est vrai ou faux
Explication
Une assertion est un énoncé sans ambiguïté qui ne peut être que vrai ou faux. Un énoncé ambigu ne possède pas de valeur logique déterminée.
Lorsqu’elles ont toujours la même valeur logique
Explication
Deux assertions sont équivalentes lorsqu’elles ont la même valeur logique. Cette relation se note A ⇔ B et se lit « A si et seulement si B ».
Elle est fausse, contrairement à A
Explication
La négation possède la valeur opposée à celle de l’assertion initiale. Ainsi, si A est vraie, ¬A est fausse.
Lorsqu'A est vraie et B est vraie
Explication
La conjonction est vraie uniquement lorsque ses deux composantes sont vraies. Le fait qu’une seule composante soit vraie suffit en revanche pour une disjonction.
Lorsqu'A est fausse et B est fausse
Explication
La disjonction est fausse uniquement lorsque ses deux composantes sont fausses. Dans tous les autres cas, au moins l’une des deux assertions est vraie.
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
Explication
La première loi de Morgan transforme la négation d’une conjonction en la disjonction des négations : ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q.
Lorsqu'A est vraie et B est fausse
Explication
Une implication est fausse si et seulement si sa prémisse A est vraie alors que sa conclusion B est fausse. Les trois autres combinaisons la rendent vraie.
A ⇒ C
Explication
La transitivité des implications permet de conclure A ⇒ C lorsqu'A ⇒ B et B ⇒ C sont vraies.
La réciproque est B ⇒ A et la contraposée est ¬B ⇒ ¬A
Explication
La réciproque de A ⇒ B est B ⇒ A, tandis que sa contraposée est ¬B ⇒ ¬A. La contraposée est équivalente à l’implication initiale, contrairement à la réciproque en général.
Comme une collection d'objets appelés éléments
Explication
Un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments. Les autres propositions décrivent des notions différentes.
L'élément a appartient à l'ensemble E
Explication
La notation a ∈ E exprime l'appartenance d'un élément à un ensemble. La notation A ⊂ E concerne, elle, l'inclusion de deux ensembles.
Tout élément de A appartient aussi à E
Explication
A est une partie de E lorsque chaque élément de A est également un élément de E. Cette condition ne signifie pas nécessairement que les deux ensembles sont égaux.
Lorsqu'E ⊂ F et F ⊂ E
Explication
Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l'autre. Une seule inclusion ne suffit pas en général.
L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B
Explication
L'union rassemble les éléments qui appartiennent à A, à B, ou aux deux. L'appartenance simultanée caractérise l'intersection.
Les éléments 2 et 4
Explication
Le complémentaire de A dans E contient les éléments de E qui n'appartiennent pas à A. Ici, il s'agit donc de 2 et 4.
E\(A ∪ B) = (E\A) ∩ (E\B)
Explication
Le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires : E\(A ∪ B) = (E\A) ∩ (E\B). La seconde loi concerne le complémentaire d'une intersection.
(x,y) avec x ∈ E et y ∈ F
Explication
Un couple (x,y) appartient à E × F lorsque sa première composante appartient à E et sa seconde à F. L'ordre des composantes est donc essentiel.
∃ autorise plusieurs solutions, tandis que ∃! en impose une seule
Explication
∃ signifie « il existe au moins un » élément satisfaisant la propriété, tandis que ∃! signifie « il existe un unique » élément satisfaisant cette propriété.
P(x) est vraie pour tous les éléments de E
Explication
Le quantificateur universel ∀ affirme que la propriété P(x) est vraie pour chaque élément de E. Pour exprimer l'existence d'au moins un élément, on utiliserait ∃.
∃x ∈ E, ¬P(x)
Explication
Nier une propriété vraie pour tous les éléments revient à affirmer qu'il existe au moins un élément pour lequel elle est fausse. La forme correspondante est ∃x ∈ E, ¬P(x).
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Qu'est-ce qu'une assertion en logique ?
Un énoncé sans ambiguïté qui ne peut être que vrai ou faux.
Quand deux assertions sont-elles équivalentes ?
Lorsqu'elles ont la même valeur logique.
Comment se note l'équivalence logique entre A et B ?
A 77 B.
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