Fiche de révision : Vecteurs et produits vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés des vecteurs
2. Colinéarité et alignement
3. Calculs vectoriels fondamentaux
4. Repères bases et coordonnées
5. Produit scalaire et orthogonalité
6. Produit vectoriel et orientation

📖 1. Définition et propriétés des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme, c’est-à-dire sa longueur.

★ À maîtriser

📌 La relation de Chasles donne AB + BC = AC pour trois points A, B et C du plan.

Compléments

📌 Pour tout vecteur v et tout point A du plan, il existe un unique point B tel que v = AB ; B est l’image de A par la translation de vecteur v.

📖 2. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel non nul k tel que u = k v.

📌 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

📌 Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Même direction : parallélisme des droites ; colinéarité de deux vecteurs.

📖 3. Calculs vectoriels fondamentaux

★ À maîtriser

• Si A a pour coordonnées (x_A,y_A,z_A) et B a pour coordonnées (x_B,y_B,z_B), alors le vecteur AB a pour coordonnées $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

📐 Formule — Pour un vecteur v de composantes (v_x,v_y,v_z), sa norme vaut $\|v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

• Si w = u + v, avec u = (u_x,u_y,u_z) et v = (v_x,v_y,v_z), alors w = (u_x+v_x,u_y+v_y,u_z+v_z).

Compléments

📐 Formule — Le produit scalaire de u et v se calcule par $u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées → norme → somme → produits.

📖 4. Repères bases et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère : Ensemble de vecteurs non colinéaires permettant de décrire un espace, avec deux vecteurs dans le plan et trois vecteurs dans l’espace.
• Repère orthonormé : Repère dont tous les vecteurs ont une norme égale à 1 et sont orthogonaux deux à deux.
• Base : Ensemble constitué d’un repère et d’une origine ; elle comporte deux vecteurs dans le plan ou trois vecteurs dans l’espace, ainsi qu’un point d’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans la base B(O,u,v,w), un point M de coordonnées (x_M,y_M,z_M) vérifie $OM=x_Mu+y_Mv+z_Mw$.

💡 Astuce mémo

Le repère décrit avec des vecteurs ; la base ajoute une origine.

📖 5. Produit scalaire et orthogonalité

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs u et v vérifie $u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)$, où θ est l’angle entre les deux vecteurs.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u · v = 0 ⇔ u ⟂ v.

Compléments

📐 Formule — Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même vaut sa norme au carré : $u\cdot u=\|u\|^2$, donc $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$.

• Dans une base orthonormée du plan, si u = (u_x,u_y) et α est l’angle avec le premier vecteur de base, alors u_x = ‖u‖ cos(α) et u_y = ‖u‖ sin(α).

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → vecteurs orthogonaux.

📖 6. Produit vectoriel et orientation

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de u et v est le vecteur w = u ∧ v, perpendiculaire à u et à v, dont le sens rend le triplet (u,v,w) direct.
• Base orthonormée directe : Base dont les vecteurs sont unitaires, orthogonaux deux à deux et forment un triplet direct.

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme du produit vectoriel vérifie $\|u\wedge v\|=\|u\|\,\|v\|\sin(\theta)$, où θ est l’angle entre u et v.

📌 Le produit vectoriel u ∧ v est nul si et seulement si u et v sont colinéaires, ce qui s’écrit u ∧ v = 0 ⇔ il existe un réel k tel que u = k v.

📌 Le produit vectoriel n’est pas commutatif : si w = u ∧ v, alors v ∧ u = −w.

Compléments

• La règle de la main droite définit un triplet direct en représentant le premier vecteur par le pouce, le second par l’index et le troisième par le majeur.

💡 Astuce mémo

La main droite oriente le vecteur normal au plan.

📊 Tableaux de synthèse

Produits scalaire et vectoriel