QCM : Logique mathématique (20 questions)

Explication

Une proposition logique est une affirmation mathématique à laquelle on peut attribuer sans ambiguïté vrai ou faux. Une expression dépendant d’un paramètre, comme celle qui contient x, est plutôt un prédicat tant que ce paramètre n’est pas fixé.

Explication

Le tiers exclu affirme qu’une proposition est vraie ou fausse, et la non-contradiction interdit qu’elle possède ces deux valeurs en même temps. Les deux principes portent donc sur des aspects différents de la détermination des valeurs de vérité.

Explication

L’expression $x > -5$ change de valeur de vérité selon la valeur attribuée à x et constitue donc un prédicat. Les autres expressions ont une valeur de vérité déterminée sans paramètre variable.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : lorsque P est fausse, sa négation est vraie. Dire que P conserve sa valeur ou que la négation reste fausse confond la proposition avec son opposée.

Explication

Une conjonction exige que ses deux composantes soient vraies au même moment. Le fait qu’une seule proposition soit vraie suffit plutôt dans le cas d’une disjonction.

Explication

La disjonction devient fausse lorsqu'aucune de ses deux propositions n’est vraie, donc lorsque P et Q sont toutes deux fausses. Si l’une des deux est vraie, la disjonction est vraie.

Explication

Une implication est mise en défaut lorsque sa condition P est réalisée mais que sa conséquence Q ne l’est pas. Les trois autres combinaisons ne rendent pas l’implication fausse dans la logique classique.

Explication

La réalisation de P suffit à garantir Q, tandis que Q doit être vraie pour que P puisse être satisfaite dans cette implication. Inverser ces rôles conduit à la confusion entre condition suffisante et condition nécessaire.

Explication

La contraposée inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles, ce qui donne $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$. La forme $Q \Rightarrow P$ est la réciproque, car elle inverse l’ordre sans nier les propositions.

Explication

Une équivalence est vraie lorsque les deux propositions partagent la même valeur de vérité, qu’elles soient toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Des valeurs opposées rendent l’équivalence fausse.

Explication

Une double implication exige que chacune des deux propositions entraîne l’autre. Une seule implication, comme $P \Rightarrow Q$, ne suffit pas à établir l’équivalence.

Explication

La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$, et ces deux implications sont équivalentes. La réciproque $Q \Rightarrow P$ peut avoir une valeur de vérité différente.

Explication

La première loi de Morgan affirme que nier une disjonction revient à nier chacune de ses composantes et à les relier par « et ». L’expression $\overline{P}$ ou $\overline{Q}$ correspond à la négation de « $P$ et $Q$ ».

Explication

Le quantificateur universel impose la véracité de $P(x)$ pour tout élément appartenant à $E$. Le quantificateur existentiel demande une propriété vraie pour au moins un élément, sans exiger qu’elle soit vraie partout.

Explication

Le quantificateur existentiel affirme qu’au moins un élément de $E$ rend $P(x)$ vraie. Il ne précise pas que cet élément est unique, contrairement à $\exists!$.

Explication

Nier une affirmation universelle signifie qu’au moins un élément ne vérifie pas la propriété. La formule $\forall x \in E,\ \overline{P(x)}$ affirme au contraire que tous les éléments échouent à la vérifier.

Explication

Un seul contre-exemple suffit à invalider une proposition universelle, car celle-ci exige la propriété pour chaque élément. Montrer l’existence d’un cas favorable ne permet pas de conclure à la vérité universelle.

Explication

La contraposée remplace l’implication initiale par l’implication équivalente $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$. L’implication $Q \Rightarrow P$ est la réciproque, qui n’est pas nécessairement équivalente.

Explication

Le raisonnement par l’absurde part de la négation de la proposition recherchée et montre que cette hypothèse entraîne une impossibilité. La transformation d’une implication en contraposée relève d’une autre méthode.

Explication

Une récurrence commence par vérifier $P(n_0)$, puis démontre que $P(n)$ entraîne $P(n+1)$ avant de conclure pour tout $n \ge n_0$. Un contre-exemple ou une distinction de cas correspond à d’autres stratégies de démonstration.