Fiche de révision : Logique mathématique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Connecteurs logiques fondamentaux
3. Implication et équivalence
4. Formules et lois logiques
5. Quantificateurs et négations
6. Méthodes de démonstration

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition logique : Affirmation portant sur des objets mathématiques à laquelle on peut attribuer sans ambiguïté la valeur vraie ou la valeur fausse.

★ À maîtriser

📌 Le principe du tiers exclu impose qu’une proposition soit vraie ou fausse, tandis que la loi de non-contradiction interdit qu’elle soit vraie et fausse simultanément.

📌 Un prédicat est une proposition dont la valeur de vérité dépend d’un paramètre, comme l’expression x > -5 qui dépend de la valeur de x.

Compléments

• La logique bivalente n’admet que les deux valeurs de vérité V, pour vraie, et F, pour fausse.

💡 Astuce mémo

Vraie ou fausse, jamais les deux

📖 2. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Vraie exactement lorsque P est fausse.
• Conjonction : Vraie uniquement lorsque P et Q sont vraies simultanément.
• Disjonction : Fausse uniquement lorsque P et Q sont fausses simultanément.

📝 Points essentiels

📌 La proposition P et P̄ est toujours fausse, tandis que P ou P̄ est toujours vraie.

📖 3. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse.
• Équivalence : Vraie exactement lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.

📝 Points essentiels

📌 Dans P ⇒ Q, P est une condition suffisante de Q et Q est une condition nécessaire de P.

📌 La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P, tandis que sa contraposée est Q̄ ⇒ P̄.

💡 Astuce mémo

Suffisant n’est pas nécessaire

📖 4. Formules et lois logiques

★ À maîtriser

• Une double implication vérifie $P ⇔ Q \,\Longleftrightarrow\, (P ⇒ Q) \text{ et } (Q ⇒ P)$.

• La contraposée vérifie $P ⇒ Q \,\Longleftrightarrow\, \overline{Q} ⇒ \overline{P}$.

• Les lois de Morgan donnent $\overline{P} \text{ et } \overline{Q} \,\Longleftrightarrow\, \overline{(P \text{ ou } Q)}$ et $\overline{P} \text{ ou } \overline{Q} \,\Longleftrightarrow\, \overline{(P \text{ et } Q)}$.

Compléments

• Une implication peut être réécrite selon $P ⇒ Q \,\Longleftrightarrow\, (\overline{P} \text{ ou } Q)$.

💡 Astuce mémo

Contraposée ou négation → reformulation équivalente

📖 5. Quantificateurs et négations

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Signifie que la proposition P(x) est vraie pour tout x appartenant à E.
• Quantificateur existentiel : Signifie qu’il existe au moins un élément de E pour lequel P(x) est vraie.
• Existence unique : La notation ∃!x ∈ E, P(x) signifie qu’il existe un seul élément de E tel que P(x) soit vraie.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃x ∈ E, P̄(x), et la négation de ∃x ∈ E, P(x) est ∀x ∈ E, P̄(x).

💡 Astuce mémo

∀ affirme tout, ∃ fournit un témoin

📖 6. Méthodes de démonstration

★ À maîtriser

• Pour réfuter une proposition universelle ∀x ∈ E, P(x), il suffit de fournir un élément de E pour lequel P(x) est fausse.

• Pour démontrer P ⇒ Q par contraposée, il faut démontrer l’implication Q̄ ⇒ P̄.

• Un raisonnement par l’absurde démontre P en supposant P̄ et en établissant que cette supposition conduit à une impossibilité ou une contradiction.

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte:

  1. l’initialisation de P(n₀)
  2. l’hérédité P(n) ⇒ P(n+1)
  3. la conclusion pour tout n ≥ n₀

Compléments

• Un raisonnement par disjonction de cas démontre une propriété en distinguant tous les cas possibles.

💡 Astuce mémo

Contre-exemple, contraposée, absurde, cas, récurrence

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs logiques