Fiche de révision : Méthodes du PGCD et du PPCM

📋 Plan du Cours

1. PGCD par diviseurs communs
2. PGCD par facteurs premiers
3. Critères de divisibilité
4. PPCM par multiples et facteurs

📖 1. PGCD par diviseurs communs

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux nombres naturels.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer un PGCD par écriture des ensembles de diviseurs, il faut écrire les diviseurs de chaque nombre, retenir les diviseurs communs, puis choisir le plus grand d'entre eux.

• Pour 24 et 36, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, donc $\operatorname{PGCD}(24{,}36)=12$.

💡 Astuce mémo

Lister les diviseurs, repérer les communs, choisir le plus grand

📖 2. PGCD par facteurs premiers

📝 Points essentiels

• 🔄 La décomposition en facteurs premiers du PGCD suit ces étapes:

  1. Décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers
  2. Repérer les facteurs premiers communs
  3. Retenir pour chacun le plus petit exposant
  4. Multiplier les facteurs retenus

• Comme $360=2^3\times3^2\times5$ et $420=2^2\times3\times5\times7$, leur PGCD est $2^2\times3\times5=60$.

💡 Astuce mémo

PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant

📖 3. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

• Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est un multiple de 2, et il est divisible par 5 si son dernier chiffre est un multiple de 5.

• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4, et il est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est un multiple de 8.

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, et il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

💡 Astuce mémo

2, 5 : dernier chiffre ; 3, 9 : somme des chiffres ; 4, 8 : derniers chiffres

📖 4. PPCM par multiples et facteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Plus petit multiple commun de deux nombres naturels.

📝 Points essentiels

• 🔄 La recherche du PPCM par ensembles de multiples suit ces étapes:

  1. Écrire les multiples de chaque nombre
  2. Repérer les multiples communs
  3. Choisir le plus petit multiple commun non nul

• Pour 36 et 48, le premier multiple commun non nul est 144, donc $\operatorname{PPCM}(36{,}48)=144$.

• Pour déterminer le PPCM de deux nombres naturels par décomposition, il faut décomposer les deux nombres en facteurs premiers, puis multiplier les facteurs communs ou non communs affectés de leur plus grand exposant.

• Comme $440=2^3\times5\times11$ et $420=2^2\times3\times5\times7$, leur PPCM est $2^3\times3\times5\times7\times11=9240$.

💡 Astuce mémo

PPCM : facteurs communs ou non avec le plus grand exposant

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM par facteurs premiers