Fiche de révision : Logique propositionnelle

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Négation d’une proposition
3. Conjonction et disjonction
4. Lois de De Morgan
5. Implication logique
6. Équivalence logique
7. Négation de l’implication

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé mathématique auquel est associée une et une seule valeur de vérité : vrai ou faux.

📝 Points essentiels

• « 10 − 3 = 7 » et « 5 × 7 = 35 » sont des propositions vraies, tandis que « Marrakech est la capitale du Maroc » est une proposition fausse.

📖 2. Négation d’une proposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : La négation d’une proposition P, notée non-P, est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

📝 Points essentiels

• La négation de « 3 > −7 » est « 3 ≤ −7 », qui est fausse puisque « 3 > −7 » est vraie.

💡 Astuce mémo

P vrai → non-P faux ; P faux → non-P vrai.

📖 3. Conjonction et disjonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : La conjonction P ∧ Q est vraie si P et Q sont toutes deux vraies, et fausse dans les trois autres cas.
• Disjonction : La disjonction P ∨ Q est fausse si P et Q sont toutes deux fausses, et vraie dans les trois autres cas.

📝 Points essentiels

• Si P est fausse et Q vraie, alors P ∧ Q est fausse tandis que P ∨ Q est vraie.

💡 Astuce mémo

La conjonction exige deux vrais ; la disjonction échoue seulement avec deux faux.

📖 4. Lois de De Morgan

★ À maîtriser

📌 La négation d’une conjonction vérifie non-(P ∧ Q) ≡ non-P ∨ non-Q.

📌 La négation d’une disjonction vérifie non-(P ∨ Q) ≡ non-P ∧ non-Q.

Compléments

• Pour nier une disjonction de deux égalités, on nie chacune des égalités et on les relie par une conjonction.

💡 Astuce mémo

La négation traverse le connecteur et le retourne : ∧ devient ∨, ∨ devient ∧.

📖 5. Implication logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L’implication P → Q est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse ; elle est vraie dans les trois autres cas.

📝 Points essentiels

📌 Une implication dont l’antécédent P est faux est vraie, quelle que soit la valeur de vérité de Q.

• Si P est fausse et Q vraie, alors P → Q est vraie.

💡 Astuce mémo

Seul le cas vrai → faux fait échouer l’implication.

📖 6. Équivalence logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : P et Q sont équivalentes lorsque P → Q et Q → P sont toutes deux vraies, ce qui se produit lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.

📝 Points essentiels

📌 L’équivalence P ↔ Q est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.

📖 7. Négation de l’implication

★ À maîtriser

📌 La négation d’une implication vérifie non-(P → Q) ≡ P ∧ non-Q.

📌 L’implication P → Q est équivalente à la disjonction non-P ∨ Q.

Compléments

• Pour nier « P → Q », on conserve P et on nie Q, puis on relie P et non-Q par une conjonction.

💡 Astuce mémo

La négation de P → Q est P ∧ non-Q, pas non-P → non-Q.