QCM : Logique propositionnelle (13 questions)

Question 1

1. Qu’est-ce qui caractérise une proposition mathématique du point de vue de sa valeur de vérité ?

Elle possède une valeur de vérité unique, vraie ou fausse.

Elle possède une valeur de vérité uniquement lorsqu’elle est démontrée.

Elle peut être vraie et fausse selon le contexte.

Elle exprime une question dont la réponse est vraie ou fausse.

Explication

Une proposition est un énoncé mathématique auquel est associée exactement une valeur de vérité : vrai ou faux. Une question, contrairement à un énoncé affirmatif, ne constitue pas à elle seule une proposition.

Answer

Elle possède une valeur de vérité unique, vraie ou fausse.

Question 2

2. Si une proposition $P$ est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation non- $P$ ?

Elle est fausse, car la négation prend la valeur opposée à celle de

P

.

Elle est vraie, car la valeur de

P

est conservée.

Elle n’a pas de valeur de vérité tant que

P

n’est pas démontrée.

Elle peut être vraie ou fausse selon le contexte de

P

.

Explication

La négation d’une proposition a la valeur de vérité opposée à celle de cette proposition ; elle est donc fausse lorsque $P$ est vraie. L’idée que $P$ conserve sa valeur initiale confond la proposition avec sa négation.

Answer

Elle est fausse, car la négation prend la valeur opposée à celle de $$P$$.

Question 3

3. Quelle est la négation de l’inégalité $3>-7$ ?

3=-7

3\leq -7

3<-7

3\geq -7

Explication

La négation de $3>-7$ est $3\leq -7$ , qui est fausse puisque l’inégalité initiale est vraie. L’option $3<-7$ omet le cas d’égalité et n’est donc pas la négation exacte.

Answer

$$3\leq -7$$

Question 4

4. Dans quel cas la conjonction $P\land Q$ est-elle vraie ?

Lorsque

P

et

Q

ont des valeurs de vérité différentes.

Lorsque

P

et

Q

sont toutes deux fausses.

Lorsque

P

et

Q

sont toutes deux vraies.

Lorsque

P

ou

Q

est vraie, y compris si l’autre est fausse.

Explication

La conjonction est vraie lorsque ses deux propositions sont vraies et fausse dans les trois autres cas. Le critère selon lequel une seule proposition vraie suffit correspond à la disjonction, pas à la conjonction.

Answer

Lorsque $$P$$ et $$Q$$ sont toutes deux vraies.

Question 5

5. Dans quel cas la disjonction $P\lor Q$ est-elle fausse ?

Lorsque les deux propositions sont vraies.

Lorsque les deux propositions sont fausses.

Lorsque

P

est fausse et

Q

vraie.

Lorsque

P

est vraie et

Q

fausse.

Explication

La disjonction est fausse lorsque $P$ et $Q$ sont toutes deux fausses ; elle est vraie dans les trois autres cas. L’idée qu’elle serait fausse lorsque les deux propositions sont vraies confond la disjonction avec une autre opération logique.

Answer

Lorsque les deux propositions sont fausses.

Question 6

6. Quelle expression est logiquement équivalente à la négation de « P et Q » ?

Non-P et non-Q

Non-P ou Q

Non-P ou non-Q

P ou non-Q

Explication

La négation d’une conjonction devient une disjonction des deux propositions niées. La conjonction de non-P et non-Q correspond plutôt à la négation d’une disjonction.

Answer

Non-P ou non-Q

Question 7

7. Comment peut-on réécrire non-(P ou Q) à l’aide des négations de P et de Q ?

P et non-Q

Non-P et non-Q

Non-P ou non-Q

Non-P ou Q

Explication

La négation d’une disjonction équivaut à la conjonction des deux propositions niées. La disjonction de non-P et non-Q est plutôt la négation d’une conjonction.

Answer

Non-P et non-Q

Question 8

8. Dans quel cas l’implication P → Q est-elle fausse ?

Lorsque P et Q sont toutes deux vraies

Lorsque P est vraie et Q est fausse

Lorsque P est fausse et Q est vraie

Lorsque P et Q sont toutes deux fausses

Explication

Une implication est fausse lorsque son antécédent est vrai et son conséquent faux; elle est vraie dans les trois autres cas. La situation où P est fausse et Q vraie rend donc l’implication vraie.

Answer

Lorsque P est vraie et Q est fausse

Question 9

9. Si P est fausse et Q vraie, quelle est la valeur de vérité de P → Q ?

Vraie seulement si P et Q sont équivalentes

Fausse

Vraie

Indéterminée sans connaître Q → P

Explication

Avec un antécédent faux et un conséquent vrai, l’implication P → Q est vraie. La valeur de Q → P ne change pas cette évaluation de P → Q.

Answer

P → Q et Q → P sont toutes deux vraies

Answer

Lorsque P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses

Answer

$$P \land \neg Q$$

Answer

$$\neg P \lor Q$$

Question 10

10. Quelle condition caractérise l’équivalence logique entre P et Q ?

P → Q est vraie et Q → P est fausse

P et Q ont des valeurs de vérité différentes

P → Q et Q → P sont toutes deux vraies

P et Q sont toutes deux vraies

Explication

P et Q sont équivalentes lorsque les deux implications dans les sens opposés sont vraies, ce qui correspond à des valeurs de vérité identiques. Le fait que P et Q soient toutes deux vraies est un cas d’équivalence, mais pas la condition complète puisque les deux peuvent aussi être fausses.

Question 11

11. Dans quelle situation l’équivalence P ↔ Q est-elle vraie ?

Lorsque P → Q est vraie, mais Q → P est fausse

Lorsque P est fausse et Q est vraie

Lorsque P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses

Lorsque P est vraie et Q est fausse

Explication

L’équivalence est vraie lorsque P et Q partagent la même valeur de vérité, qu’elles soient vraies ou fausses. Si P est vraie et Q fausse, leurs valeurs diffèrent et l’équivalence est fausse.

Question 12

12. Quelle expression est équivalente à la négation de l’implication $P \to Q$ ?

P \lor \neg Q

\neg P \land Q

\neg P \lor Q

P \land \neg Q

Explication

Une implication est fausse lorsque $P$ est vraie et $Q$ est fausse, d’où $P \land \neg Q$ . L’expression $\neg P \to \neg Q$ est une autre implication, et non la négation de $P \to Q$ .

Question 13

13. Quelle forme disjonctive est logiquement équivalente à $P \to Q$ ?

\neg P \land Q

P \land \neg Q

\neg P \lor Q

P \lor Q

Explication

L’implication $P \to Q$ est équivalente à $\neg P \lor Q$ : elle est vraie si $P$ est fausse ou si $Q$ est vraie. L’expression $P \land \neg Q$ décrit au contraire les cas où l’implication est fausse.

QCM : Logique propositionnelle (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qui caractérise une proposition mathématique du point de vue de sa valeur de vérité ?

2. Si une proposition $P$ est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation non- $P$ ?

3. Quelle est la négation de l’inégalité $3>-7$ ?

4. Dans quel cas la conjonction $P\land Q$ est-elle vraie ?

5. Dans quel cas la disjonction $P\lor Q$ est-elle fausse ?

6. Quelle expression est logiquement équivalente à la négation de « P et Q » ?

7. Comment peut-on réécrire non-(P ou Q) à l’aide des négations de P et de Q ?

8. Dans quel cas l’implication P → Q est-elle fausse ?

9. Si P est fausse et Q vraie, quelle est la valeur de vérité de P → Q ?

10. Quelle condition caractérise l’équivalence logique entre P et Q ?

11. Dans quelle situation l’équivalence P ↔ Q est-elle vraie ?

12. Quelle expression est équivalente à la négation de l’implication $P \to Q$ ?

13. Quelle forme disjonctive est logiquement équivalente à $P \to Q$ ?

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QCM : Logique propositionnelle (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qui caractérise une proposition mathématique du point de vue de sa valeur de vérité ?

2. Si une proposition PPP est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation non-PPP ?

3. Quelle est la négation de l’inégalité 3>−73>-73>−7 ?

4. Dans quel cas la conjonction P∧QP\land QP∧Q est-elle vraie ?

5. Dans quel cas la disjonction P∨QP\lor QP∨Q est-elle fausse ?

6. Quelle expression est logiquement équivalente à la négation de « P et Q » ?

7. Comment peut-on réécrire non-(P ou Q) à l’aide des négations de P et de Q ?

8. Dans quel cas l’implication P → Q est-elle fausse ?

9. Si P est fausse et Q vraie, quelle est la valeur de vérité de P → Q ?

10. Quelle condition caractérise l’équivalence logique entre P et Q ?

11. Dans quelle situation l’équivalence P ↔ Q est-elle vraie ?

12. Quelle expression est équivalente à la négation de l’implication P→QP \to QP→Q ?

13. Quelle forme disjonctive est logiquement équivalente à P→QP \to QP→Q ?

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2. Si une proposition $P$ est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation non- $P$ ?

3. Quelle est la négation de l’inégalité $3>-7$ ?

4. Dans quel cas la conjonction $P\land Q$ est-elle vraie ?

5. Dans quel cas la disjonction $P\lor Q$ est-elle fausse ?

12. Quelle expression est équivalente à la négation de l’implication $P \to Q$ ?

13. Quelle forme disjonctive est logiquement équivalente à $P \to Q$ ?