Fiche de révision : Puissances et écriture scientifique

📋 Plan du Cours

1. Puissances d’un nombre relatif
2. Calculs et priorités opératoires
3. Puissances de dix et décalage décimal
4. Règles de calcul des puissances de dix
5. Notation scientifique
6. Préfixes des unités

📖 1. Puissances d’un nombre relatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’un nombre : Pour un nombre relatif a et un entier naturel n supérieur ou égal à 2, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre a, $a^1=a$ ; pour $a\ne0$, $a^0=1$.

📌 Avec une base négative entre parenthèses, le signe fait partie de la puissance, tandis que sans parenthèses, dans $-3^4$, la puissance porte sur 3 et le signe moins reste extérieur : $(-3)^4=81$ et $-3^4=-81$.

Compléments

• Pour n égal à 2, $a^2$ se lit « a au carré », et pour n égal à 3, $a^3$ se lit « a au cube ».

• L’inverse de $\frac{3}{4}$ est $\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{3}$.

💡 Astuce mémo

Avec les parenthèses, la base négative est élevée à la puissance ; sans elles, le signe moins reste extérieur.

📖 2. Calculs et priorités opératoires

★ À maîtriser

• L’ordre des opérations est le suivant :
  • Calculs entre parenthèses
  • Puissances
  • Multiplications et divisions
  • Additions et soustractions

Compléments

• Le calcul $-7+(-6)^2$ vaut 29, car $(-6)^2=36$.

• Le calcul $(-5)^3+3\times7$ vaut $-104$, car $(-5)^3=-125$ et $3\times7=21$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications et divisions → additions et soustractions.

📖 3. Puissances de dix et décalage décimal

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier positif non nul n, $10^n$ est égal à 1 suivi de n zéros et $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

📌 Multiplier un nombre décimal par $10^n$ décale la virgule de n rangs vers la droite, en ajoutant des zéros si nécessaire.

Compléments

• Le produit $8{,}27\times10^4$ est égal à 82 700.

• Le produit $92{,}3\times10^{-1}$ est égal à 9,23.

💡 Astuce mémo

10ⁿ pousse la virgule à droite ; 10⁻ⁿ la pousse à gauche.

📖 4. Règles de calcul des puissances de dix

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des entiers relatifs n et p, $10^n\times10^p=10^{n+p}$, $\frac{10^n}{10^p}=10^{n-p}$ et $(10^n)^p=10^{n\times p}$.

Compléments

• Le quotient $\frac{10^5}{10^{-4}}$ est égal à $10^9$, car l’exposant obtenu est $5-(-4)=9$.

• La puissance $(10^3)^2$ est égale à $10^6$, car les exposants sont multipliés.

📖 5. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre non nul est son unique écriture sous la forme $a\times10^n$, où a est un nombre décimal tel que $1\le a<10$ et n un entier relatif.

★ À maîtriser

📌 Une écriture de la forme $a\times10^n$ est scientifique seulement si a possède un seul chiffre non nul avant la virgule et vérifie $1\le a<10$.

Compléments

• La notation scientifique de 26 000 est $2{,}6\times10^4$.

• La notation scientifique de 0,032 est $3{,}2\times10^{-2}$.

• Pour exprimer $234\times10^8$ en notation scientifique, on réécrit 234 en $2{,}34\times10^2$, puis on regroupe les puissances de dix pour obtenir $2{,}34\times10^{10}$.

📖 6. Préfixes des unités

★ À maîtriser

• Les préfixes des unités et leurs coefficients sont giga (G, $10^9$), méga (M, $10^6$), kilo (k, $10^3$), hecto (h, $10^2$), déca (da, $10^1$), déci (d, $10^{-1}$), centi (c, $10^{-2}$), milli (m, $10^{-3}$), micro (µ, $10^{-6}$) et nano (n, $10^{-9}$).

Compléments

• Le préfixe kilo donne $12\,\text{km}=12\times10^3\,\text{m}=12\,000\,\text{m}$.

• Le préfixe méga donne $6\,\text{MW}=6\times10^6\,\text{W}=6\,000\,000\,\text{W}$.