Fiche de révision : Lois du rayonnement et photon

📋 Plan du Cours

1. Fondements et histoire quantique
2. Caractère ondulatoire du rayonnement
3. Rayonnement du corps noir
4. Lois du rayonnement thermique
5. Modèle de Bohr et hydrogénoïdes
6. Effet photoélectrique
7. Diffusion Compton et dualité
8. Hypothèse de De Broglie
9. Diffraction et interférences quantiques
10. Critère quantique et action
11. Équation et fonction d’onde
12. Densité et courant de probabilité
13. Propriétés des fonctions d’onde
14. États stationnaires et spectres
15. Barrières de potentiel et effet tunnel
16. Microscope à force atomique et radioactivité alpha
17. Puits plat fini et états liés
18. Puits infini et états de diffusion

📅 Repères chronologiques

1. 1900Max Planck propose que la lumière soit émise sous forme de quanta ou paquets d’énergie pour expliquer le rayonnement du corps noir.
2. 1905Albert Einstein explique l’effet photoélectrique par l’absorption de photons d’énergie quantifiée
3. 1913Bohr présente un modèle de l’atome dans lequel les électrons ne peuvent occuper que certains niveaux d’énergie et passent d’une orbite permise à une autre par un saut quantique.
4. 1913Niels Bohr propose un modèle atomique fondé sur trois postulats concernant les orbites stationnaires, la quantification du moment cinétique et les transitions radiatives
5. 1923Arthur Compton observe l’allongement de la longueur d’onde du photon lors de sa diffusion par un électron libre
6. 1924Louis de Broglie propose que la matière possède elle aussi une dualité onde-corpuscule, en associant des ondes aux corpuscules matériels.

📖 1. Fondements et histoire quantique

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorie quantique : Description de la matière et de la lumière, en particulier des phénomènes à l’échelle microscopique, subatomique, atomique et moléculaire.

💡 Astuce mémo

Planck 1900 → Einstein 1905 → Bohr 1913 → de Broglie 1924

📖 2. Caractère ondulatoire du rayonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde plane : Onde qui se propage le long d’un axe et ne dépend que d’une seule coordonnée spatiale, ses surfaces d’onde étant des plans.
• Paquet d’ondes : Superposition continue d’ondes monochromatiques, décrite par $\psi(x,t)=\int_\Omega f(\omega)e^{-i(\omega t-kx)}d\omega$.
• Vitesse de phase : Vitesse de propagation de chaque composante spectrale d’un paquet d’ondes et vaut $v_\varphi=\frac{\omega}{k}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation générale de propagation d’une onde est $\Delta\psi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=0$.

📐 Formule - Une onde monochromatique progressive s’écrit $\psi(\mathbf r,t)=Ae^{-i(\omega t-\mathbf k\cdot\mathbf r)}$ avec $\mathbf k=\frac{\omega}{v}\mathbf n=\frac{2\pi}{\lambda}\mathbf n$.

📌 Plus un paquet d’ondes est limité dans le temps, plus son spectre contient de fréquences différentes, tandis qu’une impulsion longue possède un spectre plus étroit.

Compléments

📐 Formule - La localisation spatiale et la largeur spectrale d’un paquet d’ondes vérifient $\Delta x\Delta k=\mathrm{Cte.}$.

💡 Astuce mémo

Superposition d’ondes → paquet localisé → transport d’une énergie finie

📖 3. Rayonnement du corps noir

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps noir : Objet idéal qui absorbe toute l’énergie électromagnétique reçue, sans réflexion ni transmission, quelle que soit la longueur d’onde.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de Planck donne la puissance émise par unité de fréquence et de surface par $u(\omega,T)=\frac{\omega^2}{4\pi^2c^2}\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}$. - Max Planck

📐 Formule - Selon l’hypothèse de Planck, l’énergie d’un oscillateur est quantifiée selon $E_n=n\hbar\omega$ avec $n=0{,}1{,}2,\ldots$, et l’émission s’effectue par quanta $\Delta E=(\Delta n)\hbar\omega$.

📐 Formule - La loi de déplacement de Wien relie la longueur d’onde du maximum d’émission à la température par $\lambda_{\max}T=b$, avec $b=2.897756\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$.

📐 Formule - La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale émise par unité de surface d’un corps noir par $\frac{P}{S}=\sigma T^4$, avec $\sigma=5.67051\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$.

Compléments

📐 Formule - La loi de Rayleigh-Jeans donne la densité spectrale du rayonnement du corps noir par $u(\omega,T)=\frac{k_BT}{2\pi^2c^2}\omega^2$.

💡 Astuce mémo

Rayleigh-Jeans diverge aux hautes fréquences, Planck décrit tout le spectre

📖 4. Lois du rayonnement thermique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une surface réelle d’émissivité e entourée à la température Te, la puissance nette émise par unité de surface est $\frac{P}{S}=e\sigma(T^4-T_e^4)$, avec e=1 pour un corps noir.

Compléments

• Pour un corps noir à 300 K, le maximum d’émission est situé à 9.659 μm dans l’infrarouge.

• À 37 °C, le corps humain présente un maximum de rayonnement à 9.3476 μm dans l’infrarouge, invisible à l’œil nu mais détectable par une caméra infrarouge.

• Les applications du corps noir comprennent :

  • les détecteurs thermiques
  • la thermographie infrarouge
  • les trous noirs

💡 Astuce mémo

Température croissante → pic vers les courtes longueurs d’onde et puissance totale croissante

📖 5. Modèle de Bohr et hydrogénoïdes

🔑 Notions clés & Définitions

• Atome hydrogénoïde : Atome à un électron et Z protons, dont le noyau est supposé fixe dans le modèle sans entraînement.
• Séries spectrales de l’hydrogène : Les séries spectrales de l’hydrogène sont Lyman pour p=1 dans l’ultraviolet, Balmer pour p=2 dans le visible, Paschen pour p=3 dans l’infrarouge, Brackett pour p=4 dans l’infrarouge lointain et Pfund pour p=5 dans l’infrarouge.
• Énergie d’ionisation : L’énergie nécessaire pour amener l’électron à l’infini avec une énergie cinétique nulle, soit $E_I=\frac{Z^2E_1}{n^2}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Sur une orbite stable du modèle de Bohr, le moment cinétique orbital est quantifié selon $L=n\hbar$.

📐 Formule - Lors d’une transition entre deux niveaux d’énergie, l’électron émet ou absorbe un photon d’énergie $\Delta E=|E_2-E_1|=h\nu$.

📐 Formule - L’énergie d’un atome hydrogénoïde est quantifiée selon $E_n=-\frac{Z^2}{n^2}E_1$, avec $E_1=13.58\ \mathrm{eV}$; n=1 est le niveau fondamental et n>1 désigne les niveaux excités.

📐 Formule - Le spectre d’un atome hydrogénoïde vérifie la relation de Rydberg $\frac{1}{\lambda}=R_\infty Z^2\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}\right)$, avec $R_\infty=1.09737\times10^{-3}\ \mathrm{\AA^{-1}}$ pour un noyau infiniment lourd.

💡 Astuce mémo

Orbites stationnaires → énergie quantifiée → émission ou absorption d’un photon

📖 6. Effet photoélectrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet photoélectrique : L’émission d’électrons par un matériau soumis à un rayonnement électromagnétique de longueur d’onde appropriée.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un électron photoémis est arrêté par une contre-tension U0 vérifiant $\frac{1}{2}mv_{\max}^2=eU_0$.

📌 L’effet photoélectrique ne se produit que si la fréquence incidente vérifie $\nu\geq\nu_0$, où $\Phi=h\nu_0$ est le travail d’extraction du métal.

📐 Formule - L’équation d’Einstein de l’effet photoélectrique est $h\nu=\Phi+E_c$, soit $E_c=h(\nu-\nu_0)$.

Compléments

• L’émission photoélectrique apparaît en un délai inférieur à 10−9 s après l’éclairage lorsque la fréquence seuil est dépassée.

• Les détecteurs à effet photoélectrique comprennent :

  • le photomultiplicateur
  • la photodiode
  • le phototransistor

💡 Astuce mémo

Fréquence → énergie cinétique ; intensité → nombre d’électrons

📖 7. Diffusion Compton et dualité

★ À maîtriser

📐 Formule - Lors d’une diffusion Compton, l’énergie du photon diffusé est $E'=\frac{E}{1+\alpha(1-\cos\theta)}$, avec $\alpha=\frac{E}{m_ec^2}$ et $m_ec^2=0.511\ \mathrm{MeV}$.

📐 Formule - Le décalage Compton de la longueur d’onde est $\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\lambda_c(1-\cos\theta)$, avec $\lambda_c=\frac{h}{m_ec}$.

📐 Formule - L’énergie cinétique acquise par l’électron lors de la diffusion Compton est $T_e=E-E'=\frac{E\alpha(1-\cos\theta)}{1+\alpha(1-\cos\theta)}$.

📌 Les interférences et la diffraction manifestent le caractère ondulatoire de la lumière, tandis que les effets photoélectrique et Compton manifestent son caractère corpusculaire et localisé.

Compléments

• Pour un angle de diffusion θ=90°, le déplacement Compton vaut Δλ=0.02424 Å.

💡 Astuce mémo

Photoélectrique : absorption ; Compton : diffusion avec perte d’énergie

📖 8. Hypothèse de De Broglie

📝 Points essentiels

📌 Classiquement, une particule matérielle possède un caractère discret, une position, une trajectoire, une masse et une charge, tandis qu’une onde possède un caractère continu, une amplitude, une surface d’onde et une phase.

📌 Selon l’hypothèse de Louis de Broglie, toute particule d’énergie E et d’impulsion p possède une onde associée vérifiant $E=\hbar\omega$ et $p=\hbar k$.

📐 Formule - La longueur d’onde de De Broglie d’une particule d’impulsion p est $\lambda=\frac{h}{p}$. - Louis de Broglie

📌 La diffraction devient observable lorsque la dimension caractéristique d’un obstacle est comparable à la longueur d’onde incidente tout en lui restant inférieure.

💡 Astuce mémo

Impulsion p → longueur d’onde λ = h/p

📖 9. Diffraction et interférences quantiques

★ À maîtriser

• Les expériences de Davisson et Germer sur le nickel et de G. P. Thomson sur le carbone ont montré en 1927 que les électrons produisent des figures de diffraction analogues à celles des rayons X.

📐 Formule - La diffraction des électrons sur un cristal obéit à la relation de Bragg $2d\sin\theta=n\lambda$, où n est l’ordre de diffraction.

📌 Dans l’expérience des fentes d’Young, deux fentes ouvertes produisent des franges d’interférence pour les photons et les électrons, tandis que l’intensité des balles macroscopiques est la somme des intensités obtenues avec chaque fente seule.

📌 La mesure du chemin emprunté par un électron à la sortie d’une fente perturbe le système et fait disparaître les franges d’interférence.

Compléments

📐 Formule - Des électrons accélérés par une tension Va possèdent une longueur d’onde $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2meV_a}}$.

📌 Les impacts individuels des électrons sont aléatoires, mais leur accumulation reconstitue progressivement une figure d’interférences déterminée statistiquement.

💡 Astuce mémo

Détecter le chemin supprime les franges

📖 10. Critère quantique et action

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de Planck : Max Planck, 1900 - la constante fondamentale de la théorie quantique et vaut environ $h=6{,}626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$.

★ À maîtriser

📌 L’énergie est associée au temps, l’impulsion à la longueur et le moment angulaire à l’angle, ce qui relie leurs conservations respectives aux invariances par translation temporelle, translation spatiale et rotation spatiale.

📌 Le critère quantique impose l’usage de la théorie quantique lorsque l’action caractéristique est de l’ordre de ħ, tandis que la théorie classique suffit lorsque l’action est très supérieure à ħ.

📐 Formule - Les relations d’incertitude données dans le cours sont $\Delta E\Delta t\geq\frac{\hbar}{2}$, $\Delta p\Delta x\geq\frac{\hbar}{2}$ et $\Delta J\Delta\theta\geq\frac{\hbar}{2}$.

Compléments

• Pour un atome froid à une température proche de zéro absolu, l’action caractéristique peut être de l’ordre de ħ, tandis qu’à température ambiante elle vaut environ 10^5 ħ dans l’exemple étudié.

💡 Astuce mémo

Action ≫ ħ : classique ; action ∼ ħ : quantique

📖 11. Équation et fonction d’onde

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : les solutions de l’équation de Schrödinger et décrivent les systèmes physiques en mécanique quantique.
• Densité de probabilité : Max Born - La densité de probabilité de présence d’une particule est le carré du module de la fonction d’onde, soit $\rho=\psi^*\psi$, avec une normalisation telle que $\int\rho\,d\tau=1$ pour une particule.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une particule libre, l’équation de Schrödinger dépendante du temps est $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\mathbf r,t)=i\hbar\frac{\partial\psi(\mathbf r,t)}{\partial t}$.

📐 Formule - Pour une particule dans un potentiel scalaire V(r), l’équation de Schrödinger est $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(r)\right]\psi$.

📌 Les règles de correspondance associent l’énergie à $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ et l’impulsion à $-i\hbar\nabla$.

Compléments

📌 L’équation de Schrödinger est linéaire et homogène : toute combinaison linéaire de deux solutions est encore une solution.

💡 Astuce mémo

Fonction d’onde → densité de probabilité

📖 12. Densité et courant de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de probabilité de présence : La grandeur $|\psi_1|^2$ représente la probabilité de présence d’une particule par unité de volume.

★ À maîtriser

📐 Formule - La densité de particules et la densité de courant vérifient l’équation de conservation $\operatorname{div} J+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$.

📐 Formule - La normalisation d’une fonction d’onde individuelle s’écrit $\int |\psi_1|^2\,d\tau=1$.

Compléments

📐 Formule - La densité de courant de particules associée à la fonction d’onde est $J=\frac{i\hbar}{2m}(\psi\nabla\psi^*-\psi^*\nabla\psi)$.

💡 Astuce mémo

Conservation du nombre de particules → équation de continuité

📖 13. Propriétés des fonctions d’onde

★ À maîtriser

• Une fonction d’onde doit être de carré sommable et peut être normalisée en la multipliant par une constante C telle que $|C|^2\int |\psi|^2d^3r=1$.

• Une fonction d’onde est une amplitude de probabilité de présence et ne représente pas une onde classique.

• Lorsque le potentiel et l’énergie potentielle sont finis, la fonction d’onde et sa dérivée première sont continues, tandis que sa dérivée seconde peut être discontinue au point où le potentiel est discontinu.

Compléments

• Une onde plane $\psi(\mathbf r,t)=Ae^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\mathbf p\cdot\mathbf r)}$ n’est pas normalisable parce que son module A est constant dans tout l’espace.

📌 Multiplier une fonction d’onde par une constante de phase $e^{i\alpha}$, de module égal à l’unité, ne modifie pas sa densité de probabilité.

💡 Astuce mémo

Onde de probabilité ≠ onde classique

📖 14. États stationnaires et spectres

🔑 Notions clés & Définitions

• État stationnaire : Un état d’énergie bien déterminée dont la densité de probabilité est indépendante du temps.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La fonction d’onde temporelle d’un état stationnaire d’énergie $E_n$ est $\psi_n(\mathbf r,t)=\psi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar}$.

📐 Formule - Les fonctions spatiales des états stationnaires satisfont l’équation indépendante du temps $H\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)$.

📌 Si le potentiel tend vers zéro à l’infini, les états liés correspondent à $E<0$, possèdent un spectre discret et ont une fonction d’onde qui s’annule à l’infini.

📌 Pour $E>0$, les états non liés ou de diffusion possèdent un spectre continu et des fonctions d’onde qui oscillent indéfiniment sans s’annuler à l’infini.

💡 Astuce mémo

État lié : E < 0 et localisation ; état diffusif : E > 0 et extension

📖 15. Barrières de potentiel et effet tunnel

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une marche de potentiel avec $E>V_0$, les coefficients de réflexion et de transmission sont $R=\left(\frac{p-q'}{p+q'}\right)^2$ et $T=\frac{4pq'}{(p+q')^2}$, avec $R+T=1$.

📌 Pour une marche de potentiel avec $0<E<V_0$, la région située au-delà de la marche est classiquement interdite, mais la fonction d’onde quantique y pénètre avec une décroissance exponentielle.

📐 Formule - Pour une barrière épaisse, le coefficient de transmission est approximativement $T=\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-2qa/\hbar}$, où $q=\sqrt{2m(V_0-E)}$.

Compléments

📐 Formule - Dans l’approximation WKB, la transmission à travers une barrière quelconque vérifie $T_{WKB}\simeq\exp\left[-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m(V(x)-E)}\,dx\right]$.

• L’effet Josephson permet le passage d’un courant à travers une barrière isolante séparant deux supraconducteurs, et la fréquence du courant alternatif vérifie $\omega=\frac{qV_0}{\hbar}$ avec $q=2e$. - Brian David Josephson, 1962

• Le microscope à effet tunnel utilise un courant tunnel $I=I_0e^{-\alpha d}$ entre une pointe et une surface conductrice séparées d’environ 1 nm, avec une résolution spatiale de 0,01 nm. - Gerd Binning et Heinrich Rohrer, 1982

• La radioactivité alpha de noyaux lourds comme l’uranium 238 peut être interprétée comme une traversée par effet tunnel d’une barrière de potentiel, et George Gamow en a estimé la probabilité en 1928.

💡 Astuce mémo

Barrière classiquement infranchissable → transmission quantique non nulle

📖 16. Microscope à force atomique et radioactivité alpha

🔑 Notions clés & Définitions

• Microscope à force atomique : Mesure la force exercée par les atomes d’une surface sur une pointe d’exploration afin d’analyser les variations de la surface.

★ À maîtriser

📌 Le microscope à force atomique permet d’étudier des surfaces non conductrices, contrairement au microscope à effet tunnel.

• Lors d’une désintégration alpha, un noyau lourd émet spontanément une particule alpha formée de deux protons et de deux neutrons.

• Pour l’uranium 238, la probabilité de traversée tunnel de la barrière coulombienne conduit à une durée de vie de l’ordre de $10^{10}$ années.

Compléments

• Le microscope à force atomique a été construit en 1985 par Gerd Binning et Heinrich Rohrer.

• George Gamow a estimé en 1928 la probabilité de traversée tunnel lors de la radioactivité alpha et en a déduit la durée de vie du noyau radioactif.

💡 Astuce mémo

Le STM mesure un courant, l’AFM mesure une force

📖 17. Puits plat fini et états liés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puits plat fini : Potentiel symétrique défini par $V(x)=-V_0$ pour $|x|\leq a$ et $V(x)=0$ pour $|x|>a$.

📝 Points essentiels

📌 Les états liés du puits plat fini vérifient $-V_0<E<0$, tandis que les états de diffusion vérifient $E>0$.

📌 La symétrie du potentiel impose que les fonctions propres soient soit paires, avec $\Phi(x)=\Phi(-x)$, soit impaires, avec $\Phi(x)=-\Phi(-x)$.

📐 Formule - Les énergies des états liés sont déterminées par les équations transcendantes $\tan\left(\frac{a\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}\right)=\sqrt{\frac{E}{V_0+E}}$ pour les états pairs et $\tan\left(\frac{a\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}\right)=-\sqrt{\frac{V_0+E}{E}}$ pour les états impairs.

📌 Le spectre d’énergie des états liés d’un puits plat fini est discret et constitué d’un nombre fini de valeurs permises.

• Dans un puits fini, la fonction d’onde ne s’annule pas à l’extérieur et présente une queue exponentielle, ce qui donne une probabilité non nulle de trouver le quanton dans la région classiquement interdite.

💡 Astuce mémo

Une onde qui dépasse les parois du puits par une queue exponentielle

📖 18. Puits infini et états de diffusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Structure à puits quantique : Couche mince d’un matériau A à faible bande interdite insérée entre deux couches épaisses d’un matériau B à large bande interdite.
• Puits double de l’ammoniac : Le modèle de l’ammoniac représente deux positions d’équilibre symétriques en x = ±b, séparées par une barrière de potentiel maximale en x = 0.
• Puits sphérique : Le puits sphérique modélise un système radial comportant une région interne oscillante et une région externe où la fonction d’onde décroît exponentiellement pour les énergies négatives.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans la limite du puits infiniment profond, les niveaux d’énergie sont $E_n=\frac{\hbar^2\pi^2}{8ma^2}(n+1)^2-V_0$ pour $n\geq0$.

📐 Formule - Pour les états de diffusion, les coefficients de réflexion et de transmission vérifient $R=\frac{\left(\frac{q^2-p^2}{2pq}\right)^2\sin^2\left(\frac{2aq}{\hbar}\right)}{1+\left(\frac{q^2-p^2}{2pq}\right)^2\sin^2\left(\frac{2aq}{\hbar}\right)}$ et $T=\frac{1}{1+\left(\frac{q^2-p^2}{2pq}\right)^2\sin^2\left(\frac{2aq}{\hbar}\right)}.$

📌 La conservation du courant de probabilité impose $R+T=1$, soit $|A_3|^2+|B_1|^2=|A_1|^2$.

📌 La transparence correspond à une réflexion nulle lorsque $2aq_n/\hbar=(n+1)\pi$, tandis que la résonance correspond à un maximum de réflexion proche de $2aq_n/\hbar=(n+1/2)\pi$.

• Dans l’arséniure de gallium, la longueur d’onde de de Broglie des porteurs est de l’ordre de 300 Å, de sorte que l’épaisseur du puits doit être inférieure ou égale à cette valeur pour manifester la quantification.

• En ajustant la différence de bande interdite et l’épaisseur du puits, on modifie les niveaux d’énergie des porteurs et donc le domaine spectral de transparence ou d’émission optique.

• Dans une structure à puits quantique, le mouvement des porteurs est quantifié perpendiculairement aux couches et libre dans les deux directions parallèles, ce qui forme un gaz bidimensionnel.

• 🔄 La coloration résulte d’une succession d’événements :

  1. Un photon éjecte un anion
  2. La lacune piège un électron
  3. L’électron piégé absorbe la lumière lors d’une transition entre ses états
  4. Le cristal devient coloré

📐 Formule - La valeur moyenne d’une grandeur physique A est donnée par $\langle A\rangle=\int\psi^*(x)A\psi(x)\,dx$ ou, en trois dimensions, par $\langle A\rangle=\int\psi^*(\mathbf r)A\psi(\mathbf r)\,d^3r$.

📐 Formule - La fonction d’onde en représentation impulsion est la transformée de Fourier de la fonction d’onde spatiale, avec $\phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\psi(x)e^{-ipx/\hbar}\,dx.$

📌 Dans un potentiel discontinu, la fonction d’onde et sa dérivée restent continues à l’intérieur de l’intervalle ]−a, a[ lorsque la densité de probabilité est continue.

• Pour déterminer les niveaux d’énergie du puits double, on écrit les fonctions d’onde dans les régions gauche, centrale et droite, puis on impose leur continuité ainsi que celle de leurs dérivées aux interfaces.

📐 Formule - Dans la région externe du puits sphérique, la solution physique est $\psi_{II}(r)=\frac{C}{r}e^{-kr}$.

💡 Astuce mémo

Puits infini : confinement strict ; puits fini : pénétration et diffusion

📊 Tableaux de synthèse

Principales séries de l’hydrogène

États liés et états de diffusion