Fiche de révision : Maîtrise du théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire de l’hypoténuse
2. Énoncé du théorème de Pythagore
3. Calcul d’une longueur
4. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
5. Réciproque du théorème de Pythagore

📖 1. Vocabulaire de l’hypoténuse

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle.
• Triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
• Si le triangle ABC est rectangle en A alors le côté [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

💡 Astuce mémo

Angle droit en face d’hypoténuse : l’hypoténuse est toujours opposée à l’angle à 90°.

📖 2. Énoncé du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Le théorème de Pythagore relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle via l’égalité des carrés.
• Carré d’une longueur : Le carré d’une longueur est le produit de cette longueur par elle-même.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
• Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC² = AB² + AC².
• Le théorème sert à calculer la longueur d’un côté connaissant les deux autres côtés d’un triangle rectangle.

💡 Astuce mémo

Pythagore : carré de l’hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés.

📖 3. Calcul d’une longueur

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrondi à 0,1 cm : Arrondir à 0,1 cm consiste à donner une valeur décimale au dixième de centimètre.
• Longueur AB : AB désigne la longueur d’un côté du triangle, utilisée comme inconnue dans un calcul Pythagore.

📝 Points essentiels

• Pour calculer AB, on part de BC² = AB² + AC² puis on isole AB².
• Si AC = 8 cm et BC = 20 cm, alors AB² = 20² − 8² = 336.
• On obtient AB ≈ 18,3 cm lorsque la valeur est arrondie à 0,1 cm près.

💡 Astuce mémo

Isoler AB² : AB² = BC² − AC², puis prendre une racine (valeur approchée).

📖 4. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Plus grand côté : Le plus grand côté d’un triangle est celui dont la longueur est supérieure aux deux autres.

📝 Points essentiels

• Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
• Dans le triangle ABC avec AB = 2, AC = 3 et BC = 4, on compare 4² et 2² + 3².
• Ici, BC² = 16 et AB² + AC² = 13, donc BC² ≠ AB² + AC² et le triangle ABC n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Test de non-rectangle : si (plus grand côté)² ≠ somme des deux autres côtés², stop, pas rectangle.

📖 5. Réciproque du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : La réciproque affirme qu’une égalité de type Pythagore suffit à conclure que le triangle est rectangle.
• Angle opposé au plus grand côté : Dans un triangle, l’angle opposé au plus grand côté est l’angle situé en face de ce côté.

📝 Points essentiels

• Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
• L’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté dans le cas de la réciproque.
• Pour MNP avec MN = 3,3, NP = 6,5 et PM = 5,6, on a NP² = MN² + MP², donc le triangle MNP est rectangle en M.

💡 Astuce mémo

Égalité carrés = rectangle : si (plus grand)² = somme des deux autres², l’angle droit est en face du plus grand côté.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’hypoténuse : dans un triangle rectangle, seul le côté opposé à l’angle droit peut jouer ce rôle.
2. Appliquer le théorème de Pythagore à un triangle qui n’est pas rectangle : l’égalité BC² = AB² + AC² n’est alors pas garantie.
3. Inverser les côtés : dans les calculs, il faut savoir quel côté est l’hypoténuse (opposé à l’angle droit) pour écrire la bonne formule.
4. Oublier le sens de la réciproque : l’égalité des carrés permet de conclure que le triangle est rectangle.
5. Se tromper dans l’ordre du plus grand côté : pour la démonstration “angle droit opposé au plus grand côté”, c’est le côté le plus long qui détermine l’angle.

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’hypoténuse comme le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle.
2. Écrire correctement BC² = AB² + AC² lorsque le triangle ABC est rectangle en A.
3. Vérifier quand le théorème de Pythagore s’applique : uniquement aux triangles rectangles.
4. Calculer l’inconnue quand on connaît deux côtés d’un triangle rectangle en isolant le carré de la longueur demandée.
5. Effectuer un calcul numérique avec carrés puis prendre la valeur approchée (ex. obtenir AB ≈ 18,3 cm puis arrondir à 0,1 cm).
6. Déterminer qu’un triangle n’est pas rectangle en testant si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
7. Conclure sur un triangle donné (AB = 2, AC = 3, BC = 4) en comparant 4² et 2² + 3².
8. Utiliser la réciproque : si (plus grand côté)² = somme des deux autres côtés² alors le triangle est rectangle.
9. Déterminer l’emplacement de l’angle droit via l’angle opposé au plus grand côté dans le cas de la réciproque.
10. Démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de valeurs numériques (comme MNP avec MN = 3,3, NP = 6,5, PM = 5,6).