Fiche de révision : Mathématiques Bac blanc série D

📋 Plan du Cours

1. Logarithmes et dérivation
2. Équations et probabilités discrètes
3. Nombres complexes et géométrie
4. Probabilités conditionnelles et binomiale
5. Étude complète d’une fonction
6. Optimisation d’un rendement agricole

📖 1. Logarithmes et dérivation

★ À maîtriser

📌 La fonction logarithme népérien est définie uniquement pour un argument strictement positif et elle est strictement croissante sur son domaine.

📌 L’annulation de la dérivée en un point et son changement de signe caractérisent un extremum local, mais ne suffisent pas à établir un point d’inflexion.

📐 Formule - Le système $5\ln(x)+2\ln(y)=8$ et $4\ln(x)-3\ln(y)=11$ a pour solution $(x,y)=(e^2,e^{-1})$ avec $x>0$ et $y>0$.

Compléments

📐 Formule - Pour $0<x<2$, on a $(2-x)^x=e^{x\ln(2-x)}$, donc les deux fonctions sont égales sur cet intervalle.

💡 Astuce mémo

Logarithme : domaine positif ; dérivée nulle : extremum éventuel, pas automatiquement inflexion

📖 2. Équations et probabilités discrètes

📝 Points essentiels

📌 Pour comparer des logarithmes par croissance, il faut d’abord imposer la positivité de leurs arguments, puis comparer directement les arguments.

📐 Formule - Une primitive sur $\left(\frac35,+\infty\right)$ de $f(x)=\frac{5}{5x-3}\times\frac{1}{\ln(10)}$ est $F(x)=\log(5x-3)$.

📌 Si une bijection dérivable vérifie $f(2)=\frac12$ et $f'(2)=0$, alors sa réciproque n’est pas dérivable en $\frac12$.

📐 Formule - Si $X\sim\mathcal B(12,\frac14)$, son écart-type vaut $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=1{,}5$.

💡 Astuce mémo

Domaine → inégalité → primitive → inverse → binomiale

📖 3. Nombres complexes et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle complexe : Lieu des points M d’affixe z vérifiant $|z+\sqrt3-i|=3$, de centre d’affixe $-\sqrt3+i$ et de rayon 3.

★ À maîtriser

• Pour résoudre l’équation complexe $z^2+(\sqrt3-3i)z-2-2i\sqrt3=0$, on factorise le polynôme à l’aide de la racine complexe identifiée, puis on détermine ses deux solutions.

📐 Formule - Pour le point d’affixe $z_C=-\sqrt3+i$, le module vaut $|z_C|=2$ et un argument principal est $\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{5\pi}{6}$.

Compléments

📐 Formule - On a $\left(\sqrt3+i\right)^2=2+2i\sqrt3$.

💡 Astuce mémo

Le complexe z place un point, son module donne la distance et son argument la direction

📖 4. Probabilités conditionnelles et binomiale

📝 Points essentiels

• La probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier et admis vaut $P(D\cap A)=0{,}10\times0{,}60=0{,}06$.

📐 Formule - La probabilité d’admission est $P(A)=0{,}10\times0{,}60+0{,}90\times0{,}20=0{,}24$.

📐 Formule - Parmi les candidats admis, la probabilité que le dossier n’ait pas été sélectionné vaut $P(\overline D\mid A)=\frac{0{,}90\times0{,}20}{0{,}24}=0{,}75$.

📐 Formule - Pour n candidats indépendants, le nombre X de candidats admis suit la loi binomiale $X\sim\mathcal B(n,0{,}24)$.

📐 Formule - La probabilité qu’au moins un candidat soit admis est $p_n=P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(0{,}76)^n$.

💡 Astuce mémo

Sélection → épreuve → admission, puis répétition indépendante → loi binomiale

📖 5. Étude complète d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine de g : La fonction $g(x)=e^x+2\ln(x)$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, tend vers $-\infty$ en 0 et vers $+\infty$ en $+\infty$; elle admet donc une unique racine $\alpha$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $x>0$, la fonction $f(x)=e^x+2x\ln(x)-2x$ vérifie $f'(x)=e^x+2\ln(x)=g(x)$.

• Comme g est négative sur $]0,\alpha[$ et positive sur $]\alpha,+\infty[$, f est décroissante sur $]0,\alpha[$ puis croissante sur $]\alpha,+\infty[$.

Compléments

• La racine unique de g vérifie $0{,}4<\alpha<0{,}5$.

• La fonction f est définie par $f(0)=1$ et sa courbe coupe l’axe des abscisses aux abscisses 0,3 et 0,6.

💡 Astuce mémo

Limites → continuité → dérivée → variations → courbe

📖 6. Optimisation d’un rendement agricole

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le rendement modélisé par $f(x)=x^2e^{-x}$ est défini pour $x\ge0$, où x est la quantité d’engrais en tonnes par hectare.

📐 Formule - Pour $x\ge0$, la dérivée du rendement est $f'(x)=x e^{-x}(2-x)$.

📌 Le rendement augmente sur $[0{,}2]$ puis diminue sur $[2,+\infty[$, car la dérivée est positive avant 2 et négative après 2.

📐 Formule - Le rendement maximal est atteint pour une quantité d’engrais de $x=2$ tonnes par hectare et vaut $f(2)=4e^{-2}$ tonnes par hectare.

💡 Astuce mémo

Engrais croissant jusqu’à l’optimum → rendement maximal → excès d’engrais → baisse

📊 Tableaux de synthèse

Sélection et admission