QCM : Mathématiques Bac blanc série D (21 questions)

Question 1

1. Quelle condition doit vérifier l’argument d’un logarithme népérien, et comment la fonction varie-t-elle sur son domaine ?

L’argument doit être non nul et la fonction est constante par morceaux

L’argument doit être strictement positif et la fonction est strictement décroissante

L’argument doit être strictement positif et la fonction est strictement croissante

L’argument peut être négatif et la fonction est strictement croissante

Explication

Le logarithme népérien est défini pour les arguments strictement positifs et croît sur cet intervalle. La décroissance concerne une fonction logarithmique dont la base est comprise entre 0 et 1, et non le logarithme népérien.

Answer

L’argument doit être strictement positif et la fonction est strictement croissante

Question 2

2. Pourquoi l’annulation de la dérivée en un point ne suffit-elle pas à conclure à l’existence d’un point d’inflexion ?

Parce qu’un point d’inflexion nécessite que la dérivée soit strictement positive

Parce qu’un point d’inflexion nécessite un changement de convexité

Parce qu’un point d’inflexion nécessite que la fonction soit définie pour des arguments positifs

Parce qu’un point d’inflexion nécessite que la fonction soit logarithmique

Explication

Un point d’inflexion est caractérisé par un changement de convexité, tandis que l’annulation et le changement de signe de la dérivée caractérisent un extremum local. Confondre ces deux notions revient à attribuer à la dérivée un critère qui concerne la convexité.

Answer

Parce qu’un point d’inflexion nécessite un changement de convexité

Question 3

3. Quelle est la solution du système $5\ln(x)+2\ln(y)=8$ et $4\ln(x)-3\ln(y)=11$ avec $x>0$ et $y>0$ ?

(x,y)=(e^{-1},e^2)

(x,y)=(e,e^{-2})

(x,y)=(e^4,e^{-2})

(x,y)=(e^2,e^{-1})

Explication

En posant $a=\ln(x)$ et $b=\ln(y)$ , le système donne $a=2$ et $b=-1$ , d’où $x=e^2$ et $y=e^{-1}$ . L’échange des exposants ne respecte pas les deux équations initiales.

Answer

$$(x,y)=(e^2,e^{-1})$$

Question 4

4. Pour comparer $\ln(a)$ et $\ln(b)$ par croissance, quelle démarche est nécessaire ?

Vérifier que

a

et

b

sont positifs, puis comparer

a

et

b

Vérifier que

a

et

b

sont non nuls, puis comparer leurs logarithmes

Comparer

a

et

b

sans vérifier leur signe, puis appliquer le logarithme

Étudier le signe de la dérivée de chaque argument avant toute comparaison

Explication

Les arguments d’un logarithme népérien doivent être strictement positifs, puis la croissance de la fonction permet de conserver l’ordre des arguments. La simple non-nullité ne suffit pas, car un argument négatif n’appartient pas au domaine réel du logarithme.

Answer

Vérifier que $$a$$ et $$b$$ sont positifs, puis comparer $$a$$ et $$b$$

Question 5

5. Quelle primitive de $f(x)=\frac{5}{5x-3}\times\frac{1}{\ln(10)}$ est définie sur $\left(\frac35,+\infty\right)$ ?

F(x)=5\log(5x-3)

F(x)=\frac{1}{5}\log(5x-3)

F(x)=\log(5x-3)

F(x)=\ln(5x-3)

Explication

La dérivée de $\log(5x-3)$ vaut $\frac{5}{(5x-3)\ln(10)}$ , ce qui correspond à la fonction donnée. Le logarithme népérien demanderait un facteur adapté lié à $\ln(10)$ .

Answer

$$F(x)=\log(5x-3)$$

Question 6

6. Si une bijection dérivable vérifie $f(2)=\frac12$ et $f'(2)=0$ , que peut-on conclure pour sa réciproque ?

Elle n’est pas dérivable en

\frac12

Elle n’est pas définie en

\frac12

Elle est dérivable en

2

avec une dérivée infinie

Elle est dérivable en

\frac12

avec une dérivée nulle

Explication

Le point $f(2)=\frac12$ correspond à l’étude de la réciproque en $\frac12$ , et la dérivée nulle de $f$ en $2$ empêche la réciproque d’y être dérivable. La bijectivité garantit l’existence de la réciproque, mais pas sa dérivabilité en ce point.

Answer

Elle n’est pas dérivable en $$\frac12$$

Question 7

7. Quel est l’écart-type d’une variable aléatoire $X\sim\mathcal B\left(12,\frac14\right)$ ?

\sqrt{12}

2,25

1,5

3

Explication

Pour une loi binomiale, l’écart-type vaut $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ , donc ici $\sigma=\sqrt{12\times\frac14\times\frac34}=1,5$ . La valeur $2,25$ correspond à la variance, et non à l’écart-type.

Answer

Factoriser le polynôme à partir d’une racine complexe identifiée, puis déterminer les deux solutions

Answer

$$|z_C|=2$$ et $$\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{5\pi}{6}$$

Answer

Le cercle de centre d’affixe $$-\sqrt3+i$$ et de rayon 3

Answer

$$X\sim\mathcal B(n,0,24)$$

Answer

Elle est strictement croissante et ses limites aux bornes sont opposées.

Answer

$$f'(x)=e^x+2\ln(x)$$

Answer

$$f$$ décroît sur $$]0,\alpha[$$, puis croît sur $$]\alpha,+\infty[$$.

Answer

La quantité d’engrais en tonnes par hectare

Answer

$$f'(x)=xe^{-x}(2-x)$$

Answer

Il augmente sur $$[0,2]$$ puis diminue sur $$[2,+\infty[$$.

Answer

$$x=2$$ tonnes par hectare, avec $$f(2)=4e^{-2}$$ tonnes par hectare

Question 8

8. Quelle méthode permet de résoudre l’équation complexe $z^2+(\sqrt3-3i)z-2-2i\sqrt3=0$ ?

Factoriser le polynôme à partir d’une racine complexe identifiée, puis déterminer les deux solutions

Élever chaque coefficient au carré afin de supprimer les parties imaginaires

Résoudre séparément les parties réelle et imaginaire comme deux équations linéaires

Prendre le logarithme complexe de chaque terme avant de réduire l’équation

Explication

Cette équation du second degré se traite en factorisant le polynôme à partir d’une racine complexe connue, puis en trouvant l’autre racine. La séparation directe en deux équations linéaires ne respecte pas la structure quadratique de l’équation.

Question 9

9. Quels sont le module et un argument principal du nombre complexe $z_C=-\sqrt3+i$ ?

|z_C|=2

et

\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{\pi}{6}

|z_C|=2

et

\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{5\pi}{6}

|z_C|=\sqrt2

et

\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{\pi}{6}

|z_C|=\sqrt3+1

et

\operatorname{Arg}(z_C)=\frac{2\pi}{3}

Explication

Le module vaut $\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2$ , et le point est dans le deuxième quadrant avec un angle principal de $\frac{5\pi}{6}$ . L’angle $\frac{\pi}{6}$ correspondrait à un point situé dans le premier quadrant.

Question 10

10. Quel est le lieu géométrique des points M d’affixe z vérifiant $|z+\sqrt3-i|=3$ ?

La droite passant par l’affixe

-\sqrt3+i

à distance 3 de l’origine

Le cercle de centre d’affixe

\sqrt3-i

et de rayon 3

Le cercle de centre d’affixe

-\sqrt3+i

et de rayon 3

Le cercle de centre d’affixe

-\sqrt3+i

et de rayon

\sqrt3

Explication

On réécrit $|z+\sqrt3-i|$ sous la forme $|z-(-\sqrt3+i)|$ , qui représente la distance entre M et le point d’affixe $-\sqrt3+i$ . La valeur constante 3 est donc le rayon du cercle, et non une distance définissant une droite.

Question 11

11. Quelle est la probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier et admis ?

0,20

0,10

0,60

0,06

Explication

La probabilité conjointe se calcule par $P(D\cap A)=P(D)P(A\mid D)=0,10\times0,60=0,06$ . La valeur $0,60$ correspond à la probabilité conditionnelle d’admission parmi les candidats sélectionnés.

Question 12

12. Quelle est la probabilité qu’un candidat pris au hasard soit admis, qu’il ait été sélectionné sur dossier ou non ?

0,20

0,60

0,24

0,30

Explication

La formule des probabilités totales donne $P(A)=0,10\times0,60+0,90\times0,20=0,24$ . La valeur $0,20$ décrit seulement l’admission lorsque le dossier n’a pas été sélectionné.

Question 13

13. Sachant qu’un candidat est admis, quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?

0,75

0,76

0,20

0,25

Explication

Par définition de la probabilité conditionnelle, $P(\overline D\mid A)=\frac{0,90\times0,20}{0,24}=0,75$ . La valeur $0,25$ représenterait la probabilité complémentaire, c’est-à-dire que le dossier a été sélectionné parmi les admis.

Question 14

14. Pour $n$ candidats indépendants, quelle loi décrit le nombre $X$ de candidats admis lorsque la probabilité individuelle d’admission vaut $0,24$ ?

X\sim\mathcal B(0,24,n)

X\sim\mathcal B(n,0,76)

X\sim\mathcal N(n,0,24)

X\sim\mathcal B(n,0,24)

Explication

Le nombre d’admis compte des succès indépendants parmi $n$ candidats, avec une probabilité de succès égale à $0,24$ , donc $X\sim\mathcal B(n,0,24)$ . La valeur $0,76$ est la probabilité de ne pas être admis et ne constitue pas le paramètre de succès.

Question 15

15. Pourquoi la fonction $g(x)=e^x+2\ln(x)$ possède-t-elle une unique racine sur $]0,+\infty[$ ?

Elle est strictement croissante et ses limites aux bornes sont opposées.

Elle est constante sur l’intervalle et s’annule en un seul point.

Elle est positive puis négative, avec une limite finie en chaque borne.

Elle est strictement décroissante et ses limites aux bornes sont opposées.

Explication

Les limites de $g$ sont $-\infty$ en $0$ et $+\infty$ en $+\infty$ , ce qui assure l’existence d’une racine, tandis que sa stricte croissance assure son unicité. Une stricte décroissance ne décrit pas le comportement établi de cette fonction.

Question 16

16. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de $f(x)=e^x+2x\ln(x)-2x$ ?

f'(x)=e^x+2x\ln(x)

f'(x)=e^x+2x\ln(x)-2x

f'(x)=e^x+2\ln(x)-2

f'(x)=e^x+2\ln(x)

Explication

En dérivant $2x\ln(x)-2x$ , on obtient $2\ln(x)$ , d’où $f'(x)=e^x+2\ln(x)=g(x)$ . L’expression complète de $f$ n’est pas sa dérivée, car elle contient encore les termes non dérivés.

Question 17

17. Quel est le tableau de variations de $f$ lorsque $g$ s’annule en $\alpha$ et change de signe en ce point ?

f

croît sur

]0,\alpha[

, puis décroît sur

]\alpha,+\infty[

.

f

décroît sur les deux intervalles séparés par

\alpha

.

f

croît sur les deux intervalles séparés par

\alpha

.

f

décroît sur

]0,\alpha[

, puis croît sur

]\alpha,+\infty[

.

Explication

Comme $f'(x)=g(x)$ , le signe négatif de $g$ avant $\alpha$ entraîne une décroissance de $f$ , puis son signe positif entraîne une croissance. La variation de $f$ suit donc directement le signe de sa dérivée.

Question 18

18. Dans le modèle $f(x)=x^2e^{-x}$ , que représente la variable $x$ ?

La production obtenue en tonnes par hectare

La variation du rendement par tonne d’engrais

La quantité d’engrais en tonnes par hectare

La probabilité d’obtenir le rendement maximal

Explication

La variable $x\ge0$ désigne la quantité d’engrais utilisée, exprimée en tonnes par hectare. La production correspond à la valeur $f(x)$ , qui est une grandeur différente de la quantité d’engrais.

Question 19

19. Quelle expression donne la dérivée de $f(x)=x^2e^{-x}$ pour $x\ge0$ ?

f'(x)=x^2e^{-x}(2-x)

f'(x)=2xe^{-x}

f'(x)=xe^{-x}(2-x)

f'(x)=xe^{-x}(x-2)

Explication

La dérivation du produit $x^2e^{-x}$ conduit à $f'(x)=xe^{-x}(2-x)$ . Le facteur déterminant pour le changement de signe est donc $2-x$ , et non $x-2$ .

Question 20

20. Sur quels intervalles le rendement $f(x)=x^2e^{-x}$ augmente-t-il puis diminue-t-il ?

Il diminue sur

[0,2]

puis augmente sur

[2,+\infty[

.

Il augmente sur

[0,+\infty[

sans changement de variation.

Il augmente sur

[0,2]

puis diminue sur

[2,+\infty[

.

Il diminue sur

[0,+\infty[

sans changement de variation.

Explication

Pour $x>0$ , le facteur $xe^{-x}$ est positif et le signe de la dérivée est celui de $2-x$ . Ainsi, $f'(x)$ est positif avant 2 et négatif après 2, ce qui donne une croissance puis une décroissance.

Question 21

21. Quelle quantité d’engrais maximise le rendement, et quelle est alors sa valeur ?

x=4e^{-2}

tonnes par hectare, avec

f(2)=2

tonnes par hectare

x=2

tonnes par hectare, avec

f(2)=2e^{-2}

tonnes par hectare

x=0

tonne par hectare, avec

f(0)=4e^{-2}

tonnes par hectare

x=2

tonnes par hectare, avec

f(2)=4e^{-2}

tonnes par hectare

Explication

Le rendement atteint son maximum au point où la fonction passe de la croissance à la décroissance, soit pour $x=2$ , et $f(2)=2^2e^{-2}=4e^{-2}$ . La quantité d’engrais optimale ne doit pas être confondue avec la valeur du rendement obtenu.

QCM : Mathématiques Bac blanc série D (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit vérifier l’argument d’un logarithme népérien, et comment la fonction varie-t-elle sur son domaine ?

2. Pourquoi l’annulation de la dérivée en un point ne suffit-elle pas à conclure à l’existence d’un point d’inflexion ?

3. Quelle est la solution du système $5\ln(x)+2\ln(y)=8$ et $4\ln(x)-3\ln(y)=11$ avec $x>0$ et $y>0$ ?

4. Pour comparer $\ln(a)$ et $\ln(b)$ par croissance, quelle démarche est nécessaire ?

5. Quelle primitive de $f(x)=\frac{5}{5x-3}\times\frac{1}{\ln(10)}$ est définie sur $\left(\frac35,+\infty\right)$ ?

6. Si une bijection dérivable vérifie $f(2)=\frac12$ et $f'(2)=0$ , que peut-on conclure pour sa réciproque ?

7. Quel est l’écart-type d’une variable aléatoire $X\sim\mathcal B\left(12,\frac14\right)$ ?

8. Quelle méthode permet de résoudre l’équation complexe $z^2+(\sqrt3-3i)z-2-2i\sqrt3=0$ ?

9. Quels sont le module et un argument principal du nombre complexe $z_C=-\sqrt3+i$ ?

10. Quel est le lieu géométrique des points M d’affixe z vérifiant $|z+\sqrt3-i|=3$ ?

11. Quelle est la probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier et admis ?

12. Quelle est la probabilité qu’un candidat pris au hasard soit admis, qu’il ait été sélectionné sur dossier ou non ?

13. Sachant qu’un candidat est admis, quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?

14. Pour $n$ candidats indépendants, quelle loi décrit le nombre $X$ de candidats admis lorsque la probabilité individuelle d’admission vaut $0,24$ ?

15. Pourquoi la fonction $g(x)=e^x+2\ln(x)$ possède-t-elle une unique racine sur $]0,+\infty[$ ?

16. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de $f(x)=e^x+2x\ln(x)-2x$ ?

17. Quel est le tableau de variations de $f$ lorsque $g$ s’annule en $\alpha$ et change de signe en ce point ?

18. Dans le modèle $f(x)=x^2e^{-x}$ , que représente la variable $x$ ?

19. Quelle expression donne la dérivée de $f(x)=x^2e^{-x}$ pour $x\ge0$ ?

20. Sur quels intervalles le rendement $f(x)=x^2e^{-x}$ augmente-t-il puis diminue-t-il ?

21. Quelle quantité d’engrais maximise le rendement, et quelle est alors sa valeur ?

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QCM : Mathématiques Bac blanc série D (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit vérifier l’argument d’un logarithme népérien, et comment la fonction varie-t-elle sur son domaine ?

2. Pourquoi l’annulation de la dérivée en un point ne suffit-elle pas à conclure à l’existence d’un point d’inflexion ?

3. Quelle est la solution du système 5ln⁡(x)+2ln⁡(y)=85\ln(x)+2\ln(y)=85ln(x)+2ln(y)=8 et 4ln⁡(x)−3ln⁡(y)=114\ln(x)-3\ln(y)=114ln(x)−3ln(y)=11 avec x>0x>0x>0 et y>0y>0y>0 ?

4. Pour comparer ln⁡(a)\ln(a)ln(a) et ln⁡(b)\ln(b)ln(b) par croissance, quelle démarche est nécessaire ?

5. Quelle primitive de f(x)=55x−3×1ln⁡(10)f(x)=\frac{5}{5x-3}\times\frac{1}{\ln(10)}f(x)=5x−35​×ln(10)1​ est définie sur (35,+∞)\left(\frac35,+\infty\right)(53​,+∞) ?

6. Si une bijection dérivable vérifie f(2)=12f(2)=\frac12f(2)=21​ et f′(2)=0f'(2)=0f′(2)=0, que peut-on conclure pour sa réciproque ?

7. Quel est l’écart-type d’une variable aléatoire X∼B(12,14)X\sim\mathcal B\left(12,\frac14\right)X∼B(12,41​) ?

8. Quelle méthode permet de résoudre l’équation complexe z2+(3−3i)z−2−2i3=0z^2+(\sqrt3-3i)z-2-2i\sqrt3=0z2+(3​−3i)z−2−2i3​=0 ?

9. Quels sont le module et un argument principal du nombre complexe zC=−3+iz_C=-\sqrt3+izC​=−3​+i ?

10. Quel est le lieu géométrique des points M d’affixe z vérifiant ∣z+3−i∣=3|z+\sqrt3-i|=3∣z+3​−i∣=3 ?

11. Quelle est la probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier et admis ?

12. Quelle est la probabilité qu’un candidat pris au hasard soit admis, qu’il ait été sélectionné sur dossier ou non ?

13. Sachant qu’un candidat est admis, quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?

14. Pour nnn candidats indépendants, quelle loi décrit le nombre XXX de candidats admis lorsque la probabilité individuelle d’admission vaut 0,240,240,24 ?

15. Pourquoi la fonction g(x)=ex+2ln⁡(x)g(x)=e^x+2\ln(x)g(x)=ex+2ln(x) possède-t-elle une unique racine sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+∞[ ?

16. Pour x>0x>0x>0, quelle est la dérivée de f(x)=ex+2xln⁡(x)−2xf(x)=e^x+2x\ln(x)-2xf(x)=ex+2xln(x)−2x ?

17. Quel est le tableau de variations de fff lorsque ggg s’annule en α\alphaα et change de signe en ce point ?

18. Dans le modèle f(x)=x2e−xf(x)=x^2e^{-x}f(x)=x2e−x, que représente la variable xxx ?

19. Quelle expression donne la dérivée de f(x)=x2e−xf(x)=x^2e^{-x}f(x)=x2e−x pour x≥0x\ge0x≥0 ?

20. Sur quels intervalles le rendement f(x)=x2e−xf(x)=x^2e^{-x}f(x)=x2e−x augmente-t-il puis diminue-t-il ?

21. Quelle quantité d’engrais maximise le rendement, et quelle est alors sa valeur ?

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3. Quelle est la solution du système $5\ln(x)+2\ln(y)=8$ et $4\ln(x)-3\ln(y)=11$ avec $x>0$ et $y>0$ ?

4. Pour comparer $\ln(a)$ et $\ln(b)$ par croissance, quelle démarche est nécessaire ?

5. Quelle primitive de $f(x)=\frac{5}{5x-3}\times\frac{1}{\ln(10)}$ est définie sur $\left(\frac35,+\infty\right)$ ?

6. Si une bijection dérivable vérifie $f(2)=\frac12$ et $f'(2)=0$ , que peut-on conclure pour sa réciproque ?

7. Quel est l’écart-type d’une variable aléatoire $X\sim\mathcal B\left(12,\frac14\right)$ ?

8. Quelle méthode permet de résoudre l’équation complexe $z^2+(\sqrt3-3i)z-2-2i\sqrt3=0$ ?

9. Quels sont le module et un argument principal du nombre complexe $z_C=-\sqrt3+i$ ?

10. Quel est le lieu géométrique des points M d’affixe z vérifiant $|z+\sqrt3-i|=3$ ?

14. Pour $n$ candidats indépendants, quelle loi décrit le nombre $X$ de candidats admis lorsque la probabilité individuelle d’admission vaut $0,24$ ?

15. Pourquoi la fonction $g(x)=e^x+2\ln(x)$ possède-t-elle une unique racine sur $]0,+\infty[$ ?

16. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de $f(x)=e^x+2x\ln(x)-2x$ ?

17. Quel est le tableau de variations de $f$ lorsque $g$ s’annule en $\alpha$ et change de signe en ce point ?

18. Dans le modèle $f(x)=x^2e^{-x}$ , que représente la variable $x$ ?

19. Quelle expression donne la dérivée de $f(x)=x^2e^{-x}$ pour $x\ge0$ ?

20. Sur quels intervalles le rendement $f(x)=x^2e^{-x}$ augmente-t-il puis diminue-t-il ?