Fiche de révision : Mathématiques générales

📋 Plan du Cours

1. Fonctions réelles et domaines
2. Limites et fonctions équivalentes
3. Parité et variations
4. Continuité et valeurs intermédiaires
5. Dérivée et règles de calcul
6. Variations et théorèmes différentiels
7. Logarithmes et exponentielles
8. Puissances et comparaisons asymptotiques
9. Intégrale et primitives
10. Techniques d’intégration
11. Équations différentielles du premier ordre
12. Équations différentielles du second ordre

📖 1. Fonctions réelles et domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique à variable réelle : Une fonction est numérique à variable réelle lorsque son ensemble de départ et son ensemble d’arrivée sont tous deux inclus dans ℝ.
• Domaine de définition : L’ensemble des réels x pour lesquels f(x) a un sens.

📝 Points essentiels

📌 Le domaine mathématique contient les valeurs où l’expression est définie, tandis que le domaine physique peut ajouter des contraintes du phénomène, notamment x ≥ 0.

• Une fonction peut être représentée par :
  • une expression analytique
  • un tableau
  • un graphe
  • une courbe représentative

📖 2. Limites et fonctions équivalentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : La limite de f en x₀ est la valeur l dont f(x) peut être rendue aussi proche que souhaité en prenant x suffisamment proche de x₀.
• Fonctions équivalentes : Deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de x₀ si le quotient f(x)/g(x) tend vers 1 lorsque x tend vers x₀.

★ À maîtriser

• Si f et g tendent respectivement vers l₁ et l₂ en x₀, alors la limite de leur somme est l₁ + l₂ et celle de leur produit est l₁l₂.

📌 Si g ≤ f ≤ h au voisinage de x₀ et si g et h ont la même limite l en x₀, alors f tend aussi vers l.

Compléments

📌 Si f tend vers l₁ et g vers l₂ ≠ 0 en x₀, alors f/g tend vers l₁/l₂.

• Au voisinage de 0, sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ x²/2, eˣ − 1 ∼ x, ln(1 + x) ∼ x et (1 + x)^α − 1 ∼ αx.

📌 Les équivalents peuvent simplifier les limites de produits et de quotients, mais cette propriété ne s’applique pas directement aux sommes ni aux fonctions composées.

💡 Astuce mémo

Pour un produit ou un quotient, l’équivalent aide ; pour une somme ou une composée, il ne s’applique pas.

📖 3. Parité et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine contient −x avec x et si f(−x) = f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine contient −x avec x et si f(−x) = −f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur I si, pour x₁ > x₂ dans I, f(x₁) ≥ f(x₂).
• Fonction périodique : Une fonction f est périodique de période T > 0 si x + T appartient à son domaine et si f(x + T) = f(x).
• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir autour de l’axe Oy ; impaire : miroir autour de l’origine.

📖 4. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en x₀ si sa limite en x₀ est égale à f(x₀).

★ À maîtriser

📌 L’image d’un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est un intervalle.

📌 Si f est continue sur [a,b] et f(a)f(b) < 0, alors il existe α ∈ ]a,b[ tel que f(α) = 0.

Compléments

📌 La somme et le produit de fonctions continues en x₀ sont continus en x₀, et leur quotient l’est aussi si le dénominateur ne s’y annule pas.

📌 La composée g∘f est continue en x₀ si f est continue en x₀ et g est continue en f(x₀).

💡 Astuce mémo

Continuité sur un intervalle → image en intervalle ; changement de signe → zéro intermédiaire.

📖 5. Dérivée et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre x₀ et x est $\frac{f(x)-f(x₀)}{x-x₀}$ et représente la pente de la droite passant par (x₀,f(x₀)) et (x,f(x)).
• Dérivée en un point : La dérivée de f en x₀ est la limite finie du taux de variation lorsque x tend vers x₀, et se note f′(x₀).

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles comprennent (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x.

📐 Formule - La dérivée d’un produit vérifie $(fg)′=f′g+fg′,$ et celle d’un quotient vérifie $(f/g)′=(f′g−fg′)/g²$ lorsque g ne s’annule pas.

📐 Formule - Pour une composée, $(V∘U)′(x)=U′(x)V′(U(x)).$

Compléments

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ a pour équation $y=f′(x₀)(x-x₀)+f(x₀).$

📌 Une fonction est dérivable en x₀ si ses dérivées à droite et à gauche existent et sont égales ; une dérivée infinie ou inexistante signifie que f n’est pas dérivable en ce point.

📖 6. Variations et théorèmes différentiels

★ À maîtriser

• Si f′ ≥ 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ ≤ 0, f y est décroissante ; si f′ = 0, f y est constante.

• Toute fonction dérivable en x₀ est continue en x₀, mais une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable en x₀.

• À un point intérieur où f′ s’annule en changeant de signe, f admet un extremum local.

Compléments

• Si f est continue et strictement monotone sur I, dérivable en x₀ et si f′(x₀) ≠ 0, alors $(f^{-1})′(f(x₀))=1/f′(x₀).$

• Si f′(x₀)=0, f″(x₀)>0 indique un minimum local et f″(x₀)<0 indique un maximum local.

• Le théorème de Rolle affirme que si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors f′(c)=0 pour au moins un c ∈ ]a,b[.

📐 Formule - Le théorème des accroissements finis donne, pour une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, $f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)$ pour au moins un c ∈ ]a,b[.

• Pour étudier les variations d’une fonction, on détermine son domaine, calcule et factorise sa dérivée, étudie le signe de cette dérivée, puis établit le tableau de variations.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → signe → variations.

📖 7. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est l’unique primitive de x ↦ 1/x sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle x ↦ eˣ est la réciproque du logarithme népérien et envoie ℝ vers ]0,+∞[.
• Logarithme de base a : Pour a > 0 et a ≠ 1, le logarithme de base a est défini par $\log_a(x)=\ln(x)/\ln(a)$ pour x > 0.

★ À maîtriser

• Le logarithme népérien est strictement croissant et établit une bijection de ]0,+∞[ vers ℝ.

📌 La fonction log_a est strictement croissante si a > 1 et strictement décroissante si 0 < a < 1.

Compléments

📐 Formule - Pour x,y > 0, $\ln(xy)=\ln x+\ln y,$ $\ln(x/y)=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^n)=n\ln x$ pour tout entier n.

• La fonction exponentielle vérifie (eˣ)′ = eˣ et eˣeʸ = eˣ⁺ʸ.

📐 Formule - Pour a > 0 et a ≠ 1, $a^x=e^{x\ln(a)}$ et $(a^x)'=\ln(a)a^x.$

💡 Astuce mémo

Le logarithme et l’exponentielle népériens sont réciproques.

📖 8. Puissances et comparaisons asymptotiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Une fonction puissance est de la forme f_α(x)=x^α, où l’exposant α peut être entier naturel, entier relatif ou réel.

★ À maîtriser

• Sur ]0,+∞[, la dérivée de x^α est $\alpha x^{\alpha-1}.$

📐 Formule - Pour a > 1 et tout réel q, $\lim_{x\to+\infty}\frac{a^x}{x^q}=+\infty,$ tandis que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{a^x}=0.$

Compléments

📌 Sur ]0,+∞[, x^α est strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0.

📐 Formule - Pour α > 0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0.$

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’exponentielle domine la puissance, qui domine le logarithme.

📖 9. Intégrale et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : Pour une fonction continue et positive sur [a,b], l’intégrale définie est la limite des sommes d’aires de rectangles lorsque leur largeur tend vers zéro.
• Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur I si elle est dérivable sur I et si F′(x)=f(x) pour tout x de I.

★ À maîtriser

• Géométriquement, l’intégrale de f sur [a,b] représente l’aire sous sa courbe, comptée positivement au-dessus de l’axe des abscisses et négativement en dessous.

📌 Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

📐 Formule - Si F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

Compléments

📐 Formule - L’intégrale est linéaire : $\int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g$ et $\int_a^b\alpha f=\alpha\int_a^b f.$

📐 Formule - Pour c ∈ [a,b], la relation de Chasles s’écrit $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$

💡 Astuce mémo

Les rectangles sous la courbe s’additionnent pour approcher l’aire intégrale.

📖 10. Techniques d’intégration

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intégration par parties vérifie $\int_a^b u′(t)v(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u(t)v′(t)\,dt.$

📐 Formule - Le changement de variable donne $\int_\alpha^\beta f(u(t))u′(t)\,dt=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}f(x)\,dx.$

Compléments

• La règle de Bioche choisit le changement de variable selon la symétrie de ω(x)=f(x)dx : u=cos x si ω(−x)=ω(x), u=sin x si ω(π−x)=ω(x), et u=tan x si ω(π+x)=ω(x).

• Toute fonction rationnelle se décompose en une partie entière polynomiale et des fractions simples associées aux facteurs linéaires ou quadratiques irréductibles de son dénominateur.

📐 Formule - La formule composée de Simpson pour n pair et h=(b−a)/n est $S_n(f)=\frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i\ impair}f(a+ih)+2\sum_{i\ pair}f(a+ih)+f(b)\right].$

📖 11. Équations différentielles du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle du premier ordre : Une équation différentielle du premier ordre s’écrit sous la forme y′=f(t,y), où y est une fonction inconnue de la variable t.
• Équation linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit a(t)y′(t)+b(t)y(t)=c(t), avec des coefficients donnés continus sur un intervalle.
• Problème de Cauchy : Une équation différentielle du premier ordre accompagnée d’une condition initiale y(t₀)=y₀ constitue un problème de Cauchy.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation à variables séparables f(y(t))y′(t)=g(t), on intègre pour obtenir F(y(t))=G(t)+c, puis on isole y si F est bijective.

📌 Toute solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre est la somme d’une solution particulière et d’une solution générale de l’équation homogène associée.

Compléments

• La variation de la constante cherche une solution sous la forme y(t)=λ(t)y₁(t), où y₁ est une solution non nulle de l’équation homogène, puis détermine λ à partir de λ′(t)a(t)y₁(t)=c(t).

📖 12. Équations différentielles du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire du second ordre : Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s’écrit ay″(t)+by′(t)+cy(t)=f(t), où a,b,c sont réels constants et a ≠ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation caractéristique associée est $ar^2+br+c=0,$ et son discriminant est $\Delta=b^2-4ac.$

• Si Δ>0, la solution homogène est $y_H(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t},$ où r₁ et r₂ sont les deux racines réelles distinctes de l’équation caractéristique.

• Si Δ=0 et r₀ est la racine double, la solution homogène est $y_H(t)=(k_1t+k_2)e^{r_0t}.$

• Si Δ<0 et les racines sont α±iβ, la solution homogène est $y_H(t)=e^{\alpha t}(k_1\cos(\beta t)+k_2\sin(\beta t)).$

Compléments

📌 Si le second membre est un polynôme de degré n, une solution particulière recherchée par identification est un polynôme de degré n+1 si c=0 et b≠0, ou de degré n+2 si c=b=0 et a≠0.