QCM : Mathématiques générales (39 questions)

Question 1

1. Quel ensemble le domaine de définition $D_f$ d’une fonction $f$ rassemble-t-il ?

Les réels

x

pour lesquels

f(x)

a un sens

Les réels appartenant à l’ensemble d’arrivée de la fonction

Les réels positifs pour lesquels

f(x)

a un sens

Les réels que la fonction peut prendre comme valeurs

Explication

Le domaine de définition rassemble précisément les réels pour lesquels l’expression $f(x)$ est définie. L’ensemble des valeurs prises confond images et antécédents, l’ensemble d’arrivée est une notion distincte, et la positivité relève parfois d’une contrainte physique supplémentaire.

Answer

Les réels $$x$$ pour lesquels $$f(x)$$ a un sens

Question 2

2. Pour étudier une formule en tant qu’expression mathématique, son domaine admet des valeurs négatives, mais le phénomène modélisé exige une variable positive ou nulle. Comment distinguer les deux domaines ?

Le domaine mathématique garde les valeurs où l’expression est définie; le domaine physique ajoute la contrainte de positivité

Le domaine mathématique impose la positivité; le domaine physique garde toutes les valeurs où l’expression est définie

Le domaine physique garde les valeurs négatives; le domaine mathématique impose la positivité

Les deux domaines coïncident dès que l’expression est définie pour des valeurs négatives

Explication

Le domaine mathématique comprend les valeurs où l’expression a un sens, tandis que le domaine physique peut imposer des conditions supplémentaires, comme $x\geq 0$ . Les autres réponses inversent les domaines, supposent qu’ils coïncident ou attribuent la contrainte au mauvais domaine.

Answer

Le domaine mathématique garde les valeurs où l’expression est définie; le domaine physique ajoute la contrainte de positivité

Question 3

3. Que signifie dire que $f$ admet la limite $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ ?

La fonction prend la valeur

\ell

pour tout

x

assez proche de

x_0

La valeur

f(x_0)

est nécessairement égale à

\ell

On peut rendre

x

aussi proche de

\ell

que souhaité en prenant

f(x)

près de

x_0

On peut rendre

f(x)

aussi proche de

\ell

que souhaité en prenant

x

assez proche de

x_0

Explication

La limite décrit la proximité des valeurs de $f(x)$ avec $\ell$ lorsque les antécédents se rapprochent de $x_0$ ; elle n’exige pas que $f(x_0)=\ell$ . Les distracteurs confondent limite et valeur au point, imposent une constance ou inversent les rôles de $x$ et de $f(x)$ .

Answer

On peut rendre $$f(x)$$ aussi proche de $$\ell$$ que souhaité en prenant $$x$$ assez proche de $$x_0$$

Question 4

4. Lorsque $x$ tend vers $x_0$ , $f(x)$ tend vers $-2$ et $g(x)$ tend vers $5$ . Quelle limite obtient-on pour leur produit ?

3

-10

-7

-\frac{2}{5}

Explication

La limite d’un produit est le produit des limites : $(-2)\times 5=-10$ . Les distracteurs correspondent respectivement à une addition, une soustraction et un quotient des limites.

Answer

$$f$$ et $$g$$ sont équivalentes

Answer

Elle est paire

Answer

Elle est impaire

Answer

Elle est croissante

Answer

Un intervalle de réels

Answer

Il existe α dans ]1, 6[ tel que f(α)=0

Answer

(1, 1) et (3, 9)

Answer

La limite finie du taux de variation quand x tend vers x₀

Answer

1−sin(1)

Answer

f est constante sur l’intervalle

Answer

Oui, car la continuité n’impose pas la dérivabilité

Answer

La fonction admet un minimum local en c

Answer

L’unique primitive de $$x\mapsto 1/x$$ sur $$]0,+\infty[ $$ qui s’annule en 1

Answer

La bijection strictement croissante de $$]0,+\infty[ $$ vers $$\mathbb{R}$$

Answer

Elle est strictement décroissante

Answer

Dans $$]0,+\infty[ $$

Answer

$$\frac{3}{2}x^{1/2}$$

Answer

$$\frac{a^x}{x^q}\to+\infty$$ et $$\frac{\ln x}{a^x}\to0$$

Answer

Vers l’intégrale de la fonction sur $$[a,b]$$

Answer

Elle ajoute les contributions au-dessus de l’axe et soustrait celles en dessous

Answer

Une primitive de $$f$$ sur $$I$$

Answer

$$[te^t]_0^2-\int_0^2 e^t\,dt$$

Answer

$$\int_1^2 f(x)\,dx$$

Answer

$$y'=f(t,y)$$

Answer

$$y(t)=F^{-1}(G(t)+c)$$

Answer

Une équation différentielle linéaire du premier ordre

Answer

La solution complète s’obtient en ajoutant une solution particulière et la solution générale homogène.

Answer

$$ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)$$

Answer

$$3r^2+2r-1=0,\quad \Delta=16$$

Answer

$$y_H(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}$$

Answer

$$y_H(t)=(k_1t+k_2)e^{r_0t}$$

Question 5

5. Au voisinage de $x_0$ , deux fonctions $g$ et $h$ encadrent une fonction $f$ selon $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , et les deux fonctions d’encadrement tendent vers $4$ . Vers quelle valeur tend $f$ ?

4

8

Aucune limite ne peut être conclue

0

Explication

Le théorème d’encadrement garantit que $f$ tend vers la même limite que ses deux bornes, ici $4$ . Les autres réponses confondent la limite avec un écart, ignorent l’encadrement convergent ou additionnent les limites.

Question 6

6. Près de $x_0$ , le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $1$ . Quelle relation décrit alors $f$ et $g$ au voisinage de $x_0$ ?

f

et

g

sont égales pour tout

x

proche de

x_0

f

et

g

sont équivalentes

f

et

g

sont équivalentes si

\frac{g(x)}{f(x)}

tend vers

0

f

et

g

sont équivalentes si

\frac{f(x)}{g(x)}

tend vers

0

Explication

Par définition, $f$ et $g$ sont équivalentes lorsque leur quotient $f(x)/g(x)$ tend vers $1$ . L’équivalence ne signifie pas une égalité exacte, et les distracteurs restants changent la valeur limite ou inversent le critère.

Question 7

7. Une fonction est définie sur un domaine symétrique par rapport à zéro et vérifie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Quelle est sa parité ?

Elle est croissante

Elle est impaire

Elle est paire

Elle est périodique

Explication

Une fonction paire vérifie $f(-x)=f(x)$ lorsque son domaine contient avec chaque $x$ son opposé; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe $Oy$ . La fonction impaire vérifie une relation avec un signe négatif, la périodicité repose sur un décalage et la croissance concerne l’ordre des valeurs.

Question 8

8. Pour chaque $x$ d’un domaine symétrique par rapport à zéro, une fonction vérifie $f(-x)=-f(x)$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle est périodique

Elle est paire

Elle est impaire

Elle est décroissante

Explication

Une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)$ et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Une fonction paire satisfait $f(-x)=f(x)$ , la périodicité compare des valeurs séparées par un décalage et la décroissance porte sur l’ordre des images.

Question 9

9. Sur un intervalle $I$ , une fonction vérifie $f(x_1)\geq f(x_2)$ chaque fois que $x_1>x_2$ . Comment varie-t-elle sur $I$ ?

Elle est décroissante

Elle est périodique

Elle est paire

Elle est croissante

Explication

La croissance signifie que les valeurs de la fonction ne diminuent pas lorsque l’argument augmente; la définition admet donc l’égalité des images. La décroissance inverse l’inégalité, tandis que périodicité et parité décrivent d’autres propriétés.

Question 10

10. Une fonction f est-elle continue en x₀ lorsque sa limite en x₀ est égale à quelle valeur ?

f′(x₀)

f(x₀)

f(x₀)+1

0

Explication

La continuité en x₀ signifie que la limite de f en ce point est égale à f(x₀). La dérivée est une autre notion, zéro n’est pas requis, et une valeur voisine de f(x₀) ne suffit pas.

Question 11

11. Une fonction continue sur l’intervalle [−2, 4] prend les valeurs 3 et −1 en deux points de cet intervalle. Quelle forme possède son image sur [−2, 4] ?

Un ensemble de réels positifs

Un seul réel

Un intervalle de réels

L’intervalle [−2, 4]

Explication

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, même si cet intervalle peut contenir des valeurs positives et négatives. L’image n’est pas nécessairement l’intervalle de départ, et elle n’est pas réduite à un point.

Question 12

12. Une fonction continue sur [1, 6] vérifie f(1)=−4 et f(6)=2. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Il existe une unique racine dans ]1, 6[

Il existe α dans ]1, 6[ tel que f(α)=2

Il existe α dans ]1, 6[ tel que f(α)=0

Il existe α dans [1, 6] tel que f(α)=−4

Explication

La continuité et le produit f(1)f(6)<0 garantissent une racine dans l’intervalle ouvert ]1, 6[. Le théorème assure l’existence, pas l’unicité, et la racine n’est pas imposée à une extrémité.

Question 13

13. Pour f(x)=x², quels points définissent la droite dont la pente est le taux de variation entre x₀=1 et x=3 ?

(1, 1) et (3, 9)

(1, 0) et (3, 8)

(1, 1) et (3, 3)

(1, 2) et (3, 6)

Explication

Le taux de variation est la pente de la droite passant par (x₀,f(x₀)) et (x,f(x)); ici les points sont (1,1) et (3,9). Les autres choix substituent des valeurs incorrectes aux images ou confondent la pente sécante avec une pente tangente.

Question 14

14. Comment se définit la dérivée de f en x₀ ?

La limite finie du taux de variation quand x tend vers x₀

La limite de f(x) quand x tend vers x₀

Le taux de variation calculé pour un x distinct de x₀

La valeur f(x₀) de la fonction au point

Explication

La dérivée en x₀ est la limite finie du taux de variation lorsque x tend vers x₀. Un taux calculé à distance reste une pente sécante; f(x₀) et la limite de f ne sont pas la définition de la dérivée.

Question 15

15. Pour la fonction f(x)=ln x + cos x, quelle est la dérivée en x=1 ?

1−sin(1)

cos(1)

−sin(1)

1+sin(1)

Explication

Les règles usuelles donnent (ln x)′=1/x et (cos x)′=−sin x; ainsi f′(1)=1−sin(1). Les distracteurs changent le signe du terme trigonométrique, omettent le terme logarithmique ou utilisent la dérivée de sin.

Question 16

16. Si U(x)=x²+1 et V(u)=eᵘ, quelle est la dérivée de V∘U en x=2 ?

4e⁵

2e⁵

5e⁵

e⁵

Explication

La règle de chaîne donne (V∘U)′(x)=U′(x)V′(U(x)); ici U′(2)=4 et V′(U(2))=e⁵, donc le résultat vaut 4e⁵. Les autres résultats omettent le facteur dérivé ou le remplacent par une valeur incorrecte.

Question 17

17. Sur un intervalle, une fonction dérivable vérifie f′(x)≤0 partout et f′(x)=0 partout. Quelle conclusion s’applique ?

f est strictement croissante sur l’intervalle

f est strictement décroissante sur l’intervalle

f est identiquement nulle sur l’intervalle

f est constante sur l’intervalle

Explication

Lorsque f′=0 sur un intervalle, f y est constante; cette condition implique aussi f′≤0. Une dérivée nulle ne signifie pas que la fonction vaut zéro, et les variations strictes ne sont pas garanties.

Question 18

18. Une fonction est continue en un point mais n’y est pas dérivable. Cette situation est-elle compatible avec le lien entre continuité et dérivabilité ?

Oui, car la dérivabilité implique l’absence de continuité

Non, car toute fonction continue y est dérivable

Non, car toute fonction dérivable y est discontinue

Oui, car la continuité n’impose pas la dérivabilité

Explication

La dérivabilité en un point entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse: une fonction peut être continue sans être dérivable. Les autres choix inversent ou rendent équivalentes ces deux implications.

Question 19

19. À un point intérieur c, la dérivée d’une fonction passe de négative à positive en s’annulant en c. Que peut-on conclure ?

La fonction admet un maximum local en c

La fonction admet un minimum local en c

La fonction n’admet aucun extremum en c

La fonction est constante au voisinage de c

Explication

Une dérivée qui passe de négative à positive correspond à une fonction qui décroît puis croît, donc à un minimum local. Le passage inverse indique un maximum; l’annulation seule ne suffit pas à établir un extremum, et elle n’implique pas la constance.

Question 20

20. Quelle caractérisation définit le logarithme népérien sur son domaine ?

L’unique primitive de

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

qui s’annule en 0

La dérivée de

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

qui s’annule en 1

Une primitive de

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

qui vaut 1 en 1

L’unique primitive de

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

qui s’annule en 1

Explication

Le logarithme népérien est caractérisé comme la primitive de $1/x$ qui prend la valeur 0 en 1. Confondre primitive et dérivée inverse l’opération, choisir 0 comme point d’annulation change la normalisation, et imposer la valeur 1 en 1 ne correspond pas à cette définition.

Question 21

21. Une équation $\ln x=c$ est résolue dans les réels, où $c$ peut être n’importe quel réel. Quelle propriété garantit qu’elle possède exactement une solution positive ?

La bijection strictement croissante de

]0,+\infty[

vers

\mathbb{R}

La bijection strictement croissante de

\mathbb{R}

vers

]0,+\infty[

La fonction strictement croissante de

]0,+\infty[

vers

]0,+\infty[

La fonction strictement décroissante de

]0,+\infty[

vers

\mathbb{R}

Explication

Comme $\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ , chaque réel $c$ est atteint une seule fois par un argument positif. Une image limitée ne garantit pas l’existence pour tout $c$ , échanger domaine et image décrit l’exponentielle, et la décroissance est fausse.

Question 22

22. Pour une base $a=0{,}4$ , comment varie la fonction $x\mapsto\log_a(x)$ lorsque $x$ augmente sur les réels positifs ?

Elle n’est définie que pour les arguments supérieurs à 1

Elle est strictement décroissante

Elle est constante

Elle est strictement croissante

Explication

Pour une base comprise entre 0 et 1, $\log_a$ est strictement décroissante. La croissance s’applique aux bases supérieures à 1, l’exponentielle réciproque n’inverse pas cette règle pour le logarithme, et le domaine du logarithme de base $a$ comprend tous les réels positifs.

Question 23

23. Une fonction réciproque de $\ln$ reçoit un réel quelconque comme entrée. Dans quel ensemble se trouve toujours sa valeur ?

Dans

]-\infty,0[

Dans

]0,+\infty[

Dans

\mathbb{R}

Dans

[0,+\infty[

Explication

La réciproque de $\ln$ est l’exponentielle, qui envoie $\mathbb{R}$ sur les réels strictement positifs. $\mathbb{R}$ est le domaine de l’exponentielle et l’image de $\ln$ ; l’exponentielle ne prend ni des valeurs négatives ni la valeur zéro.

Question 24

24. Pour $f(x)=x^{3/2}$ sur les réels positifs, quelle expression donne $f'(x)$ ?

\frac{3}{2}x^{1/2}

\frac{3}{2}x^{-1/2}

\frac{3}{2}x^{3/2}

x^{1/2}

Explication

La règle donne $\frac{d}{dx}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$ ; avec $\alpha=3/2$ , on obtient $\frac{3}{2}x^{1/2}$ . Garder l’exposant inchangé ou supprimer le facteur $3/2$ omet une étape de la règle, tandis que l’exposant $-1/2$ correspondrait à une puissance initiale de $1/2$ .

Question 25

25. Pour $a>1$ et $q\in\mathbb{R}$ , quelle conclusion décrit correctement le comportement lorsque $x\to+\infty$ ?

\frac{a^x}{x^q}\to+\infty

et

\frac{\ln x}{a^x}\to+\infty

\frac{a^x}{x^q}\to0

et

\frac{\ln x}{a^x}\to0

\frac{a^x}{x^q}\to0

et

\frac{\ln x}{a^x}\to+\infty

\frac{a^x}{x^q}\to+\infty

et

\frac{\ln x}{a^x}\to0

Explication

À l’infini, une exponentielle de base supérieure à 1 domine toute puissance, tandis que le logarithme est négligeable devant cette exponentielle. L’inversion des deux dominations est une confusion fréquente; les autres choix donnent à tort une limite infinie au quotient logarithme-exponentielle ou une limite nulle au quotient exponentielle-puissance.

Question 26

26. On approche l’intégrale d’une fonction continue et positive sur $[a,b]$ par des rectangles dont la largeur tend vers zéro. Vers quoi tend la somme de leurs aires ?

Vers la valeur de la fonction en

a

Vers la largeur d’un rectangle de la subdivision

Vers la plus grande valeur de la fonction sur

[a,b]

Vers l’intégrale de la fonction sur

[a,b]

Explication

L’intégrale définie est obtenue comme limite des sommes d’aires rectangulaires lorsque la largeur des rectangles tend vers zéro. La largeur n’est qu’un élément de la subdivision; ni la hauteur maximale ni la valeur à une extrémité ne représentent en général cette limite.

Question 27

27. Une fonction est positive sur une partie de l’intervalle et négative sur une autre. Comment l’intégrale combine-t-elle les contributions géométriques de ces deux parties ?

Elle ajoute les contributions des deux côtés de l’axe

Elle ajoute les contributions au-dessus de l’axe et soustrait celles en dessous

Elle additionne les valeurs absolues des contributions des deux côtés

Elle soustrait les contributions des deux côtés de l’axe

Explication

L’intégrale représente une aire algébrique : les contributions au-dessus de l’axe des abscisses sont positives et celles situées en dessous sont négatives. Compter les deux positivement ou prendre leur valeur absolue confond l’intégrale avec l’aire géométrique totale, tandis que soustraire les deux inverse le signe de la partie positive.

Question 28

28. Sur un intervalle $I$ , une fonction $F$ est dérivable et vérifie $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$ . Quel rôle joue $F$ pour $f$ ?

Une fonction continue associée à

f

sur

I

Une primitive de

f

sur

I

La dérivée de

f

sur

I

Une fonction égale à

f

sur

I

Explication

Par définition, une primitive de $f$ est dérivable et sa dérivée est $f$ . Dire que $F$ est la dérivée de $f$ inverse les rôles; demander $F=f$ ou la seule continuité de $F$ ne satisfait pas la définition.

Question 29

29. Une primitive de $f$ est donnée par $F(x)=x^2$ . Quelle valeur obtient-on pour $\int_1^3 f(t)\,dt$ ?

9

2

8

-8

Explication

La formule fondamentale donne $\int_1^3 f(t)\,dt=F(3)-F(1)=3^2-1^2=9-1=8$ . Inverser les bornes donne $-8$ , soustraire les bornes donne 2, et oublier la valeur à la borne inférieure donne 9.

Question 30

30. Pour calculer $\int_0^2 t e^t\,dt$ par intégration par parties, on choisit $u(t)=t$ et $v'(t)=e^t$ . Quelle expression faut-il obtenir ?

[te^t]_0^2-\int_0^2 e^t\,dt

[te^t]_2^0-\int_0^2 e^t\,dt

\int_0^2 e^t\,dt

[te^t]_0^2+\int_0^2 e^t\,dt

Explication

L’intégration par parties donne le produit $uv$ évalué aux bornes, puis retranche l’intégrale de $uv'$ , ici $\int_0^2 e^t\,dt$ . Omettre le terme évalué néglige $[uv]_0^2$ , le signe plus inverse le signe de l’intégrale, et l’ordre inverse échange les bornes.

Question 31

31. On pose $u(t)=t^2+1$ pour transformer $\int_0^1 2t\,f(t^2+1)\,dt$ . Quelle intégrale obtenue par changement de variable est équivalente ?

\int_2^1 f(x)\,dx

\int_0^1 f(x)\,dx

\int_1^2 f(x)\,dx

\int_1^2 2t f(x)\,dx

Explication

Comme $u'(t)=2t$ , le facteur de l’intégrande est exactement absorbé par le changement de variable; les bornes deviennent $u(0)=1$ et $u(1)=2$ . Garder les anciennes bornes, les inverser ou conserver le facteur dérivé après substitution sont des erreurs de transformation.

Question 32

32. Laquelle des équations suivantes est écrite sous la forme générale d’une équation différentielle du premier ordre pour une fonction inconnue $y$ de $t$ ?

z'=f(t,y)

y=f(t,y)

y''=f(t,y)

y'=f(t,y)

Explication

Une équation différentielle du premier ordre s’écrit $y'=f(t,y)$ , où $y$ est la fonction inconnue de $t$ . La dérivée seconde correspond à l’ordre deux, $z'$ change la fonction inconnue, et la dernière forme ne comporte pas de dérivée.

Question 33

33. Une équation séparable conduit, après intégration, à $F(y(t))=G(t)+c$ , où $F$ est bijective. Quelle étape permet d’exprimer la solution sous la forme explicite de $y(t)$ ?

y(t)=F(G(t)+c)

y(t)=F^{-1}(G(t)+c)

y(t)=G^{-1}(F(t)+c)

y(t)=F^{-1}(G(t))

Explication

La bijectivité de $F$ permet d’appliquer son inverse aux deux membres et donne $y(t)=F^{-1}(G(t)+c)$ . Utiliser l’inverse de $G$ confond les fonctions, supprimer $c$ perd la constante d’intégration, et appliquer $F$ ne résout pas l’équation par rapport à $y$ .

Question 34

34. Un modèle contient des fonctions données continues $a,b,c$ sur un intervalle et s’écrit $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t)$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

Une équation différentielle séparable du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du second ordre

Une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre

Explication

La forme $a(t)y'+b(t)y=c(t)$ définit une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients donnés continus. La réponse d’ordre deux suppose une dérivée seconde, l’équation homogène a un second membre nul, et la séparabilité n’est pas impliquée par cette forme.

Question 35

35. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul, quelle relation distingue la solution particulière de la solution homogène associée ?

La solution complète est la solution particulière, tandis que la solution homogène résout l’équation complète.

La solution complète s’obtient en ajoutant une solution particulière et la solution générale homogène.

La solution complète est la solution homogène, tandis que la solution particulière résout l’équation à second membre nul.

La solution complète s’obtient en multipliant une solution particulière par la solution homogène.

Explication

Une solution particulière résout l’équation avec son second membre, tandis que la solution générale homogène résout l’équation associée dont le second membre est nul; leur somme donne la solution complète. Les autres propositions échangent les rôles des deux solutions ou remplacent l’addition par une opération incorrecte.

Question 36

36. Laquelle de ces formes caractérise une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec $a\ne0$ ?

f(t)y''(t)+by'(t)+cy(t)=a

ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)

ay'(t)+by(t)=f(t)

a(t)y''(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t)=f(t)

Explication

La forme caractéristique est $ay''+by'+cy=f(t)$ , avec $a,b,c$ constants et $a\ne0$ . La deuxième forme est du premier ordre, la troisième a des coefficients dépendant de $t$ , et la dernière place la fonction donnée devant la dérivée seconde.

Question 37

37. Pour l’équation $3y''(t)+2y'(t)-y(t)=0$ , quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

3r^2+2r-1=0,\quad \Delta=-16

r^2+2r-1=0,\quad \Delta=8

3r^2+2r-1=0,\quad \Delta=16

3r+2-1=0,\quad \Delta=16

Explication

L’équation caractéristique est $ar^2+br+c=0$ et son discriminant vaut $b^2-4ac$ . Ici, $a=3$ , $b=2$ et $c=-1$ , donc $\Delta=2^2-4(3)(-1)=16$ ; les distracteurs omettent un coefficient, abaissent le degré ou inversent le signe du terme en $4ac$ .

Question 38

38. Une équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ . Quelle forme générale convient à la solution homogène ?

y_H(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}

y_H(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}

y_H(t)=k_1\cos(r_1t)+k_2\sin(r_2t)

y_H(t)=e^{\alpha t}(k_1\cos(\beta t)+k_2\sin(\beta t))

Explication

Deux racines réelles distinctes donnent une combinaison linéaire des exponentielles correspondantes. Le facteur linéaire en $t$ est propre à une racine double, la forme trigonométrique amortie correspond à des racines complexes, et des sinus seuls ne représentent pas le cas de deux racines réelles distinctes.

Question 39

39. Dans une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, le discriminant est nul et la racine caractéristique double vaut $r_0$ . Quelle forme doit prendre la solution homogène ?

y_H(t)=k_1e^{r_0t}+k_2e^{r_0t}

y_H(t)=(k_1t+k_2)e^{r_0t}

y_H(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}

y_H(t)=e^{\alpha t}(k_1\cos(\beta t)+k_2\sin(\beta t))

Explication

Pour une racine caractéristique double, la solution homogène est $(k_1t+k_2)e^{r_0t}$ ; le facteur en $t$ fournit le terme indépendant nécessaire. La somme de deux exponentielles identiques omet ce terme, tandis que les autres formes correspondent à des racines distinctes ou complexes.

QCM : Mathématiques générales (39 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble le domaine de définition DfD_fDf​ d’une fonction fff rassemble-t-il ?

2. Pour étudier une formule en tant qu’expression mathématique, son domaine admet des valeurs négatives, mais le phénomène modélisé exige une variable positive ou nulle. Comment distinguer les deux domaines ?

3. Que signifie dire que fff admet la limite ℓ\ellℓ lorsque xxx tend vers x0x_0x0​ ?

4. Lorsque xxx tend vers x0x_0x0​, f(x)f(x)f(x) tend vers −2-2−2 et g(x)g(x)g(x) tend vers 555. Quelle limite obtient-on pour leur produit ?

5. Au voisinage de x0x_0x0​, deux fonctions ggg et hhh encadrent une fonction fff selon g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x), et les deux fonctions d’encadrement tendent vers 444. Vers quelle valeur tend fff ?

6. Près de x0x_0x0​, le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ tend vers 111. Quelle relation décrit alors fff et ggg au voisinage de x0x_0x0​ ?

7. Une fonction est définie sur un domaine symétrique par rapport à zéro et vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) pour tout xxx de ce domaine. Quelle est sa parité ?

8. Pour chaque xxx d’un domaine symétrique par rapport à zéro, une fonction vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x). Quelle propriété possède-t-elle ?

9. Sur un intervalle III, une fonction vérifie f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2)f(x1​)≥f(x2​) chaque fois que x1>x2x_1>x_2x1​>x2​. Comment varie-t-elle sur III ?

10. Une fonction f est-elle continue en x₀ lorsque sa limite en x₀ est égale à quelle valeur ?

11. Une fonction continue sur l’intervalle [−2, 4] prend les valeurs 3 et −1 en deux points de cet intervalle. Quelle forme possède son image sur [−2, 4] ?

12. Une fonction continue sur [1, 6] vérifie f(1)=−4 et f(6)=2. Quelle conclusion peut-on tirer ?

13. Pour f(x)=x², quels points définissent la droite dont la pente est le taux de variation entre x₀=1 et x=3 ?

14. Comment se définit la dérivée de f en x₀ ?

15. Pour la fonction f(x)=ln x + cos x, quelle est la dérivée en x=1 ?

16. Si U(x)=x²+1 et V(u)=eᵘ, quelle est la dérivée de V∘U en x=2 ?

17. Sur un intervalle, une fonction dérivable vérifie f′(x)≤0 partout et f′(x)=0 partout. Quelle conclusion s’applique ?

18. Une fonction est continue en un point mais n’y est pas dérivable. Cette situation est-elle compatible avec le lien entre continuité et dérivabilité ?

19. À un point intérieur c, la dérivée d’une fonction passe de négative à positive en s’annulant en c. Que peut-on conclure ?

20. Quelle caractérisation définit le logarithme népérien sur son domaine ?

21. Une équation ln⁡x=c\ln x=clnx=c est résolue dans les réels, où ccc peut être n’importe quel réel. Quelle propriété garantit qu’elle possède exactement une solution positive ?

22. Pour une base a=0,4a=0{,}4a=0,4, comment varie la fonction x↦log⁡a(x)x\mapsto\log_a(x)x↦loga​(x) lorsque xxx augmente sur les réels positifs ?

23. Une fonction réciproque de ln⁡\lnln reçoit un réel quelconque comme entrée. Dans quel ensemble se trouve toujours sa valeur ?

24. Pour f(x)=x3/2f(x)=x^{3/2}f(x)=x3/2 sur les réels positifs, quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

25. Pour a>1a>1a>1 et q∈Rq\in\mathbb{R}q∈R, quelle conclusion décrit correctement le comportement lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

26. On approche l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a,b][a,b][a,b] par des rectangles dont la largeur tend vers zéro. Vers quoi tend la somme de leurs aires ?

27. Une fonction est positive sur une partie de l’intervalle et négative sur une autre. Comment l’intégrale combine-t-elle les contributions géométriques de ces deux parties ?

28. Sur un intervalle III, une fonction FFF est dérivable et vérifie F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x) pour tout x∈Ix\in Ix∈I. Quel rôle joue FFF pour fff ?

29. Une primitive de fff est donnée par F(x)=x2F(x)=x^2F(x)=x2. Quelle valeur obtient-on pour ∫13f(t) dt\int_1^3 f(t)\,dt∫13​f(t)dt ?

30. Pour calculer ∫02tet dt\int_0^2 t e^t\,dt∫02​tetdt par intégration par parties, on choisit u(t)=tu(t)=tu(t)=t et v′(t)=etv'(t)=e^tv′(t)=et. Quelle expression faut-il obtenir ?

31. On pose u(t)=t2+1u(t)=t^2+1u(t)=t2+1 pour transformer ∫012t f(t2+1) dt\int_0^1 2t\,f(t^2+1)\,dt∫01​2tf(t2+1)dt. Quelle intégrale obtenue par changement de variable est équivalente ?

32. Laquelle des équations suivantes est écrite sous la forme générale d’une équation différentielle du premier ordre pour une fonction inconnue yyy de ttt ?

33. Une équation séparable conduit, après intégration, à F(y(t))=G(t)+cF(y(t))=G(t)+cF(y(t))=G(t)+c, où FFF est bijective. Quelle étape permet d’exprimer la solution sous la forme explicite de y(t)y(t)y(t) ?

34. Un modèle contient des fonctions données continues a,b,ca,b,ca,b,c sur un intervalle et s’écrit a(t)y′(t)+b(t)y(t)=c(t)a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t)a(t)y′(t)+b(t)y(t)=c(t). De quel type d’équation s’agit-il ?

35. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul, quelle relation distingue la solution particulière de la solution homogène associée ?

36. Laquelle de ces formes caractérise une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec a≠0a\ne0a=0 ?

37. Pour l’équation 3y′′(t)+2y′(t)−y(t)=03y''(t)+2y'(t)-y(t)=03y′′(t)+2y′(t)−y(t)=0, quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

38. Une équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r1r_1r1​ et r2r_2r2​. Quelle forme générale convient à la solution homogène ?

39. Dans une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, le discriminant est nul et la racine caractéristique double vaut r0r_0r0​. Quelle forme doit prendre la solution homogène ?

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1. Quel ensemble le domaine de définition $D_f$ d’une fonction $f$ rassemble-t-il ?

3. Que signifie dire que $f$ admet la limite $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ ?

4. Lorsque $x$ tend vers $x_0$ , $f(x)$ tend vers $-2$ et $g(x)$ tend vers $5$ . Quelle limite obtient-on pour leur produit ?

5. Au voisinage de $x_0$ , deux fonctions $g$ et $h$ encadrent une fonction $f$ selon $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , et les deux fonctions d’encadrement tendent vers $4$ . Vers quelle valeur tend $f$ ?

6. Près de $x_0$ , le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $1$ . Quelle relation décrit alors $f$ et $g$ au voisinage de $x_0$ ?

7. Une fonction est définie sur un domaine symétrique par rapport à zéro et vérifie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Quelle est sa parité ?

8. Pour chaque $x$ d’un domaine symétrique par rapport à zéro, une fonction vérifie $f(-x)=-f(x)$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

9. Sur un intervalle $I$ , une fonction vérifie $f(x_1)\geq f(x_2)$ chaque fois que $x_1>x_2$ . Comment varie-t-elle sur $I$ ?

21. Une équation $\ln x=c$ est résolue dans les réels, où $c$ peut être n’importe quel réel. Quelle propriété garantit qu’elle possède exactement une solution positive ?

22. Pour une base $a=0{,}4$ , comment varie la fonction $x\mapsto\log_a(x)$ lorsque $x$ augmente sur les réels positifs ?

23. Une fonction réciproque de $\ln$ reçoit un réel quelconque comme entrée. Dans quel ensemble se trouve toujours sa valeur ?

24. Pour $f(x)=x^{3/2}$ sur les réels positifs, quelle expression donne $f'(x)$ ?

25. Pour $a>1$ et $q\in\mathbb{R}$ , quelle conclusion décrit correctement le comportement lorsque $x\to+\infty$ ?

26. On approche l’intégrale d’une fonction continue et positive sur $[a,b]$ par des rectangles dont la largeur tend vers zéro. Vers quoi tend la somme de leurs aires ?

28. Sur un intervalle $I$ , une fonction $F$ est dérivable et vérifie $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$ . Quel rôle joue $F$ pour $f$ ?

29. Une primitive de $f$ est donnée par $F(x)=x^2$ . Quelle valeur obtient-on pour $\int_1^3 f(t)\,dt$ ?

30. Pour calculer $\int_0^2 t e^t\,dt$ par intégration par parties, on choisit $u(t)=t$ et $v'(t)=e^t$ . Quelle expression faut-il obtenir ?

31. On pose $u(t)=t^2+1$ pour transformer $\int_0^1 2t\,f(t^2+1)\,dt$ . Quelle intégrale obtenue par changement de variable est équivalente ?

32. Laquelle des équations suivantes est écrite sous la forme générale d’une équation différentielle du premier ordre pour une fonction inconnue $y$ de $t$ ?

33. Une équation séparable conduit, après intégration, à $F(y(t))=G(t)+c$ , où $F$ est bijective. Quelle étape permet d’exprimer la solution sous la forme explicite de $y(t)$ ?

34. Un modèle contient des fonctions données continues $a,b,c$ sur un intervalle et s’écrit $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t)$ . De quel type d’équation s’agit-il ?

36. Laquelle de ces formes caractérise une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec $a\ne0$ ?

37. Pour l’équation $3y''(t)+2y'(t)-y(t)=0$ , quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

38. Une équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ . Quelle forme générale convient à la solution homogène ?

39. Dans une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, le discriminant est nul et la racine caractéristique double vaut $r_0$ . Quelle forme doit prendre la solution homogène ?