Fiche de révision : Systèmes de numération

📋 Plan du Cours

1. Numération décimale positionnelle
2. Décomposition canonique en base dix
3. Codage positionnel en base cinq
4. Conversion en base sexagésimale
5. Numération romaine additive

📖 1. Numération décimale positionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Système positionnel : Un système de numération est positionnel lorsque la position d’un signe renseigne sur sa valeur.
• Système décimal : Le système décimal groupe par dix les unités de chaque ordre et utilise les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
• Zéro : Signe qui indique l’absence de groupement dans un ordre d’unités.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cours, 1 paquet de dix paquets de dix bâtons et 4 bâtons isolés s’écrivent 104, car le chiffre 0 signale l’absence de dizaine.

📖 2. Décomposition canonique en base dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition canonique : Écriture d’un nombre en base dix comme une somme de chiffres multipliés par les puissances de dix correspondant à leurs positions.

★ À maîtriser

• La décomposition canonique de 4 657 est $4\times10^3+6\times10^2+5\times10^1+7\times10^0$.

Compléments

• Tout nombre écrit dans le système positionnel en base dix possède une unique décomposition canonique.

📖 3. Codage positionnel en base cinq

🔑 Notions clés & Définitions

• Base cinq : La numération en base cinq utilise les cinq signes 0, 1, 2, 3 et 4 pour écrire tous les nombres.

★ À maîtriser

• Pour coder une quantité en base cinq, on regroupe les objets par paquets de cinq, puis par paquets de cinq paquets, et on note les quantités de chaque ordre.

Compléments

• La quantité codée par $134_5$ vaut $1\times5^2+3\times5^1+4\times5^0$, soit 44 en base dix.

• En base cinq, les nombres décimaux 5, 10, 15 et 25 s’écrivent respectivement $10_5$, $20_5$, $30_5$ et $100_5$.

• Tout nombre écrit dans le système positionnel en base dix peut s’écrire de manière unique en base cinq.

📖 4. Conversion en base sexagésimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Base sexagésimale : Numération qui code un nombre par groupements de puissances de 60.

★ À maîtriser

• Pour convertir 39 570 secondes en heures, minutes et secondes, on divise successivement par 3 600 secondes puis par 60 secondes et on conserve les restes.

Compléments

📐 Formule - Une heure correspond à $60^2=3\,600$ secondes et une minute correspond à $60$ secondes.

• La base 60 utilise le système décimal usuel pour écrire ses valeurs, car elle nécessiterait 60 signes distincts.

• Dans l’écriture en base 60, les parenthèses délimitent un signe : $(10)(59)(30)_{60}$ contient trois signes.

• La calculatrice convertit 3 725 secondes en 1 heure, 2 minutes et 5 secondes.

• L’écriture décimale 1,125 heure correspond à 1 heure, 7 minutes et 30 secondes.

💡 Astuce mémo

Regrouper d’abord par 3 600 secondes, puis par 60, puis garder le reste en secondes.

📖 5. Numération romaine additive

★ À maîtriser

• La numération romaine utilise principalement les sept signes I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 et M = 1 000.

📌 En numération romaine, des chiffres juxtaposés dans l’ordre décroissant s’additionnent.

📌 En numération romaine, lorsqu’un chiffre de valeur inférieure est placé à gauche d’un chiffre supérieur, sa valeur est soustraite à celle du chiffre supérieur.

Compléments

• Le nombre 4 s’écrit IV, soit 5 − 1, plutôt que IIII.

• Le nombre 90 s’écrit XC, soit 100 − 10, plutôt que LXXXX.

• La numération romaine sert encore à écrire des dates et des chapitres, par exemple XXI pour le 21e siècle et V pour le chapitre 5.

• La valeur d’un chiffre romain ne dépend pas de sa position et la numération romaine ne possède pas de signe équivalent au zéro.

💡 Astuce mémo

Ordre décroissant : on additionne ; petit chiffre placé à gauche : on le soustrait.

📊 Tableaux de synthèse

Bases positionnelles étudiées