Fiche de révision : Mathématiques L1 Science de la Vie

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et opérations ensemblistes
2. Dénombrement et coefficients binomiaux
3. Probabilités finies
4. Puissances et fonctions algébriques
5. Équations et courbes usuelles
6. Dérivation et calcul différentiel
7. Variations et extrema
8. Exponentielle et logarithmes
9. Fonctions trigonométriques

📖 1. Ensembles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés ses éléments, et l’appartenance de x à E se note $x\in E$.
• Intersection : L’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
• Réunion : L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B, le « ou » mathématique incluant le cas où ils appartiennent aux deux.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble peut être défini par extension en énumérant ses éléments ou par compréhension en donnant une propriété qu’ils vérifient.

📐 Formule — Pour deux ensembles finis, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

💡 Astuce mémo

Extension = éléments listés ; compréhension = propriété vérifiée

📖 2. Dénombrement et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : La factorielle est définie par $0!=1$ et $n!=1\cdot2\cdots n$ pour tout entier $n\geq1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux ensembles finis, $|E\times F|=|E|\cdot|F|$.

📐 Formule — Le nombre de choix de n éléments parmi N est $\binom{N}{n}=\frac{N!}{n!(N-n)!}$.

• Si une population contient R éléments rouges et N−R éléments verts, le nombre de choix de n éléments contenant exactement r rouges est $\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}$.

Compléments

• Le nombre de choix de deux éléments parmi cinq vaut $\binom{5}{2}=10$.

📖 3. Probabilités finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : L’ensemble de tous ses résultats possibles.
• Probabilité : Dans une expérience de Laplace à univers fini, la probabilité d’un événement A est $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📝 Points essentiels

📌 Pour deux événements A et B, $P(A^c)=1-P(A)$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule — Si $P(B)>0$, la probabilité conditionnelle de A sachant B est $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

💡 Astuce mémo

Équiprobabilité → probabilité = cas favorables / cas possibles

📖 4. Puissances et fonctions algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque élément x de D un unique réel $f(x)$, et D est son domaine de définition.
• Puissance négative : Pour x non nul et k entier positif, la puissance négative est définie par $x^{-k}=\frac{1}{x^k}$.

★ À maîtriser

📌 Pour x,y>0 et α,β réels, les puissances vérifient $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$, $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$ et $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$.

Compléments

📐 Formule — Pour x>0 et k entier positif, la racine k-ième vérifie $x^{1/k}=\sqrt[k]{x}$.

📖 5. Équations et courbes usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une fonction quadratique peut s’écrire $f(x)=a(x+s)^2+t$, sa parabole ayant pour sommet le point $(-s,t)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ possède le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation du second degré possède une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une fraction rationnelle, le comportement à l’infini est déterminé par $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^n}{b_mx^m}$.

💡 Astuce mémo

Droite affine : ax+b ; parabole : ax²+bx+c

📖 6. Dérivation et calcul différentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La limite $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsqu’elle existe.

📝 Points essentiels

• La dérivée f′(a) est la pente de la droite tangente à la courbe de f au point (a,f(a)).

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(1/x)'=-1/x^2$, $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ et $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables, $(fg)'=f'g+fg'$ et, si g ne s’annule pas, $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$.

💡 Astuce mémo

Taux moyen → limite → dérivée → tangente

📖 7. Variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Un point a vérifiant $f'(a)=0$.

★ À maîtriser

• Sur un intervalle, si f′ est positive ou nulle, f est croissante, et si f′ est négative ou nulle, f est décroissante.

• Tout maximum ou minimum local situé à l’intérieur du domaine d’une fonction dérivable est un point critique.

• Pour un point critique a d’une fonction deux fois dérivable, $f''(a)>0$ implique un minimum local et $f''(a)<0$ implique un maximum local.

Compléments

📐 Formule — La tangente en a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et fournit l’approximation $f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$ près de a.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → variations ; signe de f″ → nature de l’extremum

📖 8. Exponentielle et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : L’unique fonction dérivable vérifiant $f(0)=1$ et $f'=f$, et elle est notée $\exp(x)=e^x$.
• Logarithme népérien : La fonction définie sur ]0,+∞[ telle que $\ln(y)=x$ lorsque $e^x=y$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’exponentielle vérifie $e^{x+y}=e^xe^y$ et $e^{-x}=1/e^x$.

📐 Formule — Le logarithme népérien vérifie $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ et $\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$ pour x,y>0.

Compléments

• La constante d’Euler vérifie approximativement $e\approx2{,}72$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : R → ]0,+∞[ ; logarithme : ]0,+∞[ → R

📖 9. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle unité : Le cercle unité du plan a pour équation $x^2+y^2=1$.
• Cosinus et sinus : Pour un angle θ, le point du cercle unité associé a pour coordonnées $(\cos(\theta),\sin(\theta))$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les fonctions trigonométriques vérifient $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.

📐 Formule — Les dérivées des fonctions trigonométriques sont $\cos'=-\sin$ et $\sin'=\cos$.

Compléments

• Les valeurs particulières sont $\cos(0)=1$, $\cos(\pi/2)=0$, $\sin(0)=0$ et $\sin(\pi/2)=1$.

💡 Astuce mémo

Un point du cercle unité donne ses coordonnées cos(θ) et sin(θ)

📊 Tableaux de synthèse

Racines des équations du second degré