Fiche de révision : Sommes, produits et combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Écriture et propriétés des sommes
2. Sommes remarquables
3. Écriture et manipulation des produits
4. Dénombrement des configurations finies
5. Coefficients binomiaux et binôme
6. Sommes doubles rectangulaires
7. Sommes sur un tableau rectangulaire
8. Interversion des sommes triangulaires
9. Relations d’indices et sommes doubles
10. Blaise Pascal et ses travaux

📖 1. Écriture et propriétés des sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme symbolique : La somme symbolique $\sum_{k=p}^{q}u_k$ désigne $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q$ lorsque $p\leq q$ et contient $q-p+1$ termes.

★ À maîtriser

📌 L’indice de sommation est muet, donc remplacer k par i ou j dans une somme ne change pas sa valeur, à condition de modifier toutes ses occurrences.

📐 Formule — La somme des entiers de 1 à n vérifie $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

📌 La linéarité donne $\sum_{k=p}^{q}(\alpha u_k+\beta v_k)=\alpha\sum_{k=p}^{q}u_k+\beta\sum_{k=p}^{q}v_k$.

Compléments

📌 Par convention, une somme vide vérifie $\sum_{k=p}^{p-1}u_k=0$, tandis qu’une somme réduite à un seul terme vérifie $\sum_{k=p}^{p}u_k=u_p$.

• Un changement d’indice admissible reformule une somme en remplaçant l’indice par $j=k+p$ ou par $j=p-k$ et en transformant correctement les bornes.

💡 Astuce mémo

Indice muet ≠ terme dépendant de l’indice

📖 2. Sommes remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout $n\in\mathbb N$, les sommes de puissances vérifient $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$, $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et $\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$.

📐 Formule — La somme de termes successifs d’une suite arithmétique vaut $\sum_{k=p}^{q}u_k=\frac{u_p+u_q}{2}(q-p+1)$.

📐 Formule — Pour $x\in\mathbb R$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}x^k=n+1$ si $x=1$ et $\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ si $x\ne1$.

• Une somme télescopique de termes $u_k=v_{k+1}-v_k$ se simplifie par annulation des termes intermédiaires et vaut $\sum_{k=p}^{q}u_k=v_{q+1}-v_p$.

💡 Astuce mémo

Puissances → arithmétique → géométrique → télescopique

📖 3. Écriture et manipulation des produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Produit des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n, soit $n!=\prod_{k=1}^{n}k$, avec $0!=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation entre factorielles successives est $(n+1)!=(n+1)n!$ pour tout $n\in\mathbb N$.

📌 Les produits vérifient $\prod_{k=p}^{q}u_kv_k=\left(\prod_{k=p}^{q}u_k\right)\left(\prod_{k=p}^{q}v_k\right)$, mais le produit n’est pas linéaire car $\prod_{k=p}^{q}(u_k+v_k)$ n’est généralement pas égal à $\prod_{k=p}^{q}u_k+\prod_{k=p}^{q}v_k$.

Compléments

📌 Un produit vide vaut 1 et un produit constant vérifie $\prod_{k=p}^{q}x=x^{q-p+1}$.

💡 Astuce mémo

La somme est linéaire, le produit ne l’est pas

📖 4. Dénombrement des configurations finies

📝 Points essentiels

📌 Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments avec répétitions possibles, un arrangement est une liste ordonnée sans répétition et une combinaison est une partie non ordonnée sans répétition.

• Le dénombrement par construction multiplie le nombre de choix lors d’étapes successives et additionne les nombres de choix correspondant à des cas mutuellement exclusifs.

• Si un ensemble E possède n éléments, le nombre de k-uplets d’éléments de E est $n^k$.

📐 Formule — Si E possède n éléments et si $0\leq k\leq n$, le nombre d’arrangements de k éléments de E est $\frac{n!}{(n-k)!}$.

💡 Astuce mémo

Listes → arrangements → permutations → combinaisons

📖 5. Coefficients binomiaux et binôme

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coefficient binomial est défini par $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0\leq k\leq n$, et vaut 0 si $k>n$.

• Le nombre de combinaisons de k éléments parmi un ensemble à n éléments est $\binom nk$.

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $\binom n{n-k}=\binom nk$ et la relation de Pascal $\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^k b^{n-k}$ pour tous $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$.

Compléments

📐 Formule — Un ensemble à n éléments possède exactement $2^n$ parties, car $\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$.

💡 Astuce mémo

Choix de facteurs → coefficients binomiaux → formule du binôme

📖 6. Sommes doubles rectangulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme double rectangulaire : Somme de tous les coefficients $a_{i,j}$ d’un tableau pour $1\leq i\leq m$ et $1\leq j\leq n$, soit $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}$.

★ À maîtriser

📌 Pour un tableau rectangulaire fini, l’ordre des sommations peut être interverti : $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}$.

Compléments

• Pour calculer une somme double rectangulaire, on peut d’abord sommer les coefficients de chaque ligne puis additionner ces sommes, ou d’abord sommer chaque colonne puis additionner les résultats.

💡 Astuce mémo

Sommer par lignes ou par colonnes donne le même total

📖 7. Sommes sur un tableau rectangulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme double rectangulaire : additionne tous les coefficients $a_{i,j}$ pour $i\in\{1,\ldots,m\}$ et $j\in\{1,\ldots,n\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme double rectangulaire s’écrit $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\right)$.

📌 Dans une somme double sur un tableau rectangulaire, l’ordre des sommations peut être interverti sans modifier le résultat : $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}$.

Compléments

• Pour $m,n\in\mathbb{N}^*$, on a $\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n}\binom{m}{i}j^i=(n+1)^m$ après interversion des sommes, application du binôme et télescopage.

💡 Astuce mémo

Lignes puis colonnes, ou colonnes puis lignes : même total

📖 8. Interversion des sommes triangulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme triangulaire : additionne les coefficients $a_{i,j}$ vérifiant une relation d’ordre entre les indices, par exemple $1\leq i\leq j\leq n$.

★ À maîtriser

📌 Pour une somme triangulaire, l’interversion correcte est $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}a_{i,j}$.

Compléments

📐 Formule — La notation symétrique de la somme triangulaire précédente est $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}a_{i,j}$.

• Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on a $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}ij=\frac{n(n+3)}{4}$.

💡 Astuce mémo

Un triangle de coefficients parcouru soit par ses lignes, soit par ses colonnes

📖 9. Relations d’indices et sommes doubles

★ À maîtriser

📌 Les relations d’indices permettent les réécritures suivantes : $\sum_{1\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{i,j}$.

Compléments

📌 La somme sur tous les couples vérifiant $i\leq j$ se décompose en la diagonale et les termes strictement au-dessus : $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}a_{i,j}=\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{i,j}+\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}$.

📌 Les sommes sur les couples vérifiant $i<j$ et $j<i$ s’écrivent respectivement $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j-1}a_{i,j}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i,j}$ et $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=j+1}^{n}a_{i,j}$.

📖 10. Blaise Pascal et ses travaux

★ À maîtriser

• À 18 ans, Blaise Pascal commence à développer une machine à calculer qui sera plus tard connue sous le nom de pascaline.

• En 1654, Pascal expose dans son Traité de l’équilibre des liqueurs les principes fondamentaux de l’hydrostatique et affirme que la pression en deux points de même profondeur d’un liquide homogène est égale.

• En 1654, Pascal consacre aussi un traité aux propriétés des coefficients binomiaux organisés dans un triangle arithmétique, aujourd’hui appelé triangle de Pascal.

Compléments

• Blaise Pascal a vécu de 1623 à 1662 et est issu d’une famille bourgeoise de Clairmont, l’actuel Clermont-Ferrand.

• Le problème des partis étudié par Pascal consiste à répartir les mises d’un jeu de hasard interrompu avant son terme en attribuant à chaque joueur un paiement proportionnel au nombre d’issues qui lui sont favorables.

• Le soir du 23 novembre 1654, une expérience mystique conduit Pascal à se consacrer à la réflexion philosophique et religieuse.

• Les notes apologétiques de Pascal sont compilées après sa mort sous le titre des Pensées, considéré comme un chef-d’œuvre de la littérature française.

💡 Astuce mémo

Sciences → hydrostatique → triangle arithmétique → foi

📊 Tableaux de synthèse

Objets combinatoires

Interversion des sommes doubles