QCM : Mathématiques L1 Science de la Vie — 33 questions

Question 1

1. Quelle notation exprime que l’objet $x$ appartient à l’ensemble $E$ ?

x\in E

E\in x

x\subset E

E\subset x

Explication

La notation $x\in E$ signifie que $x$ est un élément de $E$ . Les notations d’inclusion concernent des ensembles, et non l’appartenance d’un élément à un ensemble.

Answer

$$x\in E$$

Question 2

2. Une liste explicite des éléments d’un ensemble correspond-elle à une définition par extension ou par compréhension ?

Une définition par intersection

Une définition par extension

Une définition par compréhension

Une définition par complémentation

Explication

La définition par extension énumère directement les éléments de l’ensemble. La compréhension décrit plutôt une propriété commune vérifiée par ces éléments.

Answer

Une définition par extension

Question 3

3. Si $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4,5\}$ , quel est l’ensemble $A\cap B$ ?

\{4,5\}

\{3\}

\{1,2\}

\{1,2,3,4,5\}

Explication

L’intersection contient les éléments présents dans $A$ et dans $B$ ; ici, seul $3$ possède cette propriété. L’ensemble réunissant tous les éléments serait la réunion, et non l’intersection.

Answer

$$\binom{10}{2}\binom{6}{2}$$

Answer

L’ensemble de tous les résultats possibles

Answer

$$\frac{7}{20}$$

Answer

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Answer

$$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$$

Answer

L’ensemble $$D$$ des valeurs admissibles de $$x$$

Answer

$$x_0=-1$$

Answer

$$x_1=3$$ et $$x_2=2$$

Answer

$$(3,-4)$$

Answer

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Answer

La pente de la tangente au point $$(a,f(a))$$

Answer

$$3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Answer

$$(fg)'(x)=3x^2+2x$$

Answer

Elle est croissante sur cet intervalle

Answer

Il vérifie $$f'(a)=0$$

Answer

Parce que sa dérivée s’y annule

Answer

La fonction possède un maximum local en $$a$$

Answer

C’est l’unique fonction dérivable telle que $$f(0)=1$$ et $$f'=f$$

Answer

$$e^{x+y}=e^x e^y$$

Answer

$$\ln(y)=x$$ lorsque $$e^x=y$$

Answer

$$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$$

Answer

$$x^2+y^2=1$$

Answer

$$(\cos(\theta),\sin(\theta))$$

Answer

$$\cos(-x)=\cos(x)$$ et $$\sin(-x)=-\sin(x)$$

Answer

$$\sin'(x)=\cos(x)$$ et $$\cos'(x)=-\sin(x)$$

Question 4

4. Deux ensembles finis vérifient $|A|=8$ , $|B|=5$ et $|A\cap B|=2$ . Quelle est la valeur de $|A\cup B|$ ?

15

11

10

13

Explication

La formule donne $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=8+5-2=11$ . Soustraire l’intersection évite de compter deux fois les éléments communs.

Question 5

5. Si un ensemble $E$ contient $3$ éléments et un ensemble $F$ en contient $4$ , combien le produit cartésien $E\times F$ contient-il de couples ordonnés ?

12

9

7

16

Explication

Chaque élément de $E$ peut être associé à chacun des quatre éléments de $F$ , donc $|E\times F|=3\times4=12$ . Le produit compte des couples ordonnés, et non la simple réunion des deux ensembles.

Question 6

6. Combien de choix de $3$ éléments parmi $7$ peut-on effectuer sans tenir compte de l’ordre ?

28

35

21

49

Explication

Le nombre de choix est $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35$ . Les arrangements qui diffèrent uniquement par l’ordre représentent ici le même choix.

Question 7

7. Une population contient $10$ éléments rouges et $6$ éléments verts. Combien de groupes de $4$ éléments contenant exactement $2$ éléments rouges peut-on former ?

\binom{10}{2}\binom{6}{2}

\binom{10}{4}\binom{6}{2}

\binom{16}{4}\binom{10}{2}

\binom{10}{2}\binom{6}{4}

Explication

Il faut choisir $2$ éléments parmi les $10$ rouges et $2$ parmi les $6$ verts, d’où $\binom{10}{2}\binom{6}{2}$ . Choisir quatre rouges ou quatre verts ne respecte pas la composition demandée.

Question 8

8. Dans une expérience aléatoire, que représente l’univers $\Omega$ ?

La probabilité du résultat le plus fréquent

L’ensemble des événements indépendants

L’ensemble de tous les résultats possibles

L’ensemble des résultats favorables à un événement

Explication

L’univers $\Omega$ rassemble tous les résultats que l’expérience peut produire. Les résultats favorables à un événement constituent plutôt cet événement lui-même, qui est une partie de $\Omega$ .

Question 9

9. Dans un univers fini équiprobable de $20$ résultats, un événement $A$ contient $7$ résultats. Quelle est sa probabilité ?

\frac{13}{20}

\frac{7}{13}

\frac{20}{7}

\frac{7}{20}

Explication

Dans une expérience de Laplace, on calcule $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{20}$ . La valeur $\frac{13}{20}$ correspondrait à la probabilité du complémentaire de $A$ .

Question 10

10. Si $P(A)=0,4$ , quelle est la probabilité de l’événement complémentaire $A^c$ ?

0,6

-0,4

0,4

1,4

Explication

La règle du complémentaire donne $P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,6$ . La probabilité de $A$ elle-même reste $0,4$ ; elle ne se soustrait pas à une autre probabilité.

Question 11

11. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque quelle égalité est vérifiée ?

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

P(A\cap B)=P(A)+P(B)

P(A\cap B)=P(A)P(B)

P(A^c)=P(B^c)

Explication

L’indépendance est caractérisée par l’égalité $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . La relation additive concerne certains calculs de réunion et ne définit pas l’indépendance.

Question 12

12. Pour $x,y>0$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , quelle égalité respecte les règles des puissances ?

(x+y)^\alpha=x^\alpha+y^\alpha

(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha+\beta}

(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha

x^{\alpha+\beta}=x^\alpha+x^\beta

Explication

La puissance d’un produit se distribue sur les facteurs, ce qui donne $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$ . En revanche, une puissance ne se distribue pas de cette manière sur une somme.

Question 13

13. Que désigne le domaine de définition d’une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ ?

L’ensemble

D

des valeurs admissibles de

x

L’ensemble des valeurs prises par

f(x)

L’ensemble des pentes de la courbe de

f

Le nombre réel associé à chaque élément de

D

Explication

Le domaine de définition est l’ensemble $D$ des éléments auxquels la fonction associe une valeur réelle. L’ensemble des valeurs prises par la fonction correspond plutôt à son image.

Question 14

14. Quel est le discriminant de l’équation $3x^2-5x+2=0$ ?

-1

25

31

1

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times3\times2=1$ . Le coefficient $a$ intervient notamment dans l’ouverture de la parabole, mais ne constitue pas le discriminant.

Question 15

15. Quelle solution possède l’équation $2x^2+4x+2=0$ ?

x_0=2

x_0=1

x_0=-2

x_0=-1

Explication

Ici, $\Delta=4^2-4\times2\times2=0$ , donc la solution unique est $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$ . Une équation dont le discriminant est positif aurait deux solutions réelles distinctes.

Question 16

16. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2-5x+6=0$ ?

x_1=-3

et

x_2=-2

x_1=3

et

x_2=2

x_1=\frac{5+\sqrt{11}}{2}

et

x_2=\frac{5-\sqrt{11}}{2}

x_1=\frac{-5+\sqrt{11}}{2}

et

x_2=\frac{-5-\sqrt{11}}{2}

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=25-24=1$ , donc les solutions sont $\frac{5+1}{2}=3$ et $\frac{5-1}{2}=2$ . Des signes négatifs devant les racines conviendraient à une équation dont le coefficient $b$ serait positif.

Question 17

17. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=2(x-3)^2-4$ ?

(-3,-4)

(3,4)

(3,-4)

(-4,3)

Explication

La forme canonique $a(x+s)^2+t$ donne le sommet $(-s,t)$ . Ici, $x-3=x+(-3)$ , donc $s=-3$ et le sommet est $(3,-4)$ .

Question 18

18. Quelle expression définit la dérivée de $f$ en $a$ lorsqu’elle existe ?

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

f'(a)=\frac{f(a)}{a}

f'(a)=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)+f(a)}{x+a}

Explication

La dérivée en $a$ est la limite du taux de variation lorsque $x$ tend vers $a$ . Le taux de croissance moyenne correspond à une variation calculée entre deux points distincts d’un intervalle.

Question 19

19. Que représente géométriquement $f'(a)$ sur la courbe de $f$ ?

L’ordonnée du point

(a,f(a))

L’abscisse du point où la courbe coupe l’axe vertical

La pente de la droite reliant deux points distincts

La pente de la tangente au point

(a,f(a))

Explication

La dérivée $f'(a)$ mesure la pente de la droite tangente à la courbe au point $(a,f(a))$ . L’ordonnée de ce point est donnée par $f(a)$ , et non par la dérivée.

Question 20

20. Pour $f(x)=x^3+\sqrt{x}$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ lorsque $x>0$ ?

3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}

3x^3+\frac{1}{2}x^{-1/2}

3x^2+2\sqrt{x}

x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}

Explication

On dérive chaque terme : $(x^3)'=3x^2$ et $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . La dernière proposition conserve une puissance incorrecte pour le premier terme, car la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ .

Question 21

21. Si $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$ , quelle est la dérivée de leur produit ?

(fg)'(x)=x^2+2x+1

(fg)'(x)=2x^2+x+1

(fg)'(x)=3x^2+2x

(fg)'(x)=2x(x+1)

Explication

La règle du produit donne $(fg)'=f'g+fg'$ , donc $2x(x+1)+x^2=3x^2+2x$ . Multiplier les dérivées entre elles ne constitue pas la règle de dérivation d’un produit.

Question 22

22. Sur un intervalle où $f'(x)\geq 0$ pour tout $x$ , quelle propriété possède $f$ ?

Elle est décroissante sur cet intervalle

Elle est croissante sur cet intervalle

Elle possède un maximum local intérieur

Elle possède un minimum local intérieur

Explication

Une dérivée positive ou nulle sur un intervalle implique que la fonction y est croissante. Une dérivée de signe constant ne suffit pas à conclure à l’existence d’un extremum local intérieur.

Question 23

23. Quel critère définit un point critique $a$ d’une fonction dérivable ?

Il vérifie

f'(a)=0

Il vérifie

f(a)=0

Il vérifie

f''(a)=0

Il correspond à une valeur maximale de

f

Explication

Pour une fonction dérivable, un point critique est un point où la dérivée s’annule. La condition $f(a)=0$ concerne une racine, tandis que les deux autres conditions ne définissent pas un point critique.

Question 24

24. Pourquoi un maximum ou un minimum local intérieur d’une fonction dérivable est-il un point critique ?

Parce que sa valeur y est nécessairement supérieure à zéro

Parce que sa dérivée seconde y est toujours positive

Parce que sa dérivée s’y annule

Parce que sa fonction s’y annule

Explication

Un extremum local intérieur d’une fonction dérivable satisfait la condition nécessaire $f'(a)=0$ , donc il s’agit d’un point critique. La dérivée seconde peut être positive ou négative selon qu’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.

Question 25

25. Soit $a$ un point critique d’une fonction deux fois dérivable. Que peut-on conclure si $f''(a)<0$ ?

La fonction est croissante au voisinage de

a

La fonction est constante au voisinage de

a

La fonction possède un maximum local en

a

La fonction possède un minimum local en

a

Explication

Pour un point critique, une dérivée seconde négative indique un maximum local. Une dérivée seconde positive indiquerait plutôt un minimum local.

Question 26

26. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle $\exp(x)=e^x$ ?

C’est l’unique fonction dérivable telle que

f(0)=1

et

f'=f

C’est la fonction qui s’annule en zéro et vérifie

f'=1

C’est la fonction définie sur

]0,+\infty[

telle que

f'=1/x

C’est la fonction dérivable telle que

f(0)=0

et

f'=x

Explication

L’exponentielle est caractérisée par la condition initiale $f(0)=1$ et l’équation différentielle $f'=f$ . La fonction définie sur $]0,+\infty[$ avec dérivée $1/x$ est le logarithme népérien.

Question 27

27. Quelle égalité applique correctement la propriété de l’exponentielle pour une somme ?

e^{x+y}=e^{x-y}

e^{x+y}=x e^y

e^{x+y}=e^x+e^y

e^{x+y}=e^x e^y

Explication

L’exponentielle transforme une somme d’exposants en produit de puissances, selon $e^{x+y}=e^x e^y$ . L’addition de deux exponentielles ne correspond pas à cette propriété.

Question 28

28. Pour un réel $y>0$ , quelle relation définit le logarithme népérien de $y$ ?

\ln(y)=x+y

lorsque

e^x=y

\ln(y)=e^x

lorsque

x=y

\ln(y)=y^x

lorsque

e^x=1

\ln(y)=x

lorsque

e^x=y

Explication

Le logarithme népérien est l’opération réciproque de l’exponentielle : $\ln(y)=x$ signifie que $e^x=y$ . Les autres relations ne décrivent pas cette inversion.

Question 29

29. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle transformation logarithmique est correcte ?

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

\ln(xy)=\ln(x)-\ln(y)

\ln(xy)=\ln(x/y)

\ln(xy)=\ln(x)\ln(y)

Explication

Le logarithme népérien transforme un produit en somme : $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ . La différence des logarithmes correspond plutôt au logarithme d’un quotient.

Question 30

30. Quelle équation décrit le cercle unité centré à l’origine dans le plan ?

x^2-y^2=1

x^2+y^2=1

xy=1

x+y=1

Explication

Le cercle unité est l’ensemble des points situés à distance un de l’origine, ce qui donne $x^2+y^2=1$ . Les autres équations décrivent d’autres courbes ou ensembles de points.

Question 31

31. Quelles sont les coordonnées du point du cercle unité associé à un angle $\theta$ ?

(\cos(\theta),\sin(\theta))

(\tan(\theta),\sin(\theta))

(\sin(\theta),\cos(\theta))

(\cos(\theta),\tan(\theta))

Explication

Sur le cercle unité, le cosinus donne l’abscisse et le sinus donne l’ordonnée du point associé à $\theta$ . Intervertir ces deux fonctions inverse ces deux coordonnées.

Question 32

32. Quelle propriété de parité les fonctions trigonométriques vérifient-elles ?

\cos(-x)=\sin(x)

et

\sin(-x)=\cos(x)

\cos(-x)=-\sin(x)

et

\sin(-x)=\cos(x)

\cos(-x)=-\cos(x)

et

\sin(-x)=\sin(x)

\cos(-x)=\cos(x)

et

\sin(-x)=-\sin(x)

Explication

Le cosinus est une fonction paire, tandis que le sinus est une fonction impaire, d’où ces deux identités. Les autres associations attribuent incorrectement les propriétés de parité ou échangent les fonctions.

Question 33

33. Quelles sont les dérivées des fonctions sinus et cosinus ?

\sin'(x)=\sin(x)

et

\cos'(x)=\cos(x)

\sin'(x)=\cos(x)

et

\cos'(x)=\sin(x)

\sin'(x)=-\cos(x)

et

\cos'(x)=\sin(x)

\sin'(x)=\cos(x)

et

\cos'(x)=-\sin(x)

Explication

La dérivée du sinus est le cosinus, tandis que la dérivée du cosinus est l’opposé du sinus. Le signe négatif dans $\cos'(x)=-\sin(x)$ est l’élément distinctif essentiel.

QCM : Mathématiques L1 Science de la Vie — 33 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle notation exprime que l’objet xxx appartient à l’ensemble EEE ?

2. Une liste explicite des éléments d’un ensemble correspond-elle à une définition par extension ou par compréhension ?

3. Si A={1,2,3}A=\{1,2,3\}A={1,2,3} et B={3,4,5}B=\{3,4,5\}B={3,4,5}, quel est l’ensemble A∩BA\cap BA∩B ?

4. Deux ensembles finis vérifient ∣A∣=8|A|=8∣A∣=8, ∣B∣=5|B|=5∣B∣=5 et ∣A∩B∣=2|A\cap B|=2∣A∩B∣=2. Quelle est la valeur de ∣A∪B∣|A\cup B|∣A∪B∣ ?

5. Si un ensemble EEE contient 333 éléments et un ensemble FFF en contient 444, combien le produit cartésien E×FE\times FE×F contient-il de couples ordonnés ?

6. Combien de choix de 333 éléments parmi 777 peut-on effectuer sans tenir compte de l’ordre ?

7. Une population contient 101010 éléments rouges et 666 éléments verts. Combien de groupes de 444 éléments contenant exactement 222 éléments rouges peut-on former ?

8. Dans une expérience aléatoire, que représente l’univers Ω\OmegaΩ ?

9. Dans un univers fini équiprobable de 202020 résultats, un événement AAA contient 777 résultats. Quelle est sa probabilité ?

10. Si P(A)=0,4P(A)=0,4P(A)=0,4, quelle est la probabilité de l’événement complémentaire AcA^cAc ?

11. Deux événements AAA et BBB sont indépendants lorsque quelle égalité est vérifiée ?

12. Pour x,y>0x,y>0x,y>0 et α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R}α,β∈R, quelle égalité respecte les règles des puissances ?

13. Que désigne le domaine de définition d’une fonction f:D→Rf:D\to\mathbb{R}f:D→R ?

14. Quel est le discriminant de l’équation 3x2−5x+2=03x^2-5x+2=03x2−5x+2=0 ?

15. Quelle solution possède l’équation 2x2+4x+2=02x^2+4x+2=02x2+4x+2=0 ?

16. Quelles sont les solutions de l’équation x2−5x+6=0x^2-5x+6=0x2−5x+6=0 ?

17. Quel est le sommet de la parabole représentative de f(x)=2(x−3)2−4f(x)=2(x-3)^2-4f(x)=2(x−3)2−4 ?

18. Quelle expression définit la dérivée de fff en aaa lorsqu’elle existe ?

19. Que représente géométriquement f′(a)f'(a)f′(a) sur la courbe de fff ?

20. Pour f(x)=x3+xf(x)=x^3+\sqrt{x}f(x)=x3+x​, quelle est l’expression de f′(x)f'(x)f′(x) lorsque x>0x>0x>0 ?

21. Si f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et g(x)=x+1g(x)=x+1g(x)=x+1, quelle est la dérivée de leur produit ?

22. Sur un intervalle où f′(x)≥0f'(x)\geq 0f′(x)≥0 pour tout xxx, quelle propriété possède fff ?

23. Quel critère définit un point critique aaa d’une fonction dérivable ?

24. Pourquoi un maximum ou un minimum local intérieur d’une fonction dérivable est-il un point critique ?

25. Soit aaa un point critique d’une fonction deux fois dérivable. Que peut-on conclure si f′′(a)<0f''(a)<0f′′(a)<0 ?

26. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle exp⁡(x)=ex\exp(x)=e^xexp(x)=ex ?

27. Quelle égalité applique correctement la propriété de l’exponentielle pour une somme ?

28. Pour un réel y>0y>0y>0, quelle relation définit le logarithme népérien de yyy ?

29. Pour x>0x>0x>0 et y>0y>0y>0, quelle transformation logarithmique est correcte ?

30. Quelle équation décrit le cercle unité centré à l’origine dans le plan ?

31. Quelles sont les coordonnées du point du cercle unité associé à un angle θ\thetaθ ?

32. Quelle propriété de parité les fonctions trigonométriques vérifient-elles ?

33. Quelles sont les dérivées des fonctions sinus et cosinus ?

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1. Quelle notation exprime que l’objet $x$ appartient à l’ensemble $E$ ?

3. Si $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4,5\}$ , quel est l’ensemble $A\cap B$ ?

4. Deux ensembles finis vérifient $|A|=8$ , $|B|=5$ et $|A\cap B|=2$ . Quelle est la valeur de $|A\cup B|$ ?

5. Si un ensemble $E$ contient $3$ éléments et un ensemble $F$ en contient $4$ , combien le produit cartésien $E\times F$ contient-il de couples ordonnés ?

6. Combien de choix de $3$ éléments parmi $7$ peut-on effectuer sans tenir compte de l’ordre ?

7. Une population contient $10$ éléments rouges et $6$ éléments verts. Combien de groupes de $4$ éléments contenant exactement $2$ éléments rouges peut-on former ?

8. Dans une expérience aléatoire, que représente l’univers $\Omega$ ?

9. Dans un univers fini équiprobable de $20$ résultats, un événement $A$ contient $7$ résultats. Quelle est sa probabilité ?

10. Si $P(A)=0,4$ , quelle est la probabilité de l’événement complémentaire $A^c$ ?

11. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque quelle égalité est vérifiée ?

12. Pour $x,y>0$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , quelle égalité respecte les règles des puissances ?

13. Que désigne le domaine de définition d’une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ ?

14. Quel est le discriminant de l’équation $3x^2-5x+2=0$ ?

15. Quelle solution possède l’équation $2x^2+4x+2=0$ ?

16. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2-5x+6=0$ ?

17. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=2(x-3)^2-4$ ?

18. Quelle expression définit la dérivée de $f$ en $a$ lorsqu’elle existe ?

19. Que représente géométriquement $f'(a)$ sur la courbe de $f$ ?

20. Pour $f(x)=x^3+\sqrt{x}$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ lorsque $x>0$ ?

21. Si $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$ , quelle est la dérivée de leur produit ?

22. Sur un intervalle où $f'(x)\geq 0$ pour tout $x$ , quelle propriété possède $f$ ?

23. Quel critère définit un point critique $a$ d’une fonction dérivable ?

25. Soit $a$ un point critique d’une fonction deux fois dérivable. Que peut-on conclure si $f''(a)<0$ ?

26. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle $\exp(x)=e^x$ ?

28. Pour un réel $y>0$ , quelle relation définit le logarithme népérien de $y$ ?

29. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle transformation logarithmique est correcte ?

31. Quelles sont les coordonnées du point du cercle unité associé à un angle $\theta$ ?