Fiche de révision : Mécanique des torseurs

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la mécanique classique
2. Vecteurs et opérations vectorielles
3. Champs de vecteurs antisymétriques
4. Torseurs et invariants fondamentaux
5. Axe central et distribution des moments
6. Dérivation et torseurs cinétiques
7. Opérations et classification des torseurs
8. Modélisation des mécanismes
9. Coordonnées globales du solide
10. Champ des vitesses du solide
11. Composition des vitesses
12. Translation du référentiel mobile
13. Torseurs cinématiques et composition
14. Composition des accélérations
15. Axes instantanés et surfaces axoïdes
16. Cinématique du mouvement plan

📖 1. Fondements de la mécanique classique

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Modèle dans lequel les déformations sont négligées et les distances entre toutes ses particules restent constantes au cours du temps.
• Mécanique : Science expérimentale qui étudie les mouvements des corps et calcule ou prédit leur position en fonction du temps selon une méthode hypothético-déductive.

★ À maîtriser

📌 La mécanique classique s’applique aux corps de dimensions supérieures à l’échelle atomique et dont les vitesses sont très inférieures à la vitesse de la lumière c.

Compléments

• L’isométrie de transformation d’un solide équivaut à une translation combinée à une rotation.

• La mécanique classique suppose que l’espace physique est homogène et isotrope, que le temps est absolu et indépendant de l’observateur, et que l’espace et le temps sont indépendants.

💡 Astuce mémo

Classique : corps macroscopiques et vitesses lentes ; quantique ou relativiste hors domaine.

📖 2. Vecteurs et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire qui vérifie les huit axiomes classiques, notamment la commutativité, l’associativité, l’existence du vecteur nul, des symétriques et des distributivités.
• Espace euclidien : Espace vectoriel muni d’un produit scalaire, forme bilinéaire symétrique définie positive.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur scalaire est caractérisée par un nombre seul, tandis qu’une grandeur vectorielle nécessite une direction, un sens et un module.

📌 Un vecteur lié a son origine fixée en un point, un vecteur libre a une origine arbitraire et un vecteur glissant peut glisser sur sa droite support.

📐 Formule - Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$.

Compléments

📌 Un vecteur polaire conserve son sens lorsque l’orientation du trièdre change, tandis que le sens d’un vecteur axial dépend de cette orientation.

📐 Formule - Le double produit vectoriel vérifie $\vec{a}\wedge(\vec{b}\wedge\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$.

📐 Formule - Le produit mixte $\vec{w}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})$ est le déterminant des trois vecteurs et mesure le volume orienté du parallélépipède qu’ils construisent.

📐 Formule - Si $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$, la solution générale de $\vec{a}\wedge\vec{x}=\vec{b}$, pour $\vec{a}\ne\vec{0}$, est $\vec{x}=-\frac{\vec{a}\wedge\vec{b}}{\|\vec{a}\|^2}+\beta\vec{a}$, où $\beta\in\mathbb{R}$.

📖 3. Champs de vecteurs antisymétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de vecteurs : Application qui associe à chaque point P de l’espace un vecteur $\vec{U}(P)$.
• Champ équiprojectif : Champ $\vec{U}$ tel que, pour tous points P et Q, $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{U}(P)=\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{U}(Q)$.
• Champ antisymétrique : Champ pour lequel il existe une application linéaire antisymétrique L telle que $\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+L(\overrightarrow{QP})$ pour tous points P et Q.

📝 Points essentiels

• Toute application linéaire antisymétrique L de l’espace euclidien tridimensionnel s’écrit de façon unique sous la forme $L(\vec{u})=\vec{R}\wedge\vec{u}$ pour un vecteur $\vec{R}$ unique.

• Tout champ antisymétrique satisfait la relation de transport $\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\vec{R}\wedge\overrightarrow{QP}$ et constitue un champ de moments, aussi appelé champ torseuriologique.

📖 4. Torseurs et invariants fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur : Modèle mathématique défini par une résultante générale $\vec{R}$ indépendante du point et un moment $\vec{M}_A$ dépendant du point de réduction A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le transport du moment entre A et B vérifie $\vec{M}_A=\vec{M}_B+\overrightarrow{AB}\wedge\vec{R}$.

📐 Formule - L’automoment d’un torseur est l’invariant scalaire $I=\vec{R}\cdot\vec{M}_A$, indépendant du point de réduction.

📌 Un couple a une résultante nulle et un moment identique en tout point, tandis qu’un glisseur non nul a une résultante non nulle et un automoment nul.

Compléments

• La résultante générale $\vec{R}$ est l’invariant vectoriel d’un torseur et ne dépend pas du point de réduction.

📖 5. Axe central et distribution des moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe central : Ensemble des points P dont le moment est colinéaire à la résultante, soit $\vec{M}_P=\lambda\vec{R}$, pour un torseur de résultante non nulle.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’axe central passant par l’origine O a pour équation $\overrightarrow{OP}=\frac{\vec{R}\wedge\vec{M}_O}{\|\vec{R}\|^2}+\beta\vec{R}$, où $\beta\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Sur l’axe central d’un torseur non glisseur, le moment vaut $\vec{M}_P=\tau\vec{R}$, où le pas est $\tau=\frac{\vec{R}\cdot\vec{M}_A}{\|\vec{R}\|^2}$.

📐 Formule - À une distance r de l’axe central, la norme du moment vérifie $\|\vec{M}_Q\|^2=\tau^2R^2+R^2r^2$, où $R=\|\vec{R}\|$.

• La norme du moment d’un torseur est minimale sur l’axe central et augmente quadratiquement avec la distance à cet axe.

💡 Astuce mémo

Autour de l’axe central, le moment tourne avec une composante longitudinale constante et une composante orthoradiale.

📖 6. Dérivation et torseurs cinétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur cinétique : Le torseur cinétique d’un système matériel S de masse totale m, en mouvement par rapport à R et réduit en A, a pour résultante $m\vec{v}(G/R)$ et pour moment le moment cinétique $\vec{\sigma}_A(S/R)$.
• Torseur dynamique : Le torseur dynamique d’un système matériel est la dérivée temporelle, dans le référentiel R, de son torseur cinétique ; réduit en un point fixe A de R, sa résultante est $m\vec{\gamma}(G/R)$ et son moment est le moment dynamique $\vec{\delta}_A(S/R)$.

★ À maîtriser

• La dérivée d’un torseur réduit en un point mobile A comprend la dérivée de sa résultante et la dérivée de son moment corrigée par le mouvement de A.

📐 Formule - Pour un torseur réduit en A(s), sa dérivée par rapport au paramètre s a pour éléments $\frac{d\vec{R}}{ds}$ et $\frac{d\vec{M}_A}{ds}+\vec{v}_A\wedge\vec{R}$, avec $\vec{v}_A=\frac{d\overrightarrow{OA}}{ds}$.

Compléments

📐 Formule - Le moment dynamique et le moment cinétique sont reliés par $\vec{\delta}_A(S/R)=\left.\frac{d\vec{\sigma}_A(S/R)}{dt}\right|_R+\vec{v}(A/R)\wedge m\vec{v}(G/R)$.

• Le terme correcteur s’annule dans les cas suivants :
  • A est fixe dans R
  • A est le centre d’inertie G
  • les vitesses de A et G sont parallèles

📖 7. Opérations et classification des torseurs

★ À maîtriser

📌 Deux torseurs sont égaux si et seulement si leurs résultantes et leurs moments au même point de réduction sont égaux.

📌 Un torseur nul a une résultante et un moment nuls, un couple a une résultante nulle et un moment non nul, un glisseur a une résultante non nulle et un automoment nul, et un torseur hélicoïdal à pas non nul a une résultante et un automoment non nuls.

Compléments

• Les torseurs munis de l’addition et de la multiplication par un scalaire forment un espace vectoriel de dimension 6.

• La somme de deux torseurs réduits au même point A a pour résultante $\vec{R}_1+\vec{R}_2$ et pour moment $\vec{M}_A(T_1)+\vec{M}_A(T_2)$.

📐 Formule - Le comoment de deux torseurs est le scalaire invariant $T_1\otimes T_2=\vec{R}_1\cdot\vec{M}_A(T_2)+\vec{R}_2\cdot\vec{M}_A(T_1)$, indépendant du point de réduction.

• Un système de N torseurs est remplacé par un torseur résultant dont la résultante et le moment au même point sont les sommes des résultantes et des moments des torseurs du système.

📖 8. Modélisation des mécanismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Modèle dans lequel la distance entre deux points quelconques du solide reste constante au cours du temps.
• Paramétrage : Consiste à choisir un ensemble minimal de variables, appelées paramètres de configuration, pour décrire la configuration d’un mécanisme.
• Degré de liberté : Nombre de paramètres indépendants nécessaires pour définir la configuration d’un mécanisme.

★ À maîtriser

📌 Un système mécanique est un ensemble de pièces ou de solides réalisant une fonction donnée, tandis qu’un mécanisme est un assemblage de solides reliés par des liaisons qui déterminent leurs mouvements relatifs.

• Les liaisons mécaniques usuelles sont : la liaison pivot, qui autorise une rotation autour d’un axe, la liaison glissière, qui autorise une translation suivant une direction, la liaison pivot-glissant, qui autorise une rotation et une translation suivant un même axe, la liaison rotule, qui autorise les rotations autour d’un point commun, l’encastrement, qui interdit tout mouvement relatif, la liaison ponctuelle, qui impose le contact en un point dans le modèle idéal

Compléments

• Le modèle distingue : le bâti, considéré comme fixe dans le référentiel d’étude, les solides mobiles, dont le mouvement est étudié par rapport au bâti, les liaisons mécaniques, qui limitent les mouvements relatifs entre solides

• Un schéma cinématique représente de manière simplifiée les solides, les liaisons et les dimensions géométriques utiles d’un mécanisme, sans en reproduire tous les détails technologiques.

• Un solide libre possède six degrés de liberté dans l’espace, soit trois translations et trois rotations, et trois degrés de liberté dans le plan, soit deux translations et une rotation.

📌 Le nombre de degrés de liberté est le nombre de coordonnées indépendantes après prise en compte des contraintes géométriques, sous réserve que celles-ci soient régulières et indépendantes.

• 🔄 La modélisation d’un mécanisme suit ces étapes :
  1. Identifier le bâti et les solides mobiles.
  2. Recenser les contacts et les liaisons entre solides.
  3. Réaliser un schéma cinématique lisible.
  4. Choisir un référentiel et des repères adaptés.
  5. Définir les paramètres de configuration.
  6. Écrire les contraintes géométriques.
  7. Déterminer la mobilité et vérifier la cohérence du modèle.

📐 Formule - Pour une barre AB de longueur constante $L$ articulée en A dans un mouvement plan, si l’angle de la barre est $\theta$, alors $x_B=L\cos\theta$ et $y_B=L\sin\theta$.

📐 Formule - Dans un mécanisme fermé, la fermeture vectorielle d’un quadrilatère articulé s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$; sa projection sur deux axes du plan fournit deux équations scalaires reliant angles et longueurs.

📖 9. Coordonnées globales du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles d’Euler : Les angles d’Euler sont trois angles — précession ψ, nutation θ et rotation propre φ — qui décrivent l’orientation d’un solide selon la convention adoptée.

★ À maîtriser

• La configuration d’un solide libre dans l’espace est décrite par six coordonnées globales : trois coordonnées de translation et trois coordonnées de rotation.

📐 Formule - Les coordonnées globales d’un solide libre dans l’espace sont $q=(x_A,y_A,z_A,\psi,\theta,\phi)^T$, tandis que celles d’un solide en mouvement plan sont $q=(x_A,y_A,\theta)^T$.

📐 Formule - Pour un point P fixé dans le solide, ses coordonnées dans le repère fixe vérifient $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+R\overrightarrow{AP}$, où les coordonnées de P dans le repère mobile sont constantes.

Compléments

• Dans la convention z−x′−z″, l’orientation est construite par une rotation d’angle ψ autour de l’axe fixe Oz₀, une rotation d’angle θ autour de la ligne des nœuds, puis une rotation d’angle φ autour du nouvel axe Oz₁.

📐 Formule - Dans la convention d’Euler z−x′−z″, la matrice de rotation totale est $R=R_z(\psi)R_x(\theta)R_z(\phi)$ et transforme les coordonnées d’un vecteur de la base mobile vers la base fixe.

📐 Formule - La transformation homogène du repère mobile vers le repère fixe s’écrit $T_{1/0}=\begin{pmatrix}R_{1/0}&r_A\\0_{1\times3}&1\end{pmatrix}$ et regroupe la rotation et la translation de l’origine du repère mobile.

📐 Formule - Le vecteur des vitesses généralisées est $\dot q=\frac{dq}{dt}$ et celui des accélérations généralisées est $\ddot q=\frac{d^2q}{dt^2}$; leurs trois premières composantes décrivent la translation de l’origine du repère mobile.

📐 Formule - Avec la convention d’Euler z−x′−z″, la vitesse angulaire s’écrit $\vec\omega=\dot\psi\vec k_0+\dot\theta\vec u+\dot\phi\vec k_1$, où $\vec u$ suit la ligne des nœuds.

📐 Formule - Dans le mouvement plan, les coordonnées d’un point P du solide vérifient $x_P=x_A+a\cos\theta-b\sin\theta$ et $y_P=y_A+a\sin\theta+b\cos\theta$, où (a,b) sont ses coordonnées dans le repère mobile.

📐 Formule - Pour un point P d’un solide en mouvement plan, l’accélération est $\vec a(P/R_0)=\vec a(A/R_0)+\vec\alpha\times\overrightarrow{AP}+\vec\omega\times(\vec\omega\times\overrightarrow{AP})$, avec $\vec\alpha=\ddot\theta\vec k_0$.

📐 Formule - Le nombre de degrés de liberté s’écrit $f=n-r$, où n est le nombre de coordonnées initiales et r le nombre de contraintes indépendantes, à condition que ces contraintes soient régulières et indépendantes.

📖 10. Champ des vitesses du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre instantané de rotation : Point d’un solide en mouvement plan dont la vitesse instantanée est nulle; à l’instant considéré, le champ des vitesses équivaut à celui d’une rotation autour de ce point.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points A et P d’un même solide indéformable, la relation fondamentale du champ des vitesses est $\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AP}$.

📌 Pour deux points A et P d’un même solide, leurs vitesses ont la même projection sur la droite qui les relie : $\vec V(P/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}=\vec V(A/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}$.

📌 En translation pure, la vitesse angulaire est nulle et tous les points du solide ont le même vecteur vitesse, tandis qu’en rotation autour d’un axe fixe les points de l’axe ont une vitesse nulle et les autres vérifient $V_P=\omega d(P,\Delta)$.

Compléments

📌 La vitesse d’un point P d’un solide est la somme de la vitesse de translation du point de référence A et de la contribution de rotation $\vec\omega\times\overrightarrow{AP}$.

• À un instant donné, le champ des vitesses d’un solide indéformable est un champ affine, car la vitesse de P dépend linéairement de sa position relative à A, à une translation près.

📐 Formule - En mouvement plan, si $\vec\omega=\dot\theta\vec k$, alors $V_{Px}=V_{Ax}-\dot\theta(y_P-y_A)$ et $V_{Py}=V_{Ay}+\dot\theta(x_P-x_A)$.

📖 11. Composition des vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse absolue : Vitesse d’un point mesurée dans le référentiel fixe R₀.
• Vitesse relative : Vitesse d’un point mesurée dans le référentiel mobile R₁.
• Vitesse d’entraînement : Vitesse qu’aurait, à l’instant considéré, le point coïncidant avec lui et solidaire du référentiel mobile R₁.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de composition des vitesses s’écrit $\vec V_a(P)=\vec V_r(P)+\vec V_e(P)$, soit $\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)+\vec V(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}$.

Compléments

📐 Formule - Si R₁ se déplace par rapport à R₀ avec une vitesse de translation de son origine O₁ et une vitesse angulaire $\vec\Omega_{1/0}$, la vitesse d’entraînement de P est $\vec V_e(P)=\vec V(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}$.

📖 12. Translation du référentiel mobile

📝 Points essentiels

📌 Lorsque le référentiel mobile R1 effectue une translation pure par rapport à R0, sa vitesse angulaire est nulle et la vitesse d’entraînement est égale à la vitesse de son origine O1.

📐 Formule - En translation pure du référentiel mobile, la composition des vitesses vérifie $\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)+\vec V(O_1/R_0)$.

📖 13. Torseurs cinématiques et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur cinématique : Le torseur cinématique de S2 par rapport à S1 au point A regroupe la vitesse angulaire de S2 par rapport à S1 et la vitesse relative du point A appartenant à S2.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points A et B d’un même solide, la vitesse de B est donnée par $\vec V(B,S/R)=\vec V(A,S/R)+\vec\Omega(S/R)\times\overrightarrow{AB}$.

📌 La composition des mouvements de trois solides vérifie $\{V(S_2/S_0)\}=\{V(S_2/S_1)\}+\{V(S_1/S_0)\}$, à condition d’exprimer les deux torseurs au même point de réduction.

Compléments

• Pour composer des torseurs exprimés en des points différents, on les transporte d’abord au même point de réduction, puis on additionne leurs composantes.

📐 Formule - Pour une chaîne de solides successifs, le torseur cinématique global vérifie $\{V(S_n/S_0)\}=\sum_{k=1}^{n}\{V(S_k/S_{k-1})\}$, tous les torseurs étant réduits au même point.

📌 Dans une liaison pivot parfaite d’axe (A, z), le mouvement relatif est une rotation autour de l’axe, tandis que dans une liaison glissière de direction x, il est une translation suivant cette direction.

📖 14. Composition des accélérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération de Coriolis : L’accélération de Coriolis est le terme qui apparaît lorsqu’un point se déplace dans un référentiel en rotation et dépend de la vitesse angulaire du référentiel et de la vitesse relative du point.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération absolue d’un point est la somme de ses accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis : $\vec a_a(P)=\vec a_r(P)+\vec a_e(P)+\vec a_c(P)$.

📐 Formule - L’accélération d’entraînement s’écrit $\vec a_e(P)=\vec a(O_1/R_0)+\dot{\vec\Omega}_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}+\vec\Omega_{1/0}\times(\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P})$.

📐 Formule - L’accélération de Coriolis vaut $\vec a_c(P)=2\vec\Omega_{1/0}\times\vec V_r(P)$ et sa norme vaut $a_c=2\Omega_{1/0}V_r\sin\theta$, où θ est l’angle entre les deux vecteurs.

Compléments

• L’accélération de Coriolis est nulle dans trois cas :
  • Le référentiel mobile ne tourne pas.
  • Le point est immobile relativement au référentiel mobile.
  • La vitesse relative et la vitesse angulaire sont parallèles.

📌 En translation pure du référentiel mobile, l’accélération angulaire et l’accélération de Coriolis sont nulles, donc $\vec a(P/R_0)=\vec a(P/R_1)+\vec a(O_1/R_0)$.

📐 Formule - Pour un point glissant radialement le long d’une tige en rotation plane, l’accélération absolue vaut $\vec a(P/R_0)=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec e_\theta$.

📖 15. Axes instantanés et surfaces axoïdes

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface axoïde fixe : La surface axoïde fixe est le lieu des axes instantanés du mouvement relatif, exprimés dans le référentiel lié au solide de référence S1.
• Pas instantané : Le pas instantané h du mouvement hélicoïdal est le rapport de la composante de la vitesse linéaire suivant l’axe instantané à la vitesse angulaire, soit $h=\frac{\vec\Omega_{2/1}\cdot\vec V(A,S_2/S_1)}{\|\vec\Omega_{2/1}\|^2}$ pour $\vec\Omega_{2/1}\ne\vec 0$.

📝 Points essentiels

📌 Lorsque les surfaces axoïdes fixe et mobile décrivent un mouvement instantané de rotation pure, elles sont tangentes suivant l’axe instantané commun et peuvent être interprétées comme roulant l’une sur l’autre sans glissement instantané.

📌 En rotation autour d’un axe fixe, la surface axoïde se réduit à cet axe, tandis qu’en translation pure le vecteur vitesse angulaire est nul et l’axe instantané n’est pas défini de la même manière.

💡 Astuce mémo

Axoïde fixe avec le solide de référence, axoïde mobile avec le solide mobile.

📖 16. Cinématique du mouvement plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement plan : Un solide est en mouvement plan lorsque ses points se déplacent dans des plans parallèles à un plan fixe et que sa vitesse angulaire est perpendiculaire à ces plans.

• Centre instantané de rotation : Lorsque la vitesse angulaire d’un solide en mouvement plan est non nulle, le centre instantané de rotation est le point du solide dont la vitesse est nulle à l’instant considéré.
• Équiprojectivité des vitesses : L’équiprojectivité des vitesses signifie que les projections des vitesses de deux points d’un même solide sur la droite qui les relie sont égales.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points A et B d’un même solide en mouvement plan, $\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\Omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AB}$.

Compléments

• Un solide en mouvement plan possède trois degrés de liberté : deux translations dans le plan et une rotation autour de la normale au plan.

• Pour déterminer graphiquement le centre instantané, on trace par deux points du solide les droites perpendiculaires à leurs vitesses ; leur intersection donne le centre si les droites ne sont pas parallèles.

📌 En translation pure, tous les points du solide ont la même vitesse, tandis qu’en rotation autour d’un point fixe ce point possède une vitesse nulle et sert de centre instantané.

📌 Pour une roue de rayon R roulant sans glissement sur un sol horizontal, le point de contact est instantanément immobile par rapport au sol et la vitesse du centre vérifie $V_O=R|\dot\theta|$.