QCM : Mécanique des torseurs (44 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un modèle de solide indéformable, que suppose-t-on au sujet des distances entre les particules du solide au cours du temps ?

Elles restent constantes seulement par rapport à un point fixe.
Elles restent constantes, les déformations étant négligées.
Elles varient selon la translation du solide.
Elles varient légèrement, les déformations étant limitées.

Elles restent constantes, les déformations étant négligées.

Explication

Le modèle de solide indéformable néglige les déformations et conserve les distances entre toutes les particules. L’idée de déformations limitées les autorise à varier, la référence à un point fixe ne concerne pas toutes les paires de particules, et la translation ne modifie pas les distances internes.

2. Une expérience porte sur un corps de dimensions très supérieures à l’échelle atomique, se déplaçant à une vitesse proche de celle de la lumière. Quel cadre théorique convient pour décrire son mouvement ?

La mécanique classique, car son mouvement reste macroscopique.
La mécanique classique, car ses dimensions dépassent l’échelle atomique.
La mécanique quantique, car toute vitesse élevée relève de l’échelle atomique.
La mécanique relativiste, car sa vitesse approche celle de la lumière.

La mécanique relativiste, car sa vitesse approche celle de la lumière.

Explication

La mécanique classique convient aux corps de taille supérieure à l’échelle atomique lorsque leur vitesse est très inférieure à celle de la lumière; une vitesse proche de cette limite relève de la mécanique relativiste. Le critère de taille seul ne suffit pas à justifier le cadre classique, et une vitesse élevée n’implique pas une échelle atomique.

3. Une mesure de température est donnée par un nombre, tandis qu’une vitesse requiert une direction, un sens et un module. Comment classer ces deux grandeurs ?

La température et la vitesse sont vectorielles.
La température et la vitesse sont scalaires.
La température est vectorielle et la vitesse est scalaire.
La température est scalaire et la vitesse est vectorielle.

La température est scalaire et la vitesse est vectorielle.

Explication

Une grandeur scalaire est décrite par un nombre seul, alors qu’une grandeur vectorielle exige une direction, un sens et un module. La vitesse n’est donc pas scalaire, et la température ne nécessite pas de direction ni de sens.

4. Une force appliquée à un solide indéformable est représentée par un vecteur dont l’origine peut se déplacer le long de sa droite support. De quel type de vecteur s’agit-il ?

Un vecteur lié.
Un vecteur libre.
Un vecteur axial.
Un vecteur glissant.

Un vecteur glissant.

Explication

Un vecteur glissant peut se déplacer le long de sa droite support, comme une force appliquée à un solide indéformable. Un vecteur libre a une origine arbitraire, tandis qu’un vecteur lié a une origine fixée en un point; « axial » désigne une autre distinction, liée à l’orientation du trièdre.

5. Dans une base orthonormée, on a u⃗=(2,1,0)\vec{u}=(2,1,0) et v⃗=(1,3,0)\vec{v}=(1,3,0). Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3
4
6
5

5

Explication

Le produit scalaire est la somme des produits des composantes correspondantes : 2×1+1×3+0×0=52\times1+1\times3+0\times0=5. La somme directe des composantes donne une autre opération, le produit vectoriel n’est pas demandé, et omettre la deuxième contribution donnerait une valeur erronée.

6. Dans un espace euclidien tridimensionnel, une application linéaire antisymétrique agit sur chaque vecteur u⃗\vec{u}. Quelle représentation unique peut-on lui associer ?

L(u⃗)=u⃗∧u⃗L(\vec{u})=\vec{u}\wedge\vec{u}, pour tout vecteur d’entrée
L(u⃗)=R⃗⋅u⃗L(\vec{u})=\vec{R}\cdot\vec{u}, avec un vecteur R⃗\vec{R} unique
L(u⃗)=R⃗∧u⃗L(\vec{u})=\vec{R}\wedge\vec{u}, avec un vecteur R⃗\vec{R} unique
L(u⃗)=R⃗1∧u⃗+R⃗2∧u⃗L(\vec{u})=\vec{R}_1\wedge\vec{u}+\vec{R}_2\wedge\vec{u}, avec deux vecteurs indépendants

$$L(\vec{u})=\vec{R}\wedge\vec{u}$$, avec un vecteur $$\vec{R}$$ unique

Explication

En dimension trois, toute application linéaire antisymétrique s’écrit de manière unique comme le produit vectoriel par un vecteur fixe. Le produit scalaire donne un scalaire, le produit d’un vecteur par lui-même est nul, et deux vecteurs indépendants ne sont pas nécessaires.

7. Un champ antisymétrique est caractérisé par le vecteur R⃗\vec{R}. Pour déterminer le vecteur au point PP à partir de celui au point QQ, quelle relation de transport faut-il appliquer ?

U⃗(P)=U⃗(Q)+QP→\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\overrightarrow{QP}
U⃗(P)=U⃗(Q)+R⃗∧PQ→\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\vec{R}\wedge\overrightarrow{PQ}
U⃗(P)=U⃗(Q)+R⃗∧QP→\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\vec{R}\wedge\overrightarrow{QP}
U⃗(P)=U⃗(Q)+QP→∧R⃗\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\overrightarrow{QP}\wedge\vec{R}

$$\vec{U}(P)=\vec{U}(Q)+\vec{R}\wedge\overrightarrow{QP}$$

Explication

Le transport d’un champ antisymétrique s’effectue en ajoutant R⃗∧QP→\vec{R}\wedge\overrightarrow{QP} au vecteur évalué en QQ. Employer PQ→\overrightarrow{PQ} inverse le déplacement, inverser les facteurs change le signe, et le déplacement seul n’est pas le terme de transport.

8. En un point de réduction AA, quels éléments définissent un torseur et quelle est leur dépendance au point ?

Deux résultantes générales indépendantes du point, sans moment de réduction
Une résultante générale et un moment qui sont tous deux indépendants du point
Une résultante générale dépendant du point et un moment indépendant du point de réduction
Une résultante générale indépendante du point et un moment dépendant du point de réduction

Une résultante générale indépendante du point et un moment dépendant du point de réduction

Explication

Un torseur est défini par sa résultante générale, qui ne dépend pas du point, et par son moment, qui dépend du point de réduction. La dépendance au point concerne donc le moment, et non la résultante.

9. Pour transporter le moment d’un torseur du point BB au point AA, avec la résultante R⃗\vec{R}, quelle expression faut-il utiliser ?

M⃗A=M⃗B+AB→\vec{M}_A=\vec{M}_B+\overrightarrow{AB}
M⃗A=M⃗B+AB→∧R⃗\vec{M}_A=\vec{M}_B+\overrightarrow{AB}\wedge\vec{R}
M⃗A=M⃗B+BA→∧R⃗\vec{M}_A=\vec{M}_B+\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}
M⃗A=M⃗B+R⃗∧AB→\vec{M}_A=\vec{M}_B+\vec{R}\wedge\overrightarrow{AB}

$$\vec{M}_A=\vec{M}_B+\overrightarrow{AB}\wedge\vec{R}$$

Explication

Le transport du moment de BB vers AA ajoute AB→∧R⃗\overrightarrow{AB}\wedge\vec{R} au moment en BB. Le vecteur opposé ou l’ordre inversé change le signe du terme, tandis que le déplacement seul ne représente pas le transport.

10. Un torseur est connu par sa résultante R⃗\vec{R} et son moment M⃗A\vec{M}_A au point AA. Quelle quantité constitue son automoment et reste inchangée si le point de réduction change ?

I=R⃗∧M⃗AI=\vec{R}\wedge\vec{M}_A
I=∥R⃗∥I=\|\vec{R}\|
I=M⃗A⋅AB→I=\vec{M}_A\cdot\overrightarrow{AB}
I=R⃗⋅M⃗AI=\vec{R}\cdot\vec{M}_A

$$I=\vec{R}\cdot\vec{M}_A$$

Explication

L’automoment est le produit scalaire de la résultante et du moment au point de réduction; il est indépendant de ce point. La norme de la résultante est un autre invariant, le produit vectoriel n’est pas un scalaire, et le déplacement entre points ne définit pas l’automoment.

11. Deux torseurs non nuls sont caractérisés ainsi : le torseur X a une résultante nulle et un moment identique en tout point; le torseur Y a une résultante non nulle et un automoment nul. Comment les classer ?

X et Y sont des couples
X est un couple et Y est un glisseur
X et Y sont des glisseurs
X est un glisseur et Y est un couple

X est un couple et Y est un glisseur

Explication

Un couple a une résultante nulle et conserve le même moment en tout point; un glisseur non nul a une résultante non nulle et un automoment nul. La confusion entre ces catégories échange précisément leurs caractéristiques distinctives.

12. Pour un torseur dont la résultante est non nulle, quelle propriété caractérise les points appartenant à son axe central ?

Le moment en ces points est nul
Le moment en ces points est colinéaire à la résultante
Le moment en ces points est orthogonal à la résultante
Le moment en ces points est égal à la résultante

Le moment en ces points est colinéaire à la résultante

Explication

L’axe central rassemble les points où le moment est colinéaire à la résultante non nulle. L’orthogonalité confond deux relations vectorielles, l’égalité identifie à tort deux grandeurs distinctes, et le moment nul caractérise un cas particulier de glisseur.

13. Un point Q se trouve à une distance r de l’axe central d’un torseur non glisseur, avec une résultante de norme R et un pas τ. Quelle expression donne la norme du moment en Q ?

τ2R2+R2r2\sqrt{\tau^2R^2+R^2r^2}
τR+Rr\tau R+Rr
∣τ∣R|\tau|R
RrRr

$$\sqrt{\tau^2R^2+R^2r^2}$$

Explication

Les composantes longitudinale et orthoradiale du moment sont orthogonales, donc leurs normes au carré s’additionnent : ∥M⃗Q∥=τ2R2+R2r2\|\vec{M}_Q\|=\sqrt{\tau^2R^2+R^2r^2}. RrRr oublie le pas, ∣τ∣R|\tau|R oublie l’écart à l’axe, et τR+Rr\tau R+Rr additionne directement les composantes.

14. Un torseur dépend du paramètre s et est réduit en un point mobile A(s). Quelle expression donne le moment de sa dérivée par rapport à s ?

dM⃗Ads+v⃗A∧R⃗\frac{d\vec{M}_A}{ds}+\vec{v}_A\wedge\vec{R}
dM⃗Ads−v⃗A∧R⃗\frac{d\vec{M}_A}{ds}-\vec{v}_A\wedge\vec{R}
dM⃗Ads+R⃗∧v⃗A\frac{d\vec{M}_A}{ds}+\vec{R}\wedge\vec{v}_A
dM⃗Ads\frac{d\vec{M}_A}{ds}

$$\frac{d\vec{M}_A}{ds}+\vec{v}_A\wedge\vec{R}$$

Explication

La dérivation d’un torseur réduit en un point mobile ajoute au taux de variation du moment le terme de transport v⃗A∧R⃗\vec{v}_A\wedge\vec{R}. L’expression sans correction néglige le mouvement de A, le signe moins inverse cette correction et R⃗∧v⃗A\vec{R}\wedge\vec{v}_A inverse l’ordre du produit vectoriel.

15. Un système matériel de masse totale m est en mouvement par rapport à R. Quelle grandeur constitue la résultante de son torseur cinétique ?

σ⃗A(S/R)\vec{\sigma}_A(S/R)
mγ⃗(G/R)m\vec{\gamma}(G/R)
mv⃗(A/R)m\vec{v}(A/R)
mv⃗(G/R)m\vec{v}(G/R)

$$m\vec{v}(G/R)$$

Explication

La résultante du torseur cinétique est la quantité de mouvement du système, soit sa masse totale multipliée par la vitesse du centre d’inertie G. mγ⃗(G/R)m\vec{\gamma}(G/R) correspond à la résultante dynamique, σ⃗A(S/R)\vec{\sigma}_A(S/R) est un moment, et la vitesse de A ne remplace pas celle de G.

16. Dans un référentiel R, le torseur dynamique d’un système matériel est défini comme la dérivée temporelle de quel torseur ?

Le torseur cinétique du système
Le torseur statique du système
Le torseur cinétique dérivé selon une coordonnée spatiale
Le torseur des forces extérieures

Le torseur cinétique du système

Explication

Le torseur dynamique est, par définition, la dérivée temporelle dans R du torseur cinétique. Le torseur statique et celui des forces extérieures sont d’autres notions, tandis qu’une dérivée spatiale ne correspond pas à la définition temporelle.

17. Un système matériel se déplace dans R. Dans lequel des cas suivants le terme correcteur reliant le moment dynamique au taux de variation temporelle du moment cinétique en A s’annule-t-il ?

G est fixe dans R tandis qu'A se déplace
Les vitesses de A et G sont perpendiculaires
Les vitesses de A et G ont des normes égales mais des directions différentes
A est fixe dans R

A est fixe dans R

Explication

Si A est fixe dans R, sa vitesse est nulle et le terme correcteur s’annule. Un G fixe ne garantit pas qu'A soit fixe, des vitesses perpendiculaires produisent généralement un produit vectoriel non nul, et des normes égales avec des directions différentes ne suffisent pas à l’annuler.

18. Deux torseurs sont réduits au même point A. Leurs résultantes sont égales, mais leurs moments en A diffèrent. Quelle conclusion s’impose ?

Ils ne sont pas égaux, car leurs moments en A diffèrent
Ils sont égaux si leurs moments diffèrent d’une constante
Leur égalité dépend du choix d’un autre point de réduction
Ils sont égaux, car leurs résultantes sont égales

Ils ne sont pas égaux, car leurs moments en A diffèrent

Explication

Deux torseurs sont égaux si et seulement si leurs résultantes et leurs moments au même point de réduction sont égaux. L’égalité des résultantes seule ne suffit pas, et comparer des moments en des points différents ne respecte pas ce critère.

19. Un torseur possède une résultante non nulle et un automoment non nul. Dans quelle catégorie se classe-t-il si son pas est non nul ?

Un torseur couple
Un torseur hélicoïdal à pas non nul
Un torseur glisseur
Un torseur nul

Un torseur hélicoïdal à pas non nul

Explication

Un torseur hélicoïdal à pas non nul a une résultante et un automoment non nuls. Le glisseur a un automoment nul, le couple a une résultante nulle et le torseur nul a une résultante ainsi qu’un moment nuls.

20. Un ensemble de pièces réalise une fonction, tandis qu’un assemblage de solides reliés impose des mouvements relatifs déterminés. Comment distinguer ces deux notions ?

Le premier est un système mécanique et le second un mécanisme
Le premier est un mécanisme et le second un système mécanique
Le premier est une machine et le second un système mécanique
Le premier est un mécanisme et le second une machine

Le premier est un système mécanique et le second un mécanisme

Explication

Un système mécanique est un ensemble de pièces ou de solides réalisant une fonction, tandis qu’un mécanisme est un assemblage relié par des liaisons qui déterminent les mouvements relatifs. La machine peut comporter un ou plusieurs mécanismes, mais ce n’est pas la distinction décrite ici.

21. Dans un mécanisme, une pièce doit pouvoir tourner autour d’un axe tout en coulissant suivant ce même axe. Quelle liaison convient ?

Une liaison rotule
Une liaison pivot
Une liaison pivot-glissant
Une liaison glissière

Une liaison pivot-glissant

Explication

La liaison pivot-glissant autorise à la fois une rotation et une translation suivant un même axe. La pivot autorise une rotation autour d’un axe, la glissière une translation suivant une direction et la rotule des rotations autour d’un point commun.

22. Pour décrire la configuration d’un mécanisme, une équipe choisit le plus petit ensemble de variables suffisant. Comment appelle-t-on cette démarche ?

Le choix du référentiel d’étude
Le calcul du degré de liberté
Le paramétrage du mécanisme
La définition des liaisons mécaniques

Le paramétrage du mécanisme

Explication

Le paramétrage consiste à choisir un ensemble minimal de variables, appelées paramètres de configuration, pour décrire la configuration du mécanisme. Le degré de liberté désigne le nombre de paramètres indépendants nécessaires, et non la démarche de leur choix.

23. Pour définir entièrement la configuration d’un mécanisme, il faut connaître trois paramètres indépendants. Quel est son degré de liberté ?

Un nombre égal au nombre de liaisons
Trois
Un nombre égal au nombre de solides mobiles
Le nombre total de paramètres, indépendants ou non

Trois

Explication

Le degré de liberté est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour définir la configuration du mécanisme; ici, il vaut donc trois. Le nombre de solides mobiles ou de liaisons ne définit pas directement cette quantité.

24. Combien de coordonnées globales faut-il pour décrire la configuration d’un solide libre dans l’espace, et comment se répartissent-elles ?

Six : deux translations et quatre rotations
Trois : deux translations et une rotation
Cinq : trois translations et deux rotations
Six : trois translations et trois rotations

Six : trois translations et trois rotations

Explication

Un solide libre dans l’espace possède six coordonnées globales : trois décrivent les translations et trois les rotations. La répartition « deux translations et une rotation » correspond au mouvement plan ; cinq coordonnées oublient une rotation, tandis que « deux translations et quatre rotations » déforme la répartition.

25. Un point P est fixé dans un solide dont le repère mobile a pour origine A. Quelle relation permet de déterminer la position de P dans le repère fixe à partir de celle de A et de l’orientation du solide ?

OP→=OA→+RAP→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+R\overrightarrow{AP}
OP→=ROA→+AP→\overrightarrow{OP}=R\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}
OP→=OA→+AP→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}
OP→=RAP→−OA→\overrightarrow{OP}=R\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{OA}

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+R\overrightarrow{AP}$$

Explication

La position fixe de P s’obtient en ajoutant à la position de A le vecteur AP exprimé dans le repère fixe, donc transformé par R. L’addition directe de AP ignore l’orientation, la soustraction inverse le rôle de OA, et la dernière relation fait tourner OA à la place de AP.

26. Dans un solide indéformable, un point P est situé à distance du point A et le solide tourne avec une vitesse angulaire autour d’un axe perpendiculaire à AP. Quelle relation donne la vitesse de P à partir de celle de A ?

V⃗(P/R0)=V⃗(A/R0)+ω⃗(S/R0)×AP→\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AP}
V⃗(P/R0)=V⃗(A/R0)\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)
V⃗(P/R0)=V⃗(A/R0)+ω⃗(S/R0)+AP→\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\omega(S/R_0)+\overrightarrow{AP}
V⃗(P/R0)=V⃗(A/R0)+AP→×ω⃗(S/R0)\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)+\overrightarrow{AP}\times\vec\omega(S/R_0)

$$\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AP}$$

Explication

La vitesse de P est la somme de la vitesse de référence A et de la contribution de rotation, donnée par ω⃗×AP→\vec\omega\times\overrightarrow{AP}. L’égalité des vitesses oublie la rotation, le produit inversé change le signe, et l’addition directe mélange des grandeurs de nature différente.

27. Deux points A et P appartiennent au même solide indéformable. Quelle égalité doit vérifier la projection de leurs vitesses sur la droite AP ?

V⃗(P/R0)=V⃗(A/R0)\vec V(P/R_0)=\vec V(A/R_0)
V⃗(P/R0)⋅AP→=V⃗(A/R0)⋅AP→\vec V(P/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}=\vec V(A/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}
V⃗(P/R0)⋅ω⃗=V⃗(A/R0)⋅ω⃗\vec V(P/R_0)\cdot\vec\omega=\vec V(A/R_0)\cdot\vec\omega
V⃗(P/R0)⋅AP→=0etV⃗(A/R0)⋅AP→=0\vec V(P/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}=0\quad\text{et}\quad\vec V(A/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}=0

$$\vec V(P/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}=\vec V(A/R_0)\cdot\overrightarrow{AP}$$

Explication

Pour deux points d’un même solide, leurs vitesses ont la même projection sur la droite qui les relie. Des projections toutes deux nulles ne sont pas imposées, l’équiprojectivité n’exige pas des vecteurs vitesses égaux et elle porte sur AP, non sur la direction de la vitesse angulaire.

28. Un solide effectue une translation pure, puis un autre tourne autour d’un axe fixe. Quelle description distingue correctement les vitesses de leurs points ?

En translation, la vitesse angulaire est non nulle et les vitesses sont identiques ; en rotation, l’axe est immobile et la vitesse dépend de la distance à l’axe.
En translation, la vitesse angulaire est nulle et les vitesses sont identiques ; en rotation, l’axe est immobile et la vitesse dépend de la distance à A.
En translation, la vitesse angulaire est nulle et les vitesses sont identiques ; en rotation, l’axe est immobile et la vitesse dépend de la distance à l’axe.
En translation, la vitesse angulaire est nulle et les vitesses sont identiques ; en rotation, les points de l’axe se déplacent à la vitesse maximale.

En translation, la vitesse angulaire est nulle et les vitesses sont identiques ; en rotation, l’axe est immobile et la vitesse dépend de la distance à l’axe.

Explication

En translation pure, tous les points ont le même vecteur vitesse et la vitesse angulaire est nulle. Lors d’une rotation autour d’un axe fixe, les points de l’axe sont immobiles et la norme de la vitesse d’un autre point vaut VP=ωd(P,Δ)V_P=\omega d(P,\Delta) ; la distance pertinente est celle à l’axe, et non à A.

29. Un observateur mesure le mouvement de P dans le référentiel fixe R₀. Comment nomme-t-on cette vitesse ?

La vitesse d’entraînement
La vitesse angulaire
La vitesse absolue
La vitesse relative

La vitesse absolue

Explication

La vitesse absolue est celle de P mesurée dans le référentiel fixe R₀. La vitesse relative est mesurée dans R₁, tandis que la vitesse d’entraînement correspond au mouvement associé au référentiel mobile.

30. Dans quel référentiel la vitesse relative d’un point P est-elle mesurée ?

Dans le référentiel fixe R₀
Dans le référentiel mobile R₁
Dans un référentiel défini par la vitesse angulaire
Dans le référentiel lié au point O₀

Dans le référentiel mobile R₁

Explication

La vitesse relative de P est sa vitesse mesurée dans le référentiel mobile R₁. La mesure dans R₀ définit la vitesse absolue, et la vitesse d’entraînement décrit le mouvement dû au référentiel mobile.

31. Un référentiel mobile R₁ se déplace par rapport à R₀, et un point P y possède une vitesse relative non nulle. Quelle relation donne sa vitesse absolue en tenant compte du mouvement de rotation de R₁ ?

V⃗(P/R1)=V⃗(P/R0)+V⃗(O1/R0)+Ω⃗1/0×O1P→\vec V(P/R_1)=\vec V(P/R_0)+\vec V(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}
V⃗(P/R0)=V⃗(P/R1)+V⃗(O1/R0)+Ω⃗1/0×O1P→\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)+\vec V(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}
V⃗(P/R0)=V⃗(P/R1)\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)
V⃗(P/R0)=V⃗(P/R1)+Ω⃗1/0×O1P→\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}

$$\vec V(P/R_0)=\vec V(P/R_1)+\vec V(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}$$

Explication

La vitesse absolue est la somme de la vitesse relative et de la vitesse d’entraînement, qui comprend la translation de O₁ et le terme de rotation. La relation sans terme d’entraînement l’omet, l’égalité inversée confond les vitesses absolue et relative, et la dernière expression oublie la translation de O₁.

32. Un référentiel R₁ effectue une translation pure par rapport à R₀. Quelle description du mouvement de P est alors correcte ?

La vitesse angulaire est non nulle et la vitesse d’entraînement de P égale celle de O₁
La vitesse angulaire est nulle et la vitesse d’entraînement de P dépend de sa position par rapport à O₁
La vitesse angulaire est nulle et la vitesse d’entraînement de P égale celle de O₁
La vitesse angulaire est nulle et la vitesse d’entraînement de P est nulle

La vitesse angulaire est nulle et la vitesse d’entraînement de P égale celle de O₁

Explication

En translation pure, le référentiel mobile n’a pas de vitesse angulaire et la vitesse d’entraînement est celle de son origine O₁. Une vitesse angulaire ou une dépendance à la position correspondrait à un mouvement de rotation; annuler la vitesse d’entraînement confond translation pure et repos.

33. Un chariot en translation pure se déplace selon V⃗(O1/R0)=4i⃗ m⋅s−1\vec V(O_1/R_0)=4\vec i\,\text{m·s}^{-1} et un point P a la vitesse relative V⃗(P/R1)=3j⃗ m⋅s−1\vec V(P/R_1)=3\vec j\,\text{m·s}^{-1}. Quelle est la vitesse absolue de P ?

3j⃗ m⋅s−13\vec j\,\text{m·s}^{-1}
4i⃗+3j⃗+Ω⃗1/0×O1P→ m⋅s−14\vec i+3\vec j+\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}\,\text{m·s}^{-1}
4i⃗−3j⃗ m⋅s−14\vec i-3\vec j\,\text{m·s}^{-1}
4i⃗+3j⃗ m⋅s−14\vec i+3\vec j\,\text{m·s}^{-1}

$$4\vec i+3\vec j\,\text{m·s}^{-1}$$

Explication

En translation pure, la vitesse absolue est la somme vectorielle des vitesses relative et de l’origine : 4i⃗+3j⃗ m⋅s−14\vec i+3\vec j\,\text{m·s}^{-1}. La soustraction inverse le sens de la contribution relative, l’option ne gardant que 3j⃗3\vec j omet le mouvement du chariot, et le terme de rotation ne s’applique pas à une translation pure.

34. Dans un mécanisme, que regroupe le torseur cinématique de S₂ par rapport à S₁ réduit au point A ?

La vitesse angulaire relative et la vitesse du point A appartenant à S₁
La vitesse angulaire relative et la vitesse relative du point A appartenant à S₂
L’accélération angulaire relative et la vitesse relative du point A appartenant à S₂
La vitesse angulaire relative et la vitesse relative d’un point quelconque, indépendante de la réduction

La vitesse angulaire relative et la vitesse relative du point A appartenant à S₂

Explication

Le torseur rassemble la vitesse angulaire relative et la vitesse du point de S₂ où il est réduit. L’accélération angulaire confond vitesse et accélération, le point de S₁ n’est pas le point défini, et la vitesse linéaire dépend généralement du point de réduction.

35. Sur un solide en mouvement, on connaît la vitesse de A, la vitesse angulaire du solide et les vecteurs reliant A à B. Quelle relation permet de déterminer la vitesse de B ?

V⃗(B)=V⃗(A)\vec V(B)=\vec V(A)
V⃗(B)=V⃗(A)+Ω⃗×AB→\vec V(B)=\vec V(A)+\vec\Omega\times\overrightarrow{AB}
V⃗(B)=V⃗(A)+Ω⃗⋅AB→\vec V(B)=\vec V(A)+\vec\Omega\cdot\overrightarrow{AB}
V⃗(B)=V⃗(A)+Ω⃗×BA→\vec V(B)=\vec V(A)+\vec\Omega\times\overrightarrow{BA}

$$\vec V(B)=\vec V(A)+\vec\Omega\times\overrightarrow{AB}$$

Explication

La vitesse de B s’obtient en ajoutant à celle de A le terme de rotation Ω⃗×AB→\vec\Omega\times\overrightarrow{AB}. Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} inverse le sens de la contribution, l’égalité sans terme omet la rotation et le produit scalaire n’est pas la relation de changement de point.

36. Pour déterminer le mouvement de S₂ par rapport à S₀ à partir des mouvements relatifs de S₂ par rapport à S₁ et de S₁ par rapport à S₀, comment faut-il composer les torseurs ?

Additionner le torseur de S₁ par rapport à S₀ à celui de S₀ par rapport à S₂
Les additionner après les avoir exprimés au même point de réduction
Les additionner en conservant leurs points de réduction distincts
Soustraire le torseur de S₁ par rapport à S₀ de l’autre torseur

Les additionner après les avoir exprimés au même point de réduction

Explication

La composition donne le torseur de S₂ par rapport à S₀ comme somme des deux mouvements successifs, à condition que les torseurs soient réduits au même point. Garder des points distincts viole cette condition, tandis que la soustraction et l’inversion de l’ordre ne décrivent pas la composition indiquée.

37. Un point possède, dans une étude de mouvement relatif, une accélération relative, une accélération d’entraînement et une accélération de Coriolis. Comment obtient-on son accélération absolue ?

En additionnant les accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis
En additionnant les accélérations d’entraînement et de Coriolis, sans la relative
En additionnant les accélérations relative et d’entraînement, sans Coriolis
En additionnant les accélérations relative et d’entraînement, puis en soustrayant Coriolis

En additionnant les accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis

Explication

L’accélération absolue est la somme des trois contributions : relative, d’entraînement et de Coriolis. Omettre Coriolis ou l’accélération relative retire un terme requis, et la soustraire au lieu de l’additionner change la règle de composition.

38. Un référentiel mobile a une origine accélérée, une vitesse angulaire variable et une rotation instantanée non nulle. Quelle expression donne l’accélération d’entraînement d’un point P ?

a⃗(O1/R0)+Ω⃗˙1/0×O1P→+Ω⃗1/0×(Ω⃗1/0×O1P→)\vec a(O_1/R_0)+\dot{\vec\Omega}_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}+\vec\Omega_{1/0}\times(\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P})
V⃗r(P)+Ω⃗˙1/0×O1P→+Ω⃗1/0×(Ω⃗1/0×O1P→)\vec V_r(P)+\dot{\vec\Omega}_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}+\vec\Omega_{1/0}\times(\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P})
a⃗(O1/R0)+Ω⃗˙1/0×O1P→\vec a(O_1/R_0)+\dot{\vec\Omega}_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}
a⃗(O1/R0)+Ω⃗1/0×(Ω⃗1/0×O1P→)\vec a(O_1/R_0)+\vec\Omega_{1/0}\times(\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P})

$$\vec a(O_1/R_0)+\dot{\vec\Omega}_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P}+\vec\Omega_{1/0}\times(\vec\Omega_{1/0}\times\overrightarrow{O_1P})$$

Explication

L’accélération d’entraînement comprend l’accélération de l’origine, le terme tangentiel associé à la variation de la vitesse angulaire et le terme centripète. L’expression sans terme centripète omet l’effet de la rotation, celle sans terme tangentiel néglige sa variation, et V⃗r(P)\vec V_r(P) n’est pas l’accélération de l’origine.

39. Un point se déplace à vitesse relative perpendiculaire à la vitesse angulaire d’un référentiel en rotation. Quelle est la norme de son accélération de Coriolis ?

2(Ω1/0+Vr)2(\Omega_{1/0}+V_r)
Ω1/0Vr\Omega_{1/0}V_r
00
2Ω1/0Vr2\Omega_{1/0}V_r

$$2\Omega_{1/0}V_r$$

Explication

La norme vaut 2Ω1/0Vrsin⁡θ2\Omega_{1/0}V_r\sin\theta; pour des vecteurs perpendiculaires, sin⁡θ=1\sin\theta=1, d’où 2Ω1/0Vr2\Omega_{1/0}V_r. La valeur sans facteur deux l’oublie, zéro correspondrait à des vecteurs parallèles, et une somme des normes ne représente pas le produit vectoriel.

40. Pour décrire le lieu des axes instantanés du mouvement de S2 par rapport à S1, quel référentiel faut-il utiliser pour définir la surface axoïde fixe ?

Un référentiel indépendant des deux solides
Le référentiel lié à S1
Un référentiel lié à l’axe instantané
Le référentiel lié à S2

Le référentiel lié à S1

Explication

La surface axoïde fixe rassemble les axes instantanés exprimés dans le référentiel du solide de référence S1. La surface axoïde mobile est décrite dans S2, tandis que l’axe instantané désigne un axe à un instant donné, et non le lieu de ses positions successives.

41. À un instant donné, les surfaces axoïdes fixe et mobile correspondent à une rotation pure. Quelle relation géométrique décrit leur contact instantané ?

Elles sont tangentes suivant l’axe instantané commun et roulent sans glissement instantané
Elles sont tangentes suivant une droite distincte de l’axe instantané commun
Elles se coupent en un point isolé et glissent le long de l’axe instantané
Elles sont parallèles et roulent sans glissement instantané

Elles sont tangentes suivant l’axe instantané commun et roulent sans glissement instantané

Explication

En rotation pure instantanée, les surfaces axoïdes sont tangentes suivant leur axe instantané commun et leur mouvement se représente comme un roulement sans glissement instantané. Une intersection ponctuelle ou des surfaces parallèles ne décrivent pas cette géométrie; le roulement géométrique ne garantit pas, à lui seul, une liaison physique sans glissement.

42. Un mécanisme entraîne chaque point d’un solide dans un plan parallèle au plan fixe PP. Quelle condition doit satisfaire la vitesse angulaire pour que le mouvement soit plan ?

Être parallèle au plan PP
Être perpendiculaire au plan PP
Être parallèle à la trajectoire d’un point du solide
Être nulle à chaque instant

Être perpendiculaire au plan $$P$$

Explication

Dans un mouvement plan, les points se déplacent dans des plans parallèles à un plan fixe et la vitesse angulaire est perpendiculaire à ces plans. Une direction contenue dans le plan ou une vitesse angulaire nécessairement nulle ne caractérise pas cette définition.

43. Deux points A et B appartiennent au même solide en mouvement plan. Si l’on connaît la vitesse de A, la vitesse angulaire du solide et le vecteur AB→\overrightarrow{AB}, quelle relation permet de déterminer la vitesse de B ?

V⃗(B/R0)=V⃗(A/R0)\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)
V⃗(B/R0)=V⃗(A/R0)+Ω⃗(S/R0)×BA→\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\Omega(S/R_0)\times\overrightarrow{BA}
V⃗(B/R0)=V⃗(A/R0)+Ω⃗(S/R0)+AB→\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\Omega(S/R_0)+\overrightarrow{AB}
V⃗(B/R0)=V⃗(A/R0)+Ω⃗(S/R0)×AB→\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\Omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AB}

$$\vec V(B/R_0)=\vec V(A/R_0)+\vec\Omega(S/R_0)\times\overrightarrow{AB}$$

Explication

Pour deux points d’un même solide, la vitesse de B s’obtient en ajoutant à celle de A le terme de rotation Ω⃗×AB→\vec\Omega\times\overrightarrow{AB}. Employer BA→\overrightarrow{BA} inverse le signe de ce terme; omettre la rotation ou additionner directement des grandeurs de nature différente ne convient pas.

44. À un instant donné, la vitesse angulaire d’un solide en mouvement plan est non nulle. Quel point du solide est son centre instantané de rotation à cet instant ?

Le point dont la vitesse est maximale
Le point dont la vitesse est nulle
Le centre de masse du solide
Le point dont la vitesse égale celle d’un point de référence

Le point dont la vitesse est nulle

Explication

Lorsque la vitesse angulaire est non nulle, le centre instantané de rotation est le point du solide dont la vitesse est nulle à l’instant considéré. Il ne se définit pas par une vitesse maximale, par la vitesse d’un point de référence ni par le centre de masse.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 89 flashcards sur Mécanique des torseurs.

Que suppose le modèle du solide indéformable concernant ses particules ?

Les distances entre toutes ses particules restent constantes au cours du temps.

À quels corps la mécanique classique s’applique-t-elle selon leurs dimensions ?

Aux corps de dimensions supérieures à l’échelle atomique.

Quelles caractéristiques distinguent une grandeur scalaire d’une grandeur vectorielle ?

Une grandeur scalaire est caractérisée par un nombre seul ; une grandeur vectorielle nécessite une direction, un sens et un module.

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