QCM : Mesure du rayon terrestre par Ératosthène — 12 questions

Question 1

1. Que se passe-t-il à Syène à midi le jour du solstice d’été ?

Les rayons solaires sont verticaux et éclairent le fond d’un puits

Les rayons solaires sont obliques et forment une ombre dans le puits

Les rayons solaires arrivent horizontalement et éclairent la paroi du puits

Le Soleil reste proche de l’horizon et le puits demeure entièrement sombre

Explication

À Syène, les rayons solaires sont verticaux à midi au solstice d’été, ce qui permet d’éclairer le fond d’un puits. L’idée d’une ombre dans le puits correspond plutôt à une situation où le Soleil n’est pas au zénith.

Answer

Les rayons solaires sont verticaux et éclairent le fond d’un puits

Question 2

2. Pourquoi Alexandrie permet-elle de comparer la position du Soleil avec celle observée à Syène au même moment ?

Elle se trouve plus au nord et à une longitude différente, avec un Soleil également au zénith

Elle se trouve à la même latitude que Syène, mais à une longitude différente, sans ombre observable

Elle se trouve plus au sud, à une longitude différente, et les objets y projettent une ombre

Elle se trouve plus au nord, à la même longitude que Syène, et les objets y projettent une ombre

Explication

Alexandrie est située plus au nord que Syène et à la même longitude ; le Soleil n’y est pas au zénith, si bien que les objets projettent une ombre. Dire que le Soleil y est aussi au zénith contredit l’observation utilisée par Ératosthène.

Answer

Elle se trouve plus au nord, à la même longitude que Syène, et les objets y projettent une ombre

Question 3

3. Quelle mesure fournit l’ombre d’un gnomon à Alexandrie ?

Un angle de 7,2° entre les rayons solaires et la verticale du lieu

Un angle de 7,2° entre les rayons solaires et l’horizontale du lieu

Un angle de 5 000° entre la verticale et la direction de Syène

Un angle de 90° entre les rayons solaires et la verticale du lieu

Explication

L’ombre du gnomon à Alexandrie permet de mesurer un angle de 7,2° entre les rayons solaires et la verticale locale. L’angle droit décrirait des rayons horizontaux, ce qui ne correspond pas à l’observation.

Answer

Un angle de 7,2° entre les rayons solaires et la verticale du lieu

Question 4

4. Quelle distance entre Syène et Alexandrie est utilisée dans le calcul d’Ératosthène ?

5 000 stades égyptiens, avec un stade égal à 157,5 m

157,5 stades égyptiens, avec un stade égal à 5 000 m

5 000 mètres, avec un stade égal à 157,5 km

787,5 stades égyptiens, avec un stade égal à 5 000 m

Explication

La distance estimée entre les deux villes est de 5 000 stades égyptiens, chaque stade mesurant 157,5 m. Le stade désigne une unité de distance, tandis que 5 000 stades représentent la distance totale.

Answer

5 000 stades égyptiens, avec un stade égal à 157,5 m

Question 5

5. Quelle distance obtient-on en convertissant 5 000 stades de 157,5 m en kilomètres ?

787,5 km

39 375 km

78,75 km

7 875 km

Explication

Le calcul donne $5000 \times 157{,}5 = 787500\ \text{m} = 787{,}5\ \text{km}$ . La valeur de 39 375 km correspond à la circonférence terrestre calculée ensuite, et non à la distance entre les deux villes.

Answer

Le Soleil est assez éloigné pour que ses rayons atteignent la Terre sous forme de faisceaux parallèles

Answer

À l’angle au centre de la Terre qui intercepte l’arc entre Alexandrie et Syène

Answer

Parce que les rayons solaires parallèles relient la différence d’inclinaison des verticales à l’angle central

Answer

$$\frac{1}{50}$$ de la circonférence

Answer

Environ 39 375 km

Answer

$$R=\frac{39375}{2\pi}\approx 6268\ \text{km}$$

Answer

Elle est proche, avec environ 6 268 km contre 6 371 km

Question 6

6. Quelle hypothèse concernant le Soleil Ératosthène utilise-t-il pour comparer les observations de Syène et d’Alexandrie ?

Le Soleil éclaire Syène et Alexandrie avec des rayons perpendiculaires aux reliefs locaux

Le Soleil est assez éloigné pour que ses rayons atteignent la Terre sous forme de faisceaux parallèles

Le Soleil est assez proche pour que ses rayons convergent vers chaque ville depuis des directions différentes

Le Soleil se déplace autour de la Terre en suivant une trajectoire parallèle au sol pendant le solstice

Explication

Ératosthène suppose que la grande distance du Soleil rend ses rayons pratiquement parallèles lorsqu’ils atteignent la Terre. Si les rayons convergeaient fortement vers chaque ville, l’angle observé ne pourrait pas être relié de la même manière à la courbure terrestre.

Question 7

7. À quel angle terrestre l’angle de 7,2° mesuré à Alexandrie correspond-il ?

À l’angle au centre de la Terre qui intercepte l’arc entre Alexandrie et Syène

À l’angle formé par la distance entre les deux villes et la surface horizontale d’Alexandrie

À l’angle entre l’ombre du gnomon et le sol au moment du solstice d’été

À l’angle au centre du Soleil qui sépare les directions de Syène et d’Alexandrie

Explication

L’angle de 7,2° correspond à l’angle au centre de la Terre interceptant l’arc reliant Alexandrie à Syène. Il ne s’agit pas d’un angle au centre du Soleil, car le raisonnement porte sur la géométrie terrestre.

Question 8

8. Pourquoi l’angle mesuré à Alexandrie peut-il être assimilé à l’angle formé au centre de la Terre par les verticales des deux villes ?

Parce que les rayons solaires parallèles relient la différence d’inclinaison des verticales à l’angle central

Parce que les rayons solaires convergents rendent les deux verticales perpendiculaires aux mêmes surfaces locales

Parce que les deux villes sont séparées par une distance qui forme directement un angle droit au centre terrestre

Parce que le gnomon d’Alexandrie mesure directement la circonférence entière de la Terre

Explication

Des rayons solaires parallèles font que l’écart d’orientation observé à Alexandrie reflète l’écart entre les verticales locales de Syène et d’Alexandrie. Le gnomon ne mesure pas directement toute la circonférence terrestre ; il fournit un angle utilisé dans son calcul.

Question 9

9. Quelle fraction de la circonférence terrestre l’angle de 7,2° représente-t-il ?

\frac{1}{5}

de la circonférence

\frac{1}{50}

de la circonférence

\frac{1}{25}

de la circonférence

\frac{1}{100}

de la circonférence

Explication

L’angle de 7,2° correspond au rapport $\frac{7{,}2}{360}=\frac{1}{50}$ , car 360° représente le tour complet. La fraction $\frac{1}{25}$ correspondrait à un angle deux fois plus grand, soit 14,4°.

Question 10

10. Quelle circonférence du méridien obtient-on en utilisant une distance de 787,5 km correspondant à un angle de 7,2° ?

Environ 5 468 km

Environ 103 km

Environ 39 375 km

Environ 6 268 km

Explication

La circonférence se calcule par $787{,}5\times\frac{360}{7{,}2}=39\,375\ \text{km}$ . La valeur de 787,5 km désigne la distance correspondant à l’angle mesuré, et non la circonférence complète.

Question 11

11. Quelle expression permet de calculer le rayon terrestre à partir d’une circonférence de 39 375 km ?

R=\frac{39375}{2\pi}\approx 6268\ \text{km}

R=\frac{39375}{\pi}\approx 12536\ \text{km}

R=\frac{2\pi}{39375}\approx 0{,}00016\ \text{km}

R=39375\times 2\pi\approx 247500\ \text{km}

Explication

Pour un cercle, la circonférence vérifie $C=2\pi R$ , donc $R=\frac{C}{2\pi}$ et vaut ici environ 6 268 km. Diviser par $\pi$ omet le facteur 2 présent dans la relation entre rayon et circonférence.

Question 12

12. Comment l’estimation du rayon terrestre obtenue par Ératosthène se compare-t-elle à l’estimation actuelle ?

Elle est supérieure, avec environ 12 742 km contre 6 371 km

Elle est proche, avec environ 6 268 km contre 6 371 km

Elle est très éloignée, avec environ 3 134 km contre 6 371 km

Elle est identique, avec environ 6 268 km dans les deux estimations

Explication

L’estimation d’Ératosthène est d’environ 6 268 km, tandis que la valeur actuelle est d’environ 6 371 km, ce qui indique une proximité remarquable. La valeur de 6 371 km n’est donc pas celle obtenue par Ératosthène, même si les deux estimations sont voisines.

QCM : Mesure du rayon terrestre par Ératosthène — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que se passe-t-il à Syène à midi le jour du solstice d’été ?

2. Pourquoi Alexandrie permet-elle de comparer la position du Soleil avec celle observée à Syène au même moment ?

3. Quelle mesure fournit l’ombre d’un gnomon à Alexandrie ?

4. Quelle distance entre Syène et Alexandrie est utilisée dans le calcul d’Ératosthène ?

5. Quelle distance obtient-on en convertissant 5 000 stades de 157,5 m en kilomètres ?

6. Quelle hypothèse concernant le Soleil Ératosthène utilise-t-il pour comparer les observations de Syène et d’Alexandrie ?

7. À quel angle terrestre l’angle de 7,2° mesuré à Alexandrie correspond-il ?

8. Pourquoi l’angle mesuré à Alexandrie peut-il être assimilé à l’angle formé au centre de la Terre par les verticales des deux villes ?

9. Quelle fraction de la circonférence terrestre l’angle de 7,2° représente-t-il ?

10. Quelle circonférence du méridien obtient-on en utilisant une distance de 787,5 km correspondant à un angle de 7,2° ?

11. Quelle expression permet de calculer le rayon terrestre à partir d’une circonférence de 39 375 km ?

12. Comment l’estimation du rayon terrestre obtenue par Ératosthène se compare-t-elle à l’estimation actuelle ?

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