Fiche de révision : Mesure du rayon terrestre par Ératosthène

📋 Plan du Cours

1. Ératosthène et son observation
2. Mesures et hypothèses utilisées
3. Correspondance des angles
4. Calcul de la circonférence terrestre
5. Détermination et comparaison du rayon

📖 1. Ératosthène et son observation

🔑 Notions clés & Définitions

• Gnomon : Bâton planté verticalement qui permet d’observer l’ombre et son déplacement au cours de la journée.

★ À maîtriser

• À Syène, aujourd’hui Assouan en Égypte, les rayons solaires sont verticaux à midi le jour du solstice d’été et éclairent le fond d’un puits. — Ératosthène

• À Alexandrie, située plus au nord et à la même longitude que Syène, le Soleil n’est pas au zénith et les objets projettent des ombres au même moment. — Ératosthène

• La mesure de l’ombre d’un gnomon à Alexandrie donne un angle de 7,2° entre les rayons du Soleil et la verticale du lieu. — Ératosthène

Compléments

• Ératosthène, qui a vécu de 276 à 194 av. J.-C., a calculé la circonférence de la Terre avec une grande précision pour son époque.

💡 Astuce mémo

Syène sans ombre, Alexandrie avec ombre

📖 2. Mesures et hypothèses utilisées

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distance entre Syène et Alexandrie vaut $5000 \times 157{,}5 = 787500\ \text{m} = 787{,}5\ \text{km}$.

• La distance entre Syène et Alexandrie est estimée à 5 000 stades égyptiens, chaque stade mesurant 157,5 m.

• Ératosthène suppose que le Soleil est suffisamment éloigné pour que ses rayons arrivent sur la surface terrestre sous forme de faisceaux parallèles.

💡 Astuce mémo

Rayons solaires parallèles → angle terrestre mesurable

📖 3. Correspondance des angles

📝 Points essentiels

📌 L’angle de 7,2° entre les rayons solaires et la verticale à Alexandrie correspond à l’angle au centre de la Terre interceptant l’arc entre Alexandrie et Syène.

• Les rayons solaires parallèles permettent d’assimiler l’angle mesuré à Alexandrie à l’angle formé au centre de la Terre par les verticales de Syène et d’Alexandrie.

💡 Astuce mémo

Deux droites parallèles coupées par le même axe terrestre

📖 4. Calcul de la circonférence terrestre

🔑 Notions clés & Définitions

• Méridien terrestre : Cercle passant par les deux pôles.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’angle de 7,2° représente $\frac{7{,}2}{360}=\frac{1}{50}$ de la circonférence terrestre.

📐 Formule — La longueur du méridien terrestre calculée par Ératosthène vaut $787{,}5 \times \frac{360}{7{,}2}=39375\ \text{km}$.

💡 Astuce mémo

Stades → distance → proportion 7,2°/360° → méridien

📖 5. Détermination et comparaison du rayon

★ À maîtriser

📐 Formule — Le rayon terrestre estimé par la méthode d’Ératosthène se calcule avec $R=\frac{C}{2\pi}=\frac{39375}{2\pi}\approx 6268\ \text{km}$.

• La valeur du rayon terrestre obtenue par Ératosthène, environ 6 268 km, est proche de la valeur actuelle estimée à environ 6 371 km.

Compléments

📐 Formule — L’écart entre l’estimation d’Ératosthène et la valeur actuelle est d’environ $6371-6268=103\ \text{km}$.

💡 Astuce mémo

Circonférence → division par 2π → comparaison

📊 Tableaux de synthèse

Données et résultats du calcul