Fiche de révision : Nombres entiers et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Lister les diviseurs
4. Nombres premiers
5. Décomposition en facteurs premiers
6. Trigonométrie du triangle rectangle
7. Calculer une longueur

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Avec a, b et q entiers positifs et b non nul, consiste à trouver les uniques entiers q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $r<b$.

📝 Points essentiels

📌 Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, a est un multiple de b, a est divisible par b, b est un diviseur de a et b divise a.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 2. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

• Un entier est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou un multiple de 9.

• Un entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4, et il est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.

💡 Astuce mémo

2-5-10 regardent les unités ; 3-9 additionnent les chiffres ; 4 regarde les deux derniers chiffres

📖 3. Lister les diviseurs

★ À maîtriser

• Pour établir la liste des diviseurs d’un entier n, il faut tester sa divisibilité par tous les entiers compris entre 1 et √n ; chaque quotient correspondant à une division exacte fournit aussi un diviseur associé.

Compléments

• Les diviseurs de 126 sont 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 et 126, après avoir testé les entiers jusqu’à √126 ≈ 11,2, donc jusqu’à 11.

💡 Astuce mémo

Tester de 1 jusqu’à √n, puis compléter par les quotients associés

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Lorsque leur seul diviseur commun est 1.

★ À maîtriser

• Pour prouver qu’un entier n est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n ; si aucun ne le divise, n est premier.

Compléments

• 103 est premier car aucun nombre premier inférieur ou égal à √103 ≈ 10 ne le divise, tandis que 235 n’est pas premier car il est divisible par 5.

💡 Astuce mémo

Premier : deux diviseurs ; premiers entre eux : un seul diviseur commun

📖 5. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre non premier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit de tous les facteurs obtenus.

Compléments

• La décomposition de 84 est $84=2^2\times3\times7$ et celle de 567 est $567=3^4\times7$.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement jusqu’à 1, puis regrouper les facteurs identiques en puissances

📖 6. Trigonométrie du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, le quotient de la longueur du côté adjacent par celle de l’hypoténuse.
• Sinus d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, le quotient de la longueur du côté opposé par celle de l’hypoténuse.
• Tangente d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, le quotient de la longueur du côté opposé par celle du côté adjacent.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1, et le cosinus d’un angle aigu est égal au sinus de l’autre angle aigu.

📌 Pour calculer un quotient trigonométrique dans un triangle rectangle, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.

💡 Astuce mémo

CAH SOH TOA : Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Sinus = Opposé/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent

📖 7. Calculer une longueur

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, il faut identifier le triangle et son sommet rectangle, repérer l’angle aigu et les côtés connus et recherchés, choisir la formule parmi CAH, SOH et TOA, remplacer par les valeurs, effectuer le calcul puis conclure avec l’unité.

Compléments

• Dans le triangle ABC rectangle en B, avec l’angle BCA égal à 35° et AC égal à 7 cm, le sinus donne $\sin(35^\circ)=\frac{AB}{7}$, donc AB mesure environ 4 cm.

💡 Astuce mémo

Figure, angle, côtés, formule, valeurs, calcul, conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Rapports trigonométriques