Fiche de révision : Modélisation géométrique des mécanismes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et repères orthonormés
2. Produit scalaire et changements de base
3. Paramétrage des points et solides
4. Contacts géométriques
5. Liaisons et degrés de liberté
6. Modélisation cinématique
7. Schéma cinématique et liaisons
8. Modélisation plane des mécanismes
9. Analyse géométrique et structures
10. Lois entrée-sortie et paramétrage
11. Fermeture géométrique et calcul

📖 1. Vecteurs et repères orthonormés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Ensemble des bipoints équipollents, caractérisés par une direction, un sens et une norme.
• Base orthonormée directe : Base dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, unitaires et orientés selon un trièdre direct.
• Composantes d’un vecteur : Scalaires de sa décomposition unique selon les vecteurs de cette base.
• Repère : Association d’un point O appelé origine et d’une base vectorielle.

★ À maîtriser

📌 Un vecteur glissant est défini par un support rectiligne et un vecteur de direction confondue avec ce support, tandis qu’un vecteur lié est défini par un point d’application et un vecteur.

Compléments

📐 Formule — Dans une base orthonormée, la norme d’un vecteur de composantes x, y et z vérifie $\|\vec V\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📐 Formule — Si $\vec V=\overrightarrow{AB}$, avec A et B de coordonnées respectives (x_A,y_A,z_A) et (x_B,y_B,z_B), alors les composantes de V sont (x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A).

💡 Astuce mémo

Vecteur libre, glissant ou lié : seule la donnée géométrique change.

📖 2. Produit scalaire et changements de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Nombre réel vérifiant $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\alpha)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs de composantes (u_x,u_y,u_z) et (v_x,v_y,v_z) vaut $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Pour deux bases obtenues par une rotation plane d’angle α autour d’une direction commune, les vecteurs vérifient $\vec x_1=\cos\alpha\,\vec x_0+\sin\alpha\,\vec y_0$ et $\vec y_1=-\sin\alpha\,\vec x_0+\cos\alpha\,\vec y_0$.

Compléments

📐 Formule — La projection vectorielle orthogonale de V sur une droite de vecteur directeur u vérifie $\vec p=\frac{\vec V\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u$, et devient $\vec p=(\vec V\cdot\vec u)\vec u$ si u est unitaire.

💡 Astuce mémo

Petit côté = sinus, grand côté = cosinus.

📖 3. Paramétrage des points et solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Les trois scalaires (x,y,z) tels que $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$.
• Solide indéformable : Un solide est indéformable lorsque la distance entre deux quelconques de ses points reste constante au cours du temps.

★ À maîtriser

• La position relative d’un solide indéformable dans l’espace nécessite au maximum six paramètres indépendants : trois translations et trois rotations.

• Les six mouvements élémentaires sont: la translation selon x, la translation selon y, la translation selon z, la rotation autour de x, la rotation autour de y, la rotation autour de z

Compléments

📌 Modéliser un système consiste à proposer une représentation simplifiée de la réalité ne conservant que les propriétés indispensables à l’étude considérée.

• 🔄 Les rotations successives sont:
  1. précession autour de z0
  2. nutation autour de xp
  3. rotation propre autour de z1

💡 Astuce mémo

Point : 3 paramètres ; solide : 3 translations + 3 rotations.

📖 4. Contacts géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanisme : Assemblage de solides appelés pièces, dont certains sont en contact et dont certains peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres.

★ À maîtriser

📌 Un contact ponctuel correspond à une intersection géométrique réduite à un point, un contact linéique à une ligne et un contact surfacique à une surface.

Compléments

• Les exemples de contacts ponctuels sont:

  • sphère-sphère
  • sphère-plan
  • cône-plan
  • cylindre-cylindre à axes orthogonaux

• Les exemples de contacts linéiques sont:

  • cylindre-plan
  • sphère-cylindre
  • dentures d’engrenages

💡 Astuce mémo

Point → ligne → surface : la géométrie du contact se développe.

📖 5. Liaisons et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison parfaite : Modèle théorique d’un contact entre deux solides indéformables, fondé sur des surfaces géométriquement parfaites, des jeux nuls, un contact conservé et l’absence de frottement.
• Degré de liberté : Mouvements élémentaires relatifs indépendants qu’elle autorise entre deux solides sans changer la nature du contact.

★ À maîtriser

📌 Une liaison possède au plus six degrés de liberté dans l’espace et au plus trois dans le plan ; zéro degré de liberté correspond à un encastrement et six degrés de liberté à une liaison libre dans l’espace.

• Les liaisons élémentaires sont:
  • sphère-plan
  • cylindre-plan
  • appui plan
  • sphère-cylindre
  • pivot glissant
  • liaison sphérique

📐 Formule — Dans une liaison hélicoïdale, la vitesse de translation et la vitesse de rotation sont liées par $\dot\lambda_{2/1}=\pm\dot\theta_{2/1}\frac{p}{2\pi}$, où p est le pas de la vis.

Compléments

• Les liaisons composées normalisées sont l’encastrement, le pivot, la glissière et la liaison sphérique à doigt, avec respectivement 0, 1, 1 et 2 degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Contact idéalisé → liaison normalisée → mobilités autorisées.

📖 6. Modélisation cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence cinématique : Ensemble de pièces n’ayant aucun mouvement relatif entre elles et partageant donc le même mouvement.
• Bâti : Pièce ou classe d’équivalence associée au référentiel de référence, supposée fixe pour l’étude mécanique.
• Graphe de liaisons : Représentation des classes d’équivalence par des cercles et des liaisons par des arcs portant leur nom et leurs caractéristiques géométriques.
• Schéma cinématique : Représentation plane ou spatiale du graphe des liaisons au moyen des symboles des liaisons normalisées, destinée à comprendre le fonctionnement et à mener des études théoriques.

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche consiste à: déterminer les classes d’équivalence, rechercher les contacts entre classes, identifier la nature géométrique de chaque contact, choisir la liaison normalisée, caractériser chaque liaison

Compléments

• Les éléments exclus sont:
  • les ressorts et amortisseurs
  • les pièces hydrauliques ou pneumatiques
  • les éléments internes des roulements

📌 Un graphe ou schéma cinématique minimal regroupe les liaisons équivalentes, tandis qu’un schéma d’architecture reste non minimal pour rendre compte fidèlement de la géométrie réelle des contacts.

💡 Astuce mémo

Pièces → classes → graphe → schéma.

📖 7. Schéma cinématique et liaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma cinématique : Figure plane ou spatiale représentant un mécanisme avec les symboles normalisés des liaisons afin d’en comprendre le fonctionnement et de mener des études géométriques, cinématiques ou dynamiques.

★ À maîtriser

• 🔄 La construction d’un schéma cinématique suit plusieurs étapes:
  1. Choisir une représentation adaptée
  2. Colorer les classes d’équivalence
  3. Positionner les éléments géométriques caractéristiques
  4. Placer les symboles normalisés des liaisons
  5. Relier les branches en respectant le parallélisme

Compléments

📌 Un graphe ou schéma cinématique minimal regroupe certaines liaisons en liaisons équivalentes, tandis qu’un schéma d’architecture reste non minimal et représente fidèlement l’architecture réelle, notamment la géométrie des contacts élémentaires.

💡 Astuce mémo

Représenter, colorer, géométriser, symboliser, relier

📖 8. Modélisation plane des mécanismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement plan : Lorsque tous les points de S2 se déplacent dans des plans parallèles entre eux, de sorte que chaque point conserve une distance constante à un plan fixe de S1.

📝 Points essentiels

• Le paramétrage d’un mouvement plan nécessite trois paramètres : deux translations dans le plan et une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan.

• Les trois liaisons planes distinguées hors encastrement sont:

  • la glissière, qui autorise une translation dans le plan
  • la pivot ou articulation, qui autorise une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan
  • la sphère-plan plane ou liaison ponctuelle, qui autorise une translation dans le plan et cette rotation

📌 Une représentation plane d’une modélisation spatiale est seulement une projection en deux dimensions, tandis qu’une modélisation plane repose sur l’hypothèse particulière que les mouvements sont plans et décrit directement les mouvements relatifs observables.

💡 Astuce mémo

Projection plane d’un modèle spatial ≠ hypothèse de mouvement plan

📖 9. Analyse géométrique et structures

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne ouverte : Association en série de solides ou de classes d’équivalence reliés par des liaisons, dans laquelle les paramètres sont généralement indépendants et l’étude relie le mouvement de l’effecteur aux paramètres des liaisons.
• Chaîne fermée : Ensemble de solides ou de classes d’équivalence reliés par plusieurs liaisons formant une boucle dans le graphe, de sorte que les paramètres ne sont plus indépendants.
• Course et débattement : Distance parcourue par un organe mobile en translation, tandis que le débattement angulaire est l’angle maximal parcouru par un organe mobile en rotation entre deux positions.

📝 Points essentiels

• Un mécanisme comportant plusieurs boucles est dit à chaînes complexes.

💡 Astuce mémo

Chaîne ouverte : paramètres indépendants ; chaîne fermée : boucle et contraintes

📖 10. Lois entrée-sortie et paramétrage

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi entrée-sortie : Relations entre les paramètres de position, ou leurs dérivées, de la pièce d’entrée et de la pièce de sortie d’un mécanisme.

★ À maîtriser

📌 Une loi entrée-sortie géométrique relie le paramètre de sortie aux paramètres d’entrée et aux caractéristiques géométriques constantes, tandis qu’une loi entrée-sortie cinématique utilise les dérivées de ces paramètres.

📌 La loi directe exprime la sortie en fonction de l’entrée, tandis que la loi indirecte exprime les entrées en fonction de la sortie et peut nécessiter une résolution numérique sans être unique.

📐 Formule — Pour un bras de robot plan à deux rotations, la loi directe est $x_B=L_1\cos\theta_1+L_2\cos(\theta_1+\theta_2)$ et $y_B=L_1\sin\theta_1+L_2\sin(\theta_1+\theta_2)$.

Compléments

• Le paramétrage d’un mécanisme associe un repère à chaque solide, définit les caractéristiques géométriques constantes et attribue à chaque liaison autant de paramètres qu’elle possède de degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Loi directe : sortie depuis l’entrée ; loi indirecte : entrée depuis la sortie

📖 11. Fermeture géométrique et calcul

★ À maîtriser

• La fermeture géométrique d’une chaîne fermée consiste à définir les paramètres d’entrée et de sortie, tracer les changements de base, écrire les équations de fermeture, projeter et combiner ces équations, puis ne conserver que les solutions physiquement acceptables.

📐 Formule — Une fermeture vectorielle s’écrit par une relation de Chasles dont la somme des vecteurs parcourant la boucle est nulle, par exemple $\overrightarrow{O_0O_1}+\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O_1}+\overrightarrow{O_1O_0}=\vec 0$.

📐 Formule — Pour le micromoteur, l’élimination du paramètre intermédiaire conduit à la loi entrée-sortie $x=L_1\cos\alpha+\sqrt{L_2^2-(L_1\sin\alpha)^2}$.

Compléments

📐 Formule — Une fermeture angulaire sur une chaîne fermée s’écrit comme la somme nulle des angles orientés parcourus autour de la boucle : $(\vec z_0,\vec z_1)+(\vec z_1,\vec z_2)+\cdots+(\vec z_n,\vec z_0)=0$.

📌 Lorsqu’un angle doit être éliminé après projection, on isole ses sinus et cosinus, on utilise $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, puis on ne conserve que les solutions ayant un sens physique.

📐 Formule — Si deux vecteurs conservent une orientation relative constante, leur produit scalaire reste constant : $\vec u\cdot\vec v=\text{constante}$.

💡 Astuce mémo

Entrer, repérer, fermer, projeter, combiner, sélectionner

📊 Tableaux de synthèse

Types de contacts géométriques

Structures de mécanismes