Fiche de révision : Modélisation géométrique des mécanismes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs, bases et repères
2. Produit scalaire et changements de base
3. Paramétrage des positions
4. Contacts et liaisons mécaniques
5. Modélisation cinématique
6. Schéma cinématique et liaisons équivalentes
7. Modélisation plane des mécanismes
8. Analyse géométrique et structures
9. Loi entrée-sortie et paramétrage
10. Fermeture géométrique des chaînes

📖 1. Vecteurs, bases et repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Ensemble des bipoints équipollents, caractérisés par une direction, un sens et une norme.
• Base : Famille de trois vecteurs linéairement indépendants.
• Repère : Association d’un point origine et d’une base.

★ À maîtriser

📌 Un vecteur glissant est défini par un support rectiligne et un vecteur de direction parallèle à ce support, un vecteur lié par un point d’application et un vecteur, tandis qu’un vecteur dépourvu de support et de point d’application imposés est libre.

📐 Formule — Dans une base orthonormée, la norme du vecteur de composantes $(x,y,z)$ vaut $\|\vec V\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

📐 Formule — Si $\vec V=\overrightarrow{AB}$, avec A et B de coordonnées respectives $(x_A,y_A,z_A)$ et $(x_B,y_B,z_B)$, alors les composantes de $\vec V$ sont $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

💡 Astuce mémo

Vecteur libre ≠ vecteur glissant ≠ vecteur lié : seul le support ou le point d’application les distingue.

📖 2. Produit scalaire et changements de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ formant un angle $\alpha$ vaut $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\alpha)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une base orthonormée, le produit scalaire de vecteurs de composantes $(u_x,u_y,u_z)$ et $(v_x,v_y,v_z)$ vaut $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$.

📐 Formule — La projection vectorielle orthogonale de $\vec V$ sur une droite dirigée par $\vec u$ vaut $\vec p=\frac{\vec V\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u$, et si $\vec u$ est unitaire, $\vec p=(\vec V\cdot\vec u)\vec u$.

📐 Formule — Pour une rotation plane d’angle $\alpha$ entre deux bases partageant $\vec z_0=\vec z_1$, on a $\vec x_1=\cos\alpha\,\vec x_0+\sin\alpha\,\vec y_0$ et $\vec y_1=-\sin\alpha\,\vec x_0+\cos\alpha\,\vec y_0$.

💡 Astuce mémo

Projection : vecteur commun → projections → sinus/cosinus → expression dans l’autre base.

📖 3. Paramétrage des positions

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Un solide est indéformable lorsque la distance entre deux quelconques de ses points reste constante au cours du temps.

★ À maîtriser

• La position d’un point M dans l’espace nécessite $3$ paramètres, par exemple ses coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$.

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, la position de M est donnée par $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$.

📌 La position d’un solide indéformable dans l’espace est définie par les trois coordonnées de l’origine de son repère et trois angles d’orientation, soit trois translations et trois rotations.

Compléments

• Les angles d’Euler paramètrent l’orientation par une précession autour de $\vec z_0$, une nutation autour de $\vec x_p$, puis une rotation propre autour de $\vec z_1$.

• Les angles de Cardan paramètrent l’orientation par un lacet autour de $\vec z_0$, un tangage autour de $\vec y_l$, puis un roulis autour de $\vec x_t$.

💡 Astuce mémo

Point : 3 paramètres ; solide indéformable : 6 paramètres, soit 3 translations et 3 rotations.

📖 4. Contacts et liaisons mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanisme : Assemblage de solides, appelés pièces, dont certains sont en contact et dont certains peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres.
• Liaison : Modèle théorique d’un contact idéal entre deux solides indéformables, avec des surfaces parfaites, des jeux nuls, un contact invariant et sans frottement.
• Degrés de liberté : Mouvements élémentaires relatifs indépendants autorisés entre deux solides sans changer la nature du contact.

★ À maîtriser

📌 Un contact ponctuel correspond à une intersection en un point, un contact linéique à une intersection en une ligne et un contact surfacique à une intersection en une surface.

• Les six liaisons élémentaires sont:
  • sphère-plan
  • cylindre-plan
  • appui plan
  • sphère-cylindre
  • pivot glissant
  • liaison sphérique

📐 Formule — Dans une liaison hélicoïdale de pas $p$, la vitesse de translation et la vitesse de rotation vérifient $\dot\lambda_{2/1}=\pm\dot\theta_{2/1}\frac{p}{2\pi}$.

Compléments

• Dans l’espace, une liaison possède au maximum six degrés de liberté et, dans le plan, au maximum trois.

• Les liaisons composées et leurs degrés de liberté sont:
  • encastrement : 0 degré de liberté
  • pivot : 1 degré de liberté
  • glissière : 1 degré de liberté
  • sphérique à doigt : 2 degrés de liberté

💡 Astuce mémo

Nature géométrique du contact → mouvements autorisés → liaison et degrés de liberté.

📖 5. Modélisation cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence cinématique : Ensemble de pièces qui n’ont aucun mouvement relatif entre elles et qui ont donc le même mouvement.
• Bâti : Pièce ou classe d’équivalence associée au référentiel de référence, supposée fixe pour l’étude mécanique.
• Graphe de liaisons : Représentation des classes d’équivalence par des cercles et des liaisons par des arcs portant leur nom et leurs caractéristiques géométriques.

• Schéma cinématique : Représentation du graphe des liaisons au moyen des symboles des liaisons normalisées afin de comprendre le fonctionnement et de mener des études théoriques.

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche de construction du graphe est: déterminer les classes d’équivalence, rechercher les contacts entre classes, déduire la liaison de la nature géométrique du contact, nommer et caractériser chaque liaison

• 🔄 La construction du schéma cinématique suit les étapes: choisir une représentation adaptée, distinguer les classes par leurs couleurs, placer les éléments géométriques caractéristiques, positionner les symboles normalisés des liaisons, relier les branches des classes d’équivalence

Compléments

• Ne sont notamment pas pris en compte: les pièces déformables, les pièces hydrauliques ou pneumatiques, les éléments internes de certains constituants technologiques

📌 Un schéma cinématique minimal simplifie le mécanisme en regroupant certaines liaisons en une liaison équivalente, tandis qu’un schéma d’architecture non minimal rend fidèlement compte de la géométrie réelle des contacts.

💡 Astuce mémo

Pièces sans mouvement relatif → classes → graphe de liaisons → schéma cinématique.

📖 6. Schéma cinématique et liaisons équivalentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma cinématique : Figure plane ou spatiale représentant un mécanisme au moyen des symboles normalisés des liaisons afin d’en comprendre le fonctionnement et de mener des études géométriques, cinématiques ou dynamiques.

★ À maîtriser

• 🔄 La construction d’un schéma cinématique suit plusieurs étapes:
  1. Choisir une représentation adaptée
  2. Colorer les classes d’équivalence
  3. Placer les éléments géométriques caractéristiques
  4. Positionner les symboles normalisés des liaisons
  5. Relier les branches des classes d’équivalence

Compléments

📌 Un graphe ou schéma cinématique minimal regroupe certaines liaisons en une liaison équivalente, tandis qu’un schéma d’architecture reste non minimal pour rendre fidèlement compte de la géométrie réelle des contacts élémentaires.

💡 Astuce mémo

Graphe coloré → géométrie → symboles → branches reliées

📖 7. Modélisation plane des mécanismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement plan : Lorsque tous les points de S2 se déplacent dans des plans parallèles entre eux, ou lorsque chaque point de S2 reste à distance constante d’un plan fixe de S1.

📝 Points essentiels

• Le paramétrage d’un mouvement plan nécessite trois paramètres : deux translations dans le plan et une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan.

• Les trois liaisons planes hors encastrement sont:

  • La liaison glissière, autorisant une translation dans le plan
  • La liaison pivot, autorisant une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan
  • La liaison sphère-plan plane, autorisant une translation dans le plan et une rotation autour d’un axe perpendiculaire

📌 Une modélisation plane représente les mouvements relatifs observables entre deux pièces, tandis qu’une représentation plane d’une modélisation spatiale ne repose pas sur l’hypothèse particulière d’un mouvement plan.

💡 Astuce mémo

Projection plane ≠ hypothèse de mouvement plan

📖 8. Analyse géométrique et structures

🔑 Notions clés & Définitions

• Course : La course est la distance parcourue par un organe mobile en translation, la course maximale correspondant à la distance entre deux positions extrêmes et la course utile à la portion effectivement utilisée pour réaliser un travail donné.
• Débattement angulaire : Le débattement angulaire est l’angle maximal parcouru par un organe mobile en rotation entre deux positions contraintes par la cinématique du mécanisme ou limitées par des butées.

★ À maîtriser

📌 Une chaîne ouverte associe en série des solides reliés par des liaisons, tandis qu’une chaîne fermée comporte une boucle dans le graphe des liaisons et des paramètres qui ne sont plus indépendants.

Compléments

• Un mécanisme comportant plusieurs boucles est dit à chaînes complexes.

💡 Astuce mémo

Chaîne ouverte : paramètres indépendants ; chaîne fermée : boucle contraignante

📖 9. Loi entrée-sortie et paramétrage

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi entrée-sortie : Ensemble des relations entre les paramètres de position, ou leurs dérivées, de la pièce d’entrée pilotée et de la pièce de sortie dont on veut déterminer le mouvement.

★ À maîtriser

📌 Une loi entrée-sortie géométrique relie les paramètres de position avec les constantes géométriques du mécanisme, tandis qu’une loi entrée-sortie cinématique relie les dérivées de ces paramètres.

📐 Formule — Pour le bras de robot plan à deux rotations, les coordonnées du point B vérifient $x_B=L_1\cos\theta_1+L_2\cos(\theta_1+\theta_2)$ et $y_B=L_1\sin\theta_1+L_2\sin(\theta_1+\theta_2)$.

📌 La loi directe exprime la sortie en fonction de l’entrée, tandis que la loi indirecte exprime les consignes d’entrée nécessaires pour obtenir une sortie imposée et peut ne pas être unique.

Compléments

• Pour une liaison pivot, le paramètre associé est un angle, tandis que pour une liaison glissière, le paramètre associé est une distance variable entre les repères des solides en contact.

💡 Astuce mémo

Loi directe : entrée → sortie ; loi indirecte : sortie → entrée

📖 10. Fermeture géométrique des chaînes

★ À maîtriser

• L’obtention d’une loi entrée-sortie par fermeture géométrique consiste à définir les paramètres d’entrée et de sortie, tracer les changements de base, écrire les équations de fermeture, projeter et combiner ces équations, puis ne conserver que les solutions physiquement admissibles.

📐 Formule — Une fermeture vectorielle s’écrit en parcourant la chaîne fermée et en additionnant les vecteurs successifs jusqu’à revenir au point de départ, par exemple $\overrightarrow{O_0O_1}+\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O_1}+\overrightarrow{O_1O_0}=\vec 0$.

📐 Formule — Pour le micromoteur, la loi entrée-sortie obtenue par fermeture géométrique est $x=L_1\cos\alpha+\sqrt{L_2^2-(L_1\sin\alpha)^2}$.

Compléments

📐 Formule — Une fermeture angulaire autour d’une chaîne fermée s’écrit comme la somme des angles orientés parcourus sur la boucle, soit $(\vec z_0,\vec z_1)+(\vec z_1,\vec z_2)+\cdots+(\vec z_n,\vec z_0)=0$.

📐 Formule — Pour éliminer un angle à partir d’équations projetées, on peut utiliser $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ après avoir isolé son sinus et son cosinus.

• Dans le micromoteur, la solution positive est retenue parce que la condition physique impose $x>L_1\cos\alpha$.

📌 Lorsque deux vecteurs conservent une orientation relative constante, leur produit scalaire reste constant, et il est nul en particulier si les deux vecteurs restent orthogonaux.

💡 Astuce mémo

Entrées-sortie → bases → fermeture → projections → solutions physiques

📊 Tableaux de synthèse

Types de contact et liaisons élémentaires

Structures de mécanismes