QCM : Nombres entiers et trigonométrie — 17 questions

Explication

La division euclidienne repose sur l’égalité $a=b\times q+r$ et sur la condition $r<b$. La relation qui échange quotient et reste ou qui autorise un reste trop grand ne définit pas cette division.

Explication

Un reste nul signifie que $a$ est un multiple de $b$, donc que $b$ divise $a$. Cela ne permet pas de conclure que les deux nombres sont premiers entre eux ni d’inverser leur rôle.

Explication

Le chiffre des unités de $912$ est 2 : ce nombre est donc divisible par 2, mais pas par 10, qui exige un chiffre des unités égal à 0. Les autres nombres se terminent par 0 et sont ainsi divisibles par 10.

Explication

La divisibilité par 9 se détermine en calculant la somme des chiffres : cette somme doit être un multiple de 9. Le dernier chiffre concerne notamment la divisibilité par 2 ou par 5, tandis que la présence d’un 9 ne suffit pas.

Explication

La divisibilité par 4 dépend du nombre formé par les deux derniers chiffres, qui doit être un multiple de 4. La divisibilité par 5 dépend du chiffre des unités, qui doit être 0 ou 5.

Explication

Il suffit de tester les entiers compris entre 1 et $\sqrt n$ : chaque division exacte fournit un diviseur et son quotient associé. Tester jusqu’à $n$ est inutile, et les autres limites ne garantissent pas de trouver tous les couples de diviseurs.

Explication

Comme $\sqrt{126}\approx11,2$, on teste les entiers jusqu’à 11 et les quotients associés complètent la liste des diviseurs. Tester seulement jusqu’à 6 manquerait notamment le couple associé à 7, tandis que des bornes plus grandes sont superflues.

Explication

Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. L’absence de diviseur commun avec d’autres nombres décrit plutôt une relation entre deux entiers premiers entre eux.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux si leur unique diviseur commun est 1. Cette propriété ne signifie pas que chacun des deux nombres est premier individuellement.

Explication

Il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$ : si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier. Tester les nombres jusqu’à $\frac{n}{2}$ fonctionnerait dans certains cas, mais ce n’est pas le critère suffisant et efficace énoncé ici.

Explication

Tout entier non premier possède une décomposition en facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près. Le choix de l’ordre des divisions peut changer l’écriture intermédiaire, mais pas le produit final des facteurs premiers.

Explication

La décomposition est complète lorsque les divisions successives aboutissent à 1, puis les facteurs premiers obtenus sont multipliés. Une division partielle ne fournit donc pas encore la décomposition entière.

Explication

Le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse. Le quotient du côté opposé par l’hypoténuse correspond au sinus.

Explication

Le sinus d’un angle aigu est obtenu en divisant la longueur du côté opposé par celle de l’hypoténuse. Le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent définit la tangente.

Explication

La tangente est le quotient de la longueur du côté opposé par celle du côté adjacent. Les rapports faisant intervenir l’hypoténuse correspondent au sinus ou au cosinus.

Explication

La méthode consiste à identifier le triangle et son sommet rectangle, puis l’angle et les côtés concernés avant de choisir CAH, SOH ou TOA, d’effectuer le calcul et d’indiquer l’unité. Le théorème de Thalès ne correspond pas à la procédure trigonométrique décrite ici.

Explication

Par rapport à l’angle BCA, AB est le côté opposé et AC est l’hypoténuse, donc $\sin(35^\circ)=\frac{AB}{7}$, ce qui donne environ $4\ \text{cm}$. Confondre AB avec BC revient à attribuer au mauvais côté le rôle de côté opposé.