Fiche de révision : Modèle de Bohr et spectres atomiques

📋 Plan du Cours

1. Domaine et limites du modèle de Bohr
2. Énergies cinétique et potentielle
3. Quantification des orbites électroniques
4. Rayons et niveaux d’énergie
5. Spectres atomiques et formule de Rydberg
6. Transitions et émission de photons
7. Séries de raies de l’hydrogène

📖 1. Domaine et limites du modèle de Bohr

🔑 Notions clés & Définitions

• Hydrogénoïde : Édifice atomique ne possédant qu’un seul électron, comme H, He⁺ ou Li²⁺.

★ À maîtriser

• Dans le modèle de Bohr, l’électron décrit un mouvement circulaire uniforme autour du noyau sous l’action de l’attraction coulombienne des Z protons.

• Le modèle de Bohr ne décrit avec succès que les édifices atomiques à un seul électron et ne permet pas de rendre compte des spectres des atomes polyélectroniques.

Compléments

• En 1922, Niels Bohr reçut le prix Nobel.

📖 2. Énergies cinétique et potentielle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une orbite circulaire, l’énergie cinétique de l’électron vérifie $E_C=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{R}$.

📐 Formule - En prenant l’énergie potentielle nulle à l’infini, l’énergie potentielle de l’électron vaut $E_P=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{R}=-2E_C$.

📐 Formule - L’énergie totale de l’électron sur une orbite de rayon R vaut $E_T=E_C+E_P=-E_C=-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{R}$.

💡 Astuce mémo

L’énergie cinétique est positive, l’énergie potentielle négative.

📖 3. Quantification des orbites électroniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre quantique principal : Entier non nul qui indexe les valeurs permises du moment cinétique dans le postulat de Bohr.

★ À maîtriser

📌 Le postulat de Bohr impose que le moment cinétique de l’électron soit quantifié selon $mvR=n\frac{h}{2\pi}$, où n est un entier non nul.

Compléments

• Le modèle de Bohr postule arbitrairement la quantification du moment cinétique, que la mécanique classique ne permet pas de justifier.

📖 4. Rayons et niveaux d’énergie

★ À maîtriser

📐 Formule - Le rayon permis de l’orbite de nombre quantique principal n dans un hydrogénoïde de charge nucléaire Z vaut $R=a_0\frac{n^2}{Z}$.

📐 Formule - L’énergie du niveau n d’un hydrogénoïde vaut $E_n=-E_0\frac{Z^2}{n^2}$, avec $E_0=13{,}6\ \text{eV}$.

Compléments

• Le premier rayon de Bohr est $a_0=\frac{h^2\varepsilon_0}{\pi me^2}=0{,}529\ \text{Å}$.

• Pour l’atome d’hydrogène, le rayon de la première orbite vaut a₀ lorsque n=1 et Z=1.

• L’énergie est conventionnellement nulle dans l’état ionisé, correspondant à n tendant vers l’infini, ce qui rend négatives les énergies des niveaux liés.

📖 5. Spectres atomiques et formule de Rydberg

★ À maîtriser

• Un spectre d’émission atomique est discontinu : seules certaines fréquences caractéristiques de l’élément sont émises.

• Chaque élément possède un spectre d’émission caractéristique.

📐 Formule - La formule empirique de Balmer-Rydberg pour les raies de l’hydrogène s’écrit $\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{p^2}\right)$ avec des entiers non nuls n>p.

Compléments

• La constante de Rydberg associée à l’hydrogène vaut $R_H=1{,}096\times10^7\ \text{m}^{-1}$.

📐 Formule - La formule de Balmer pour les raies visibles de l’hydrogène est $\lambda=B\frac{n^2}{n^2-4}$, où n vaut 3, 4, 5 ou 6 et B est une constante.

📖 6. Transitions et émission de photons

🔑 Notions clés & Définitions

• Transition électronique : Saut de l’électron d’un niveau d’énergie à un autre.

★ À maîtriser

• L’électron occupe normalement le niveau fondamental, le niveau d’énergie le plus bas, et peut atteindre un niveau excité si de l’énergie lui est fournie.

• Lorsqu’un électron revient vers un niveau d’énergie plus bas, il restitue de l’énergie sous forme de lumière.

📐 Formule - L’énergie d’un photon émis vérifie $E=h\nu$ et correspond à la différence d’énergie entre les niveaux de départ et d’arrivée.

Compléments

📐 Formule - Pour une transition de n vers p avec n>p, l’écart énergétique et la longueur d’onde vérifient $\Delta E_{n,p}=E_n-E_p=E_0\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}\right)=h\nu=\frac{hC}{\lambda}$.

• L’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène, nécessaire pour atteindre l’état ionisé depuis le niveau fondamental, vaut 13,6 eV.

💡 Astuce mémo

Excitation vers un niveau supérieur, puis retour avec émission d’un photon.

📖 7. Séries de raies de l’hydrogène

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de raies : Ensemble des transitions électroniques qui aboutissent toutes à un même niveau d’énergie.

★ À maîtriser

• Les séries spectrales de l’hydrogène sont :
  • Lyman pour n=1 dans l’ultraviolet
  • Balmer pour n=2 dans le visible
  • Paschen pour n=3 dans l’infrarouge
  • Brackett pour n=4 dans l’infrarouge
  • Pfund pour n=5 dans l’infrarouge

Compléments

• Le domaine visible s’étend approximativement de 400 à 800 nm de longueur d’onde.